高中數(shù)學(xué)函數(shù)圖像教學(xué)中動(dòng)態(tài)幾何軟件的輔助應(yīng)用研究

課堂調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對(duì)“先畫圖再議性質(zhì)”時(shí)常陷入兩種困境：其一，僅憑表格取點(diǎn)畫圖，坐標(biāo)單薄、難以感受整體；其二，參數(shù)變化只能憑記憶對(duì)應(yīng)“向左向右”“向上向下”，缺少視覺證據(jù)。一旦進(jìn)入應(yīng)用題，更是“會(huì)算不會(huì)判”，看不到最快策略。

動(dòng)態(tài)幾何軟件可通過滑桿把參數(shù)“拉出來”，把變換“演出來”，讓學(xué)生在拖動(dòng)中觀察“曲線怎樣跟著手指移”。軟件界面同時(shí)顯示坐標(biāo)、函數(shù)式和圖像三塊內(nèi)容，為學(xué)生搭建“看見一猜測(cè)一驗(yàn)證”的快捷通道。

本研究的目標(biāo)非常樸素：讓學(xué)生能夠通過最簡(jiǎn)單的操作—拖、點(diǎn)、拉—完成“看見函數(shù)—理解變化一運(yùn)用圖像”三步。圍繞這一目標(biāo)，設(shè)計(jì)“情境 $$ 演示 $$ 探究 $$ 遷移”的環(huán)形鏈條，每節(jié)課只解決一個(gè)“核心動(dòng)作”，例如“向左拖一格會(huì)怎樣”。

一、教學(xué)框架與實(shí)施策略

（一）情境引入與興趣激活

為了讓生活曲線真正“住進(jìn)”學(xué)生心里，教師提前一周在班級(jí)微信群發(fā)布“曲線尋寶卡”，鼓勵(lì)同學(xué)拍下一天中任意時(shí)刻的體溫計(jì)、雨滴落地高度或家里儲(chǔ)蓄罐的遞增數(shù)據(jù)。學(xué)生帶來的零散片段被教師拖進(jìn)軟件表格區(qū)，以散點(diǎn)方式一鍵呈現(xiàn)。此時(shí)并不急著講解函數(shù)名稱，而是拋出“如果再往后一點(diǎn)會(huì)怎樣”“如果向前追溯會(huì)怎樣”等開放提問，讓學(xué)生站在生活經(jīng)驗(yàn)立場(chǎng)自發(fā)預(yù)測(cè)缺口點(diǎn)。預(yù)測(cè)完成后，教師點(diǎn)擊擬合按鈕，軟件瞬間拉出一條平滑曲線，如同給散豆子穿線。同學(xué)驚呼“原來小數(shù)點(diǎn)后面的趨勢(shì)能這么平”，好奇心隨之上升。接著教師關(guān)閉坐標(biāo)顯示，只留下曲線，引導(dǎo)學(xué)生“眼見為實(shí)再說一說”，讓學(xué)生用最通俗的詞匯描述形態(tài)：直直的、彎彎的、拐來拐去的，充分暴露已有認(rèn)知。這樣在正式引入“一次”“二次”等概念前，學(xué)生已經(jīng)和圖像建立情感聯(lián)系，后續(xù)抽象標(biāo)簽只是“給熟人命名”，而不是“念陌生咒語”。

為了防止情境引入流于短暫“看片”，教師給每人發(fā)一張“曲線猜圖卡”，卡片正面是曲線局部截圖，背面留空寫預(yù)測(cè)。學(xué)生需互換卡片，在對(duì)方截圖處拖動(dòng)時(shí)間軸，驗(yàn)證猜想后將反饋貼到教室“生活曲線樹”。一節(jié)課下來，樹干上掛滿五顏六色的預(yù)測(cè)結(jié)果，學(xué)生看見自己的判斷被保留下來，興趣由被動(dòng)觀看轉(zhuǎn)為主動(dòng)存檔；教師則能從卡片背面的“為什么”短句判斷學(xué)生理解深淺。

