開(kāi)展高中數(shù)學(xué) “5E”概念課教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中提到，數(shù)學(xué)研究中最令人著迷的是如何發(fā)現(xiàn)定理、如何證明定理。在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家利用推理和論證，演繹出無(wú)數(shù)個(gè)定理和結(jié)論，依托邏輯推理建構(gòu)出數(shù)學(xué)體系。邏輯推理是數(shù)學(xué)研究不可缺少的一部分，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一環(huán)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）基于邏輯推理的重要性，將邏輯推理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，倡導(dǎo)實(shí)施探究式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在探究過(guò)程中進(jìn)行邏輯推理，促進(jìn)學(xué)生有邏輯地思考問(wèn)題，形成理性思維，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)[1]。5E教學(xué)模式是美國(guó)生物學(xué)課程研究團(tuán)隊(duì)在1989年提出的一種探究式教學(xué)模式，由參與（Engagement）、探究（Exploration）、解釋?zhuān)‥xplanation）、遷移（Elaboration）、評(píng)價(jià)（Evaluation）五個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成[2]。此模式被廣泛運(yùn)用于美國(guó)的課堂教學(xué)中，在改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)模式的同時(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生的探究興趣，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展了推理能力、探究能力、問(wèn)題解決能力，幫助學(xué)生提升了學(xué)習(xí)效果。鑒于此模式的價(jià)值，我國(guó)教育工作者紛紛展開(kāi)本土化研究。筆者在邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)要求的指引下，開(kāi)展基于5E教學(xué)模式的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)研究，聚焦該模式的五個(gè)環(huán)節(jié)，以學(xué)生的邏輯推理發(fā)展過(guò)程為著眼點(diǎn)，探索出了相應(yīng)的教學(xué)策略。下文，將以人教A版選擇性必修二第四章的第一節(jié)《數(shù)列的概念》為例，詳談數(shù)學(xué)“5E”教學(xué)策略。

一、參與環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)邏輯推理萌芽

邏輯推理素養(yǎng)的形成與發(fā)展建立在對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、假設(shè)、驗(yàn)證的基礎(chǔ)之上。問(wèn)題情境可以將原本抽象復(fù)雜的邏輯規(guī)則轉(zhuǎn)化為具體、可感的具體場(chǎng)景，促使學(xué)生遷移已有認(rèn)知，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，提出假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)，主動(dòng)建立起邏輯推理鏈條，形成邏輯推理意識(shí)[3]。所以，問(wèn)題情境被作為激發(fā)學(xué)生邏輯推理萌芽的“催化劑”。數(shù)學(xué)“5E”教學(xué)的參與環(huán)節(jié)以激發(fā)學(xué)生邏輯思維萌芽為目標(biāo)。教師可以在此環(huán)節(jié)通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

例如，在《數(shù)列的概念》課堂教學(xué)參與環(huán)節(jié)，教師可以借助實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。問(wèn)題一：一種細(xì)胞每分鐘分裂2個(gè)，每過(guò)一分鐘，細(xì)胞個(gè)數(shù)依次是多少？問(wèn)題二：一家便利店第一天賣(mài)出20桶飲用水，之后的每一天都比前一天多賣(mài)出2桶，自第二天起依次賣(mài)出多少桶飲用水？問(wèn)題三：《莊子》有言：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。假設(shè)一尺為1，每日取半后剩下的部分是多少？問(wèn)題情境通過(guò)“生物規(guī)則”“生活場(chǎng)景”“哲學(xué)矛盾”可以激活歸納、演繹、辯證等邏輯推理的基本形式，讓學(xué)生獲得邏輯推理機(jī)會(huì)，自主經(jīng)歷從“細(xì)胞數(shù)統(tǒng)計(jì)”的簡(jiǎn)單歸納走向“分睡”的極限思辨，獲得良好的邏輯推理體驗(yàn)，滋生出邏輯推理萌芽，產(chǎn)生邏輯推理興趣與持久動(dòng)力，筑牢體驗(yàn)探究活動(dòng)的基礎(chǔ)。基于學(xué)生的良好表現(xiàn)，教師可以引導(dǎo)他們思考“這些問(wèn)題有什么共同特點(diǎn)？”“能不能調(diào)換數(shù)的順序？為什么？”這兩個(gè)問(wèn)題可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生比較、分析，從具體數(shù)據(jù)中提取出共性（“倍數(shù)關(guān)系”“差值固定”等），建構(gòu)“按照一定的順序組成的數(shù)”認(rèn)知，形成對(duì)數(shù)列概念的初步認(rèn)知，同時(shí)使學(xué)生邁入演繹推理中，激發(fā)邏輯推理萌芽。

二、探究環(huán)節(jié)：善于運(yùn)用問(wèn)題串，經(jīng)歷推理探索過(guò)程

探究環(huán)節(jié)正是學(xué)生經(jīng)歷推理探索的過(guò)程。此過(guò)程離不開(kāi)演繹推理、歸納推理、類(lèi)比推理、反證法、圖表法、排序法等邏輯推理方法的支撐。對(duì)于大部分高中生而言，自主選用邏輯推理方法進(jìn)行探究是一項(xiàng)難事。邏輯推理過(guò)程是學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程。啟發(fā)性的問(wèn)題是學(xué)生解決問(wèn)題的助力[4]。教師作為“5E”教學(xué)的引導(dǎo)者，應(yīng)當(dāng)依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用問(wèn)題串，借助層層遞進(jìn)的問(wèn)題激活學(xué)生思維，助力學(xué)生運(yùn)用恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评矸椒ǎH歷推理探索過(guò)程，促使學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知，同時(shí)鞏固邏輯推理方法，豐富邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

例如，在《數(shù)列的概念》這節(jié)課的探究環(huán)節(jié)，教師可以以數(shù)列概念的探究為重點(diǎn)，運(yùn)用問(wèn)題串，助力學(xué)生經(jīng)歷推理探索過(guò)程。1.將數(shù)列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10調(diào)整為10、9、8、7、6、5、4、3、2、1，兩個(gè)數(shù)列有區(qū)別嗎？2.我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)中，與次序相關(guān)的知識(shí)是什么？3.我們將集合中的數(shù)稱(chēng)作什么？4.集合可以分為哪幾類(lèi)？分類(lèi)依據(jù)是什么？5.參照集合，數(shù)列如何分類(lèi)？6.在數(shù)列中，每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間有確定的關(guān)系，這與所學(xué)過(guò)的哪部分知識(shí)類(lèi)似？7.函數(shù)與數(shù)列之間有何種關(guān)系？8.在數(shù)列中，自變量和因變量是什么？9.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，如何為數(shù)列分類(lèi)？10.數(shù)列的定義域是什么？通項(xiàng)公式指的是函數(shù)的什么？在運(yùn)用時(shí)，教師既可以在學(xué)生解答一個(gè)問(wèn)題后，提出下一個(gè)問(wèn)題，也可以將所有問(wèn)題拋給學(xué)生，在他們自主解答后進(jìn)行講評(píng)。無(wú)論采用何種方式，這些層層遞進(jìn)的問(wèn)題都可以成為學(xué)生經(jīng)歷推理探索的助力。具體而言，學(xué)生會(huì)在問(wèn)題的助力下，從具體數(shù)列中歸納分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)（歸納推理），對(duì)比數(shù)列與集合、函數(shù)的異同，把握知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)（類(lèi)比推理），運(yùn)用分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)判斷新數(shù)列的屬性、推導(dǎo)通項(xiàng)公式（演繹推理），聚焦不同維度為數(shù)列分類(lèi)（分類(lèi)討論）。這樣，學(xué)生可以運(yùn)用多樣的邏輯推理方法解決問(wèn)題，逐層揭示概念間的邏輯關(guān)系，歸納出新概念，理解數(shù)列概念，還可以學(xué)會(huì)用邏輯推理思維分析數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)“概念記憶”到“邏輯推理”的跨越，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

三、解釋環(huán)節(jié)：關(guān)注思維表達(dá)，滲透邏輯規(guī)范語(yǔ)言

解釋環(huán)節(jié)是展示邏輯推理成果的環(huán)節(jié)，可以使教師精準(zhǔn)把握學(xué)情，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的認(rèn)知問(wèn)題、思維問(wèn)題、表達(dá)問(wèn)題等，有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)，讓學(xué)生查漏補(bǔ)缺，建構(gòu)正確的認(rèn)知，發(fā)展邏輯思維，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，提高核心素養(yǎng)發(fā)展水平。在此環(huán)節(jié)，教師要提出解釋任務(wù)，讓學(xué)生知道“做什么”、主動(dòng)地“做”，同時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)反饋。