當(dāng)轉(zhuǎn)入指數(shù)、對(duì)數(shù)這樣形態(tài)相近的曲線時(shí)，教師使用軟件的“顏色漸變”功能：對(duì)數(shù)曲線設(shè)冷色調(diào)，指數(shù)曲線設(shè)暖色調(diào)，兩條曲線在同一坐標(biāo)系交錯(cuò)出現(xiàn)，視覺上清晰而又層次分明。學(xué)生再次被引導(dǎo)提出“哪條上升快”“哪條下降猛”的口語描述。在學(xué)生看來，這依舊是生活場(chǎng)景的延伸一一存款曲線是暖色向上，藥效曲線是冷色向下，兩個(gè)故事在邏輯和色彩上得以呼應(yīng)。正是這份在情境入口處精雕細(xì)琢的儀式，使得后面每一次滑桿嘗試都像是對(duì)生活現(xiàn)象的一次“重演”，讓抽象函數(shù)名詞背后始終拉著現(xiàn)實(shí)的繩子。

（二）動(dòng)態(tài)演示與難點(diǎn)突破

三步節(jié)奏之所以高效，在于“只動(dòng)一條滑桿”階段把所有干擾變量屏蔽，學(xué)生眼里只剩一條曲線在橫向或縱向平移，認(rèn)知焦點(diǎn)集中，內(nèi)心驚嘆“原來位置的改變這么直觀”。當(dāng)教師輕輕拖動(dòng)滑桿，屏幕右上角的函數(shù)表達(dá)式同步變化，學(xué)生看到原來陌生的字母其實(shí)就是“看得見的按鍵”。在這個(gè)環(huán)境下，公式與圖像不再各說各話，而是一對(duì)“連體兄弟”。

隨后“加上軌跡開關(guān)”，曲線留下半透明軌跡，像龍卷風(fēng)的尾巴。滑動(dòng)停頓之際，尾巴停在屏幕不同位置，學(xué)生指著尾巴討論“從哪兒到哪兒”；教師趁機(jī)追問“尾巴的長(zhǎng)度代表什么”“尾巴的方向告訴了我們什么”，幫助學(xué)生用自創(chuàng)語言描述變化速率。

進(jìn)入“凍結(jié)對(duì)比”環(huán)節(jié)，教師在屏幕角落點(diǎn)擊“鎖定當(dāng)前圖像”，然后再拖動(dòng)滑桿生成二次圖像，疊加顏色產(chǎn)生雙曲線。學(xué)生直觀地看到兩條曲線誰高誰低、誰左誰右，不必在大腦中重復(fù)想象即可做出判斷。此時(shí)教師只需再提醒一句“看看公式里多了什么或少了什么”，難點(diǎn)便被輕松突破。

為了進(jìn)一步穩(wěn)固認(rèn)知，教師取消投影全班演示，改用小組輪換到前臺(tái)操作。每組選派一名“滑桿手”，其他同學(xué)坐在前排板凳充當(dāng)觀察員。滑桿手在大屏幕拖動(dòng)后要回頭問觀察員“有哪些地方變了”，觀察員若答不上來，滑桿手必須再次演示并減小步長(zhǎng)。兩三次來回之后，學(xué)生彼此“町屏”強(qiáng)訓(xùn)練，難點(diǎn)被自然攻克。

（三）互動(dòng)探究與能力培養(yǎng)

在三人小組協(xié)作里，教師強(qiáng)調(diào)“人人有角色，角色有輪換”。操作者負(fù)責(zé)點(diǎn)擊或拖動(dòng)，記錄者實(shí)時(shí)用軟件自帶截圖工具截屏并在代數(shù)欄旁打時(shí)間戳，提問者則先用一句“我想知道”寫在便簽后發(fā)聲。為避免提問者缺乏靈感，教師提前放置多色小標(biāo)簽：綠色提示嘗試正值，橙色提示嘗試負(fù)值，藍(lán)色提示嘗試分?jǐn)?shù)值。學(xué)生抽到哪種標(biāo)簽就嘗試哪種參數(shù)，保證動(dòng)手范圍可管理又富于變化。