例如，在《數(shù)列的概念》這節(jié)課的探究環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)推理探索過(guò)程，可以歸納出數(shù)列的概念。教師可以趁機(jī)建構(gòu)解釋環(huán)節(jié)，提出“請(qǐng)大家毛遂自薦地解釋數(shù)列的概念”這一任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生展示探究成果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的認(rèn)知問(wèn)題，并進(jìn)行指導(dǎo)。以概念理解表面化，混淆數(shù)列與集合這一問(wèn)題為例，學(xué)生代表忽略數(shù)列的有序性和可重復(fù)性，混淆了數(shù)列和集合。教師可以建議學(xué)生繪制表格，從定義本質(zhì)、元素特性、次序要求、與函數(shù)的關(guān)系、分類(lèi)依據(jù)這些方面對(duì)比數(shù)列與集合，把握數(shù)列的特征。學(xué)生會(huì)調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備庫(kù)，聯(lián)想相關(guān)的內(nèi)容，借助可視化的方式（表格），分門(mén)別類(lèi)地進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)列和集合的差異，鎖定數(shù)列的特征，由此加深對(duì)數(shù)列的理解，同時(shí)鞏固圖表法，學(xué)會(huì)從相似概念中識(shí)別關(guān)鍵差異，提高數(shù)學(xué)概念認(rèn)知水平。為了使學(xué)生增強(qiáng)認(rèn)知，教師還可以借助生活中常見(jiàn)的“一箱子乒乓球（球的順序不影響箱子中的內(nèi)容）”“排隊(duì)的人（順序決定每個(gè)人的位置）”引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比集合、數(shù)列，使他們?cè)陬?lèi)比推理中感悟集合的“無(wú)序性”、數(shù)列的“有序性”，同時(shí)使他們學(xué)會(huì)類(lèi)比推理。在幫助學(xué)生解決種種問(wèn)題后，教師可以按照低水平一中等水平一高水平的順序，從相應(yīng)的學(xué)生群體中選擇學(xué)生代表，鼓勵(lì)他們解釋數(shù)列的概念，發(fā)現(xiàn)他們存在的思維邏輯、語(yǔ)言運(yùn)用問(wèn)題，利用適宜的方式指導(dǎo)他們解決。

四、遷移環(huán)節(jié)：重視知識(shí)技能，筑牢邏輯推理基石

知識(shí)技能與邏輯推理相互依存、相互促進(jìn)，二者在認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中可以形成動(dòng)態(tài)循環(huán)關(guān)系，共同促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展[5]。其中，知識(shí)技能是邏輯推理的基石。學(xué)生必須要扎實(shí)掌握知識(shí)技能，否則邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展將成為“空中樓閣”。數(shù)學(xué)“5E”教學(xué)中的遷移環(huán)節(jié)重在借助新的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生遷移應(yīng)用，助力學(xué)生鞏固知識(shí)技能，筑牢邏輯推理基石。在此環(huán)節(jié)，教師需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)生活，依據(jù)學(xué)情實(shí)際，設(shè)計(jì)出難度不同的題目，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解決新問(wèn)題。教師還需要組織講評(píng)活動(dòng)，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，筑牢發(fā)展邏輯推理的基石。

例如，在《數(shù)列的概念》這節(jié)課的遷移環(huán)節(jié)，教師提出問(wèn)題：1. 、 、 、 ……，則 是它的_項(xiàng)。2.若數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為a_n=n²（n-2） ，其中 n∈N^* ，則 a_s —。3.大衍數(shù)列源于《乾坤譜》對(duì)“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，用來(lái)解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理。數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中的兩極數(shù)量總和。其前10項(xiàng)為0、2、4、8、12、18、24、32、40、50。該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式 ，第19項(xiàng)和第20項(xiàng)的和是。學(xué)生在解決題目1時(shí)，需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納與演繹推理，識(shí)別數(shù)列類(lèi)型、應(yīng)用通項(xiàng)公式。在解決題目2時(shí)，學(xué)生需要立足于函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，代入通項(xiàng)公式計(jì)算。在解決題目3時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)歷“觀(guān)察現(xiàn)象→提出猜想 $$ 邏輯驗(yàn)證→推廣應(yīng)用”的推理過(guò)程，靈活地進(jìn)行數(shù)列分類(lèi)、規(guī)律歸納、代數(shù)變形。可見(jiàn)，由易到難的題目可以考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況和邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展情況。學(xué)生會(huì)在解決題目的過(guò)程中暴露出自己的不足。譬如，在解決題目3時(shí)，忽略相鄰項(xiàng)差值（4-0=4，12-4=8，24-12=12，40-24=16）的等差特性（差值為4，8，12，16，即公差為4的等差數(shù)列）無(wú)法通過(guò)前10項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)為0，4，12，24，40）歸納出規(guī)律。教師可以在講評(píng)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生建立“項(xiàng)數(shù)（奇數(shù)項(xiàng)序號(hào)k，原數(shù)列項(xiàng)數(shù)n）——數(shù)值 （a_n ）”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，標(biāo)注變量，同時(shí)思考“ k 代表什么？與原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n有什么關(guān)系？”“如果要找的是奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式 a_2n-1 ，這里的n對(duì)應(yīng)表格中的哪個(gè)變量？”學(xué)生會(huì)意識(shí)到要以 k 為自變量，建立數(shù)值的函數(shù)關(guān)系。接著，可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算奇數(shù)項(xiàng)數(shù)值的相鄰差值，并標(biāo)注差值與 Δk 的關(guān)系，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：差值構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，第k個(gè)差值為4（k-1）（ k?2 ）。最后指導(dǎo)學(xué)生利用累加法推導(dǎo)通項(xiàng)公式。這樣的講評(píng)可以使學(xué)生經(jīng)歷“觀(guān)察分析一歸納一驗(yàn)證”的邏輯推理鏈條，逐步解決問(wèn)題，加深對(duì)所學(xué)的理解，同時(shí)發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