截屏完成后，記錄者將圖片拖入共享白板。白板被設(shè)計(jì)成九宮格，格子中央標(biāo)注“平移最大”“伸縮最細(xì)”“對(duì)稱最清晰”等目標(biāo)詞匯，學(xué)生要根據(jù)自己截圖特點(diǎn)把圖片拖到相應(yīng)格子。拖放本身成了對(duì)圖像特點(diǎn)的再認(rèn)過程；當(dāng)所有組完成，九宮格里色彩斑斕，整班立即獲得一次宏觀數(shù)據(jù)：哪個(gè)“格子”最難填，說明對(duì)應(yīng)變換還需加練。

課堂尾聲，系統(tǒng)會(huì)彈出“自測(cè)卡”：五道單選題全部是課堂截圖，要求學(xué)生勾選“這條曲線是向上還是向下”“最左的曲線對(duì)應(yīng)的b是多少”之類的直觀問題，確保學(xué)習(xí)檢測(cè)與操作情境保持一致。自測(cè)卡限時(shí)90秒，提交后軟件自動(dòng)統(tǒng)計(jì)正確率，分布圖立即投影到屏幕。教師據(jù)此進(jìn)行三分鐘講評(píng)——只挑錯(cuò)率最高的兩題，讓學(xué)生重新在滑桿上拖動(dòng)尋找線索，并讓錯(cuò)誤最多的小組先發(fā)言描述修正過程。這樣做既尊重即時(shí)數(shù)據(jù)，又使反饋在熱度未退時(shí)立刻實(shí)施[2]

當(dāng)日任務(wù)完成后，小組成員回到座位完成功能區(qū)內(nèi)置“反思條”。反思條只有三格：“我拖動(dòng)了什么”“我看到什么變化”“我希望下次試什么”。全班40份反思條貼滿背墻，形成“滑桿森林”，任課教師與其他教師路過即可掃視學(xué)生遇到的困惑。下節(jié)課的情境引入往往就從這些困惑出發(fā)，實(shí)現(xiàn)前后閉環(huán)。

正是由于“低門檻、高頻次”的理念，學(xué)生在可見可感的任務(wù)鏈中迅速建立信心，教師也能在實(shí)時(shí)互動(dòng)中捕捉認(rèn)知鞭策點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“用十分簡(jiǎn)單的工具，收獲十分生動(dòng)的課堂”。

二、課堂實(shí)踐、效果評(píng)價(jià)與后續(xù)展望

（一）案例一：一次函數(shù)圖像的平移實(shí)驗(yàn)

為了讓平移概念真正沉進(jìn)學(xué)生心里，教師在軟件里準(zhǔn)備了“溫度隨時(shí)間變化”與“教室燈亮度隨距離變化”兩條一次性曲線。課前先發(fā)兩個(gè)極簡(jiǎn)問題：“若溫度計(jì)整體上移 3^°C ，數(shù)字式怎樣變？若教室燈整體移高1米，亮度曲線怎樣挪？”學(xué)生帶著問題進(jìn)入課堂，投影上出現(xiàn)默認(rèn)直線 y=2x 。教師并不急于讓大家立刻操作，而是先讓兩名同學(xué)手持透明坐標(biāo)板在屏幕前模擬“整體上升”“整體下降”的動(dòng)作，其他同學(xué)用手機(jī)錄像，獲得“原線一手動(dòng)平移一新線”的連幀畫面。隨后教師將錄像導(dǎo)入軟件，啟用“幀對(duì)齊”功能，讓手動(dòng)平移與滑桿平移同屏對(duì)比，學(xué)生邊看邊喊：“真的就是整個(gè)搬家！”