五、評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)：集體交流反思，建立邏輯推理脈絡(luò)

評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)重在引導(dǎo)學(xué)生交流反思探究成果，建立清晰的邏輯推理脈絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生深化已有認(rèn)知，豐富邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師需要搭建支架，引導(dǎo)學(xué)生有目的地進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，回憶數(shù)學(xué)探究過(guò)程與相關(guān)內(nèi)容，建立出邏輯推理的核心線(xiàn)索。

例如，在《數(shù)列的概念》課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，教師可以提示學(xué)生列舉生活實(shí)例，發(fā)現(xiàn)其中的“數(shù)”的共同特征，提煉關(guān)鍵信息，概述數(shù)列的定義，同時(shí)借助表格形式分類(lèi)梳理數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、單調(diào)性、有界性。基于此，引導(dǎo)學(xué)生借助案例分析數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系。之后，指導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察特殊項(xiàng)、猜想規(guī)律、驗(yàn)證猜想，幫助學(xué)生探究歸納推理法，建立從特殊到一般的邏輯路徑；指導(dǎo)學(xué)生判斷數(shù)列中的項(xiàng)、分析數(shù)列的單調(diào)性與有界性、邏輯分析遞推公式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式進(jìn)行邏輯推理，掌握演繹推理法，建立從一般到特殊的邏輯路徑。最后，要求學(xué)生將數(shù)列的概念作為中心主題，將定義與特征、表示方法、推理方法、相關(guān)概念作為分支，建立思維導(dǎo)圖。在學(xué)生體驗(yàn)每一項(xiàng)反思活動(dòng)時(shí)，教師都可以鼓勵(lì)他們?cè)谛〗M中分享反思成果，發(fā)現(xiàn)彼此存在的認(rèn)知問(wèn)題，互幫互助地解決問(wèn)題。還可以鼓勵(lì)他們主動(dòng)提出自己的疑問(wèn)，采用課堂提問(wèn)、情境創(chuàng)設(shè)、習(xí)題解析等方式幫助他們解決。縱觀(guān)整個(gè)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，教師的引導(dǎo)可以使學(xué)生經(jīng)歷“生活實(shí)例→數(shù)列定義→表示方法→推理方法 $$ 問(wèn)題解決→歸納總結(jié)”的過(guò)程，讓學(xué)生清楚地建立起數(shù)列概念的邏輯推理脈絡(luò)，提高認(rèn)知的有序性、系統(tǒng)性，學(xué)會(huì)進(jìn)行邏輯推理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)內(nèi)容，概念課教學(xué)承載著促進(jìn)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的任務(wù)。綜上所述，運(yùn)用5E教學(xué)模式實(shí)施高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，可以在增強(qiáng)概念課教學(xué)“探究味”的基礎(chǔ)上，為學(xué)生搭建發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的平臺(tái)，讓學(xué)生體驗(yàn)多樣的邏輯推理活動(dòng)，由淺入深地理解數(shù)學(xué)概念，學(xué)會(huì)邏輯推理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。鑒于此，一線(xiàn)教育工作者可以運(yùn)用5E教學(xué)模式培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)。在核心素養(yǎng)培養(yǎng)背景下，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)是一個(gè)熱門(mén)話(huà)題，具有過(guò)程性、發(fā)展性。教師將在運(yùn)用現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，圍繞5E教學(xué)模式的五個(gè)環(huán)節(jié)，探索出更多的策略，讓學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)探究活動(dòng)發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。今后還將拓寬研究范疇，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)為目的，探索更多的教學(xué)模式與策略，讓邏輯推理素養(yǎng)在數(shù)學(xué)概念課上落地生根。

參考文獻(xiàn)

[1]江艦飛.新高考背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的研究川].試題與研究，2025（6）：133-135.

[2]徐勝男，房元霞.基于邏輯推理素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教材分析：以人教A版“直線(xiàn)與平面垂直”為例[J].理科考試研究，2024，31（23）：5-10.

[3]楊紅利.培養(yǎng)高中生邏輯推理核心素養(yǎng)的研究：以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)為例[].數(shù)理天地（高中版），2024（13）：117-119.

[4]陳美蘭.新高考背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的研究[].數(shù)理化解題研究，2023（21）：8-10.

[5]劉躍鑫.高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的實(shí)踐研究[Ⅲ].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（18）：120-122.