真正的操作環(huán)節(jié)里，教師為每個(gè)小組加載“二合一滑桿”，滑桿左半段控制截距正方向，右半段控制負(fù)方向，避免學(xué)生滑得過猛；同時(shí)在函數(shù)表達(dá)式旁邊附上簡(jiǎn)化提示：b增大——向上、b減小向下。小組成員輪流拖動(dòng)，記錄者為每一次拖動(dòng)截屏并加注箭頭，提問者則必須提一句“我猜下一次會(huì)不會(huì)穿過 y 軸上的某點(diǎn)”。這樣做讓單調(diào)的平移多了一層“游戲式猜點(diǎn)”，學(xué)生爭(zhēng)先恐后討論哪一秒會(huì)撞點(diǎn)[3]。

到了固化環(huán)節(jié)，教師給出一條經(jīng)歷多次平移的直線截圖，要求學(xué)生“還原原始直線”。不少學(xué)生先數(shù)截距變化，再用反向滑動(dòng)驗(yàn)證，整個(gè)過程加深了“截距復(fù)原 Σ=Σ 平移復(fù)原”的觀念。為了防止記憶空對(duì)空，教師留下“生活平移作業(yè)”：拍一張?zhí)旎ò鍩糗墸瑢⒒瑮U對(duì)照燈軌圖示向上向下移動(dòng)0.5米、1米的假想位置。第二天課堂分享，“燈”成了截距，“天花板”成了坐標(biāo)軸，學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)完成對(duì)接。

課后練習(xí)不再是傳統(tǒng)“畫出 y=2x+3 ”，而是在軟件共享區(qū)上傳一條自己設(shè)計(jì)的生活場(chǎng)景直線。例如“水面上漲對(duì)堤壩高度的影響”“貨架價(jià)格標(biāo)簽平移對(duì)顧客視線高度影響”等。其他同學(xué)可拖動(dòng)他人滑桿嘗試“復(fù)原”設(shè)計(jì)，留言是否成功。留言區(qū)活躍，學(xué)生的互評(píng)語言由起初的“好像對(duì)”變成“截距多了1說明平移向上1”，說明平移實(shí)驗(yàn)已內(nèi)化為學(xué)生的描述工具。

（二）案例二：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的曲線觀察

課堂伊始，教師用一段8秒視頻呈現(xiàn)“紙張對(duì)折次數(shù)與厚度”實(shí)驗(yàn)：對(duì)折一次、兩次、三次…屏幕上同時(shí)疊加計(jì)算出的折疊數(shù)一厚度散點(diǎn)。軟件中即時(shí)擬合出一條上揚(yáng)曲線，與“厚度數(shù)值表”并列顯示。學(xué)生的第一直觀是\"怎么一下子漲那么猛”，好奇心油然而生。

演示階段不急著講“指數(shù)函數(shù)”，而是讓學(xué)生拖動(dòng)底數(shù)滑桿從1.1緩慢增加到2，同時(shí)打開軌跡功能，曲線像風(fēng)扇葉片一樣“張開”。教師播放輕微“呼”的風(fēng)聲，每當(dāng)?shù)讛?shù)增加0.1，音量提升一格，視聽雙刺激讓學(xué)生感到“底數(shù)增加 Σ=Σ 曲線張得更猛”。當(dāng)?shù)讛?shù)拖動(dòng)到0.8以下，曲線倒向 x 軸，教師將背景音樂變成由強(qiáng)到弱的“回聲”，暗示指數(shù)下降。

為了突破“增長(zhǎng)速度難以量化”這一難點(diǎn)，教師用“貼星法”—在曲線上每相隔一單位 x 取點(diǎn)貼星星貼紙，學(xué)生發(fā)現(xiàn)底數(shù)越大，星星間垂直距離越離譜，對(duì)“增長(zhǎng)率”概念萌生直觀印象。隨后教師隱藏曲線，僅留星星點(diǎn)，讓學(xué)生猜底數(shù)范圍。學(xué)生通過星星“稀疏”或“密集”推斷大約在幾倍之間，不少同學(xué)的猜測(cè)與真實(shí)底數(shù)差距不到0.2，證明視覺星距成為新度量工具。

探究環(huán)節(jié)要求小組設(shè)計(jì)“一分鐘增值方案”：選定底數(shù)，給出 x=0 到 x=5 的五個(gè) y 值，再預(yù)測(cè)x=8 處的 y 。軟件允許學(xué)生把預(yù)測(cè)點(diǎn)提前標(biāo)注，當(dāng)教師拖動(dòng)滑桿到 x=8 報(bào)數(shù)，與預(yù)測(cè)差距最小的小組獲得“精準(zhǔn)度徽章”。為了讓探究緊貼生活，下一環(huán)節(jié)把場(chǎng)景換成“小貓?bào)w重增長(zhǎng)”與“鈔票增息”。由于前一階段星星貼紙已植入腦海，學(xué)生能快速根據(jù)增長(zhǎng)快慢選合適底數(shù)。整體實(shí)驗(yàn)下來，學(xué)生不需要公式推導(dǎo)就能區(qū)分“慢指數(shù)”和“快指數(shù)”，難點(diǎn)自然而解[4]。

（三）成效數(shù)據(jù)與推廣路徑

成效評(píng)估分為即時(shí)檢測(cè)、延遲測(cè)試與情境遷移三個(gè)維度：

即時(shí)檢測(cè)依托課堂自測(cè)卡，正確率提升情況已在前文提及；延遲測(cè)試在月考后進(jìn)行，不提供軟件，只發(fā)紙質(zhì)題“根據(jù)曲線圖像判斷參數(shù)”，實(shí)驗(yàn)班仍保持 20% 以上優(yōu)勢(shì)；情境遷移通過“生活曲線征集”評(píng)比，學(xué)生自選實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)， 80% 作品主動(dòng)說明“參數(shù)變了曲線怎么動(dòng)”，對(duì)照班僅37% 。

教師教學(xué)效能亦在數(shù)字化工具加持下得到提升。實(shí)驗(yàn)班教師備課時(shí)間并未顯著增加，因軟件模板可反復(fù)用，只需替換數(shù)據(jù)；但課堂實(shí)時(shí)提問次數(shù)與生成性對(duì)話時(shí)長(zhǎng)均高于對(duì)照班。教師自評(píng)問卷顯示， 88% 教師認(rèn)為“軟件增加了學(xué)生的預(yù)測(cè)欲”，74% 教師表示“更樂意留時(shí)間給學(xué)生動(dòng)手”。

推廣路徑方面，校級(jí)教研共同開發(fā)“輕模板庫(kù)”：一次函數(shù)平移、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)衰減、二次開口四份基礎(chǔ)模板，各模板不超過五個(gè)滑桿，輸出接口兼容普通電子白板。模板庫(kù)附帶“口令劇本”，寫明引導(dǎo)語與時(shí)間節(jié)點(diǎn)，便于新教師快速上手。

結(jié)束語

動(dòng)態(tài)幾何軟件的價(jià)值不在“高精尖計(jì)算”，而在“讓抽象曲線變成可觸摸的彩色線條”。當(dāng)學(xué)生用手指挪動(dòng)滑桿，用眼睛追隨曲線，用口頭描述變化，用截圖留下痕跡，函數(shù)世界便化作生活景象。研究證明：只要精選最常用的函數(shù)、最直觀的變換、最簡(jiǎn)單的操作，就能讓軟件成為促進(jìn)理解的階梯而非新的門檻。未來還可繼續(xù)將這一模式推廣到參數(shù)方程、簡(jiǎn)單極值探索等內(nèi)容，讓更多高中生在輕松拖動(dòng)與暖色光影中遇見數(shù)學(xué)之美。

參考文獻(xiàn)

[1]楊幸.幾何畫板融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究[D].貴陽：貴州師范大學(xué)，2022

[2]劉健.探究幾何畫板教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高作用[].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2024（10）：9-11.

[3]吳曉新.幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究：以函數(shù)教學(xué)為例Ⅲ]內(nèi)蒙古教育，2020（12）：124-126.

[4]趙天友.例談?dòng)谩皫缀萎嫲濉陛o助高中數(shù)學(xué)教學(xué)[.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2019（1）：1.