換元思想在初中數學學習中的應用思考

1 問題提出

數學為人們提供一種理解與解釋現實世界的思考方式，運用數學思維可以建立數學對象之間的邏輯關系，通過計算思維可以將各種信息簡約和形式化[].G.波利亞[2]在《怎樣解題》中提及，數學教學的目的在于培養學生的思維能力.數學思想方法是一種數學意識，屬于思維的范疇，在解決數學問題的過程中，經常會運用化歸與轉化的數學思想方法，將復雜問題轉化為簡單的、熟悉的問題，而換元法則是實現化歸與轉化的重要策略.換元思想的關鍵是構造元和設元，從而使得非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，以此獲得問題的解決.新課標新教材背景下，初中數學學習中，經常會用到換元思想，換元思想的內涵與思維特點、學生運用換元思想的思維困惑等，這是值得再思考的.以蘇州市某區七下期末統考的一道數學試題為例：

[引例]若方程組（* 求方程組 的解.

學生解決這道題的思維困惑為：要解的方程組（**） 和已知的方程組 （*） 在形式上不完全一致，所以沒辦法直接換元.需要先變形成與方程組Ξ（Λ*Λ） 形式一致后，才能看出.比如將方程組 （**） 變形為方程組（

（20此時便可以進行換元：不妨令 于是方程組 （**） 變形為 {aX+b，Y=c1'此時經過換元（2將復雜的問題轉化為簡單的問題：方程組 便與方程組 （**） 同解（等價）.但從實際解決問題的情況來看，學生出錯率較高，因此數學教學中，需要系統思考換元思想的內涵及教學價值，以此更好地融入數學教學，促進學生數學思維能力的提升.

2 換元思想在數學學習中的運用現狀

數學學習中，換元思想是對問題進行轉化與化歸的重要策略，已有的研究主要關注換元思想在不同主題知識中的運用、不同換元方法的運用及在中考試題或數學競賽中的運用情況.

2. 1 在不同主題知識中的運用

初中數學學習時，換元法經常運用于解方程，比如引例中的二元一次方程組、分式方程[3]等，常規解方程（組）的方法不能奏效時，可以運用多角度變形然后進行換元，嘗試解決問題.在面對非標準形式方程時，也經常需要用到換元思想．比如 此處可以先令

值得注意的是，換元化簡是一種解題策（20

略，并不是唯一選擇.另外，初高中數學學習中，換元法經常運用于求函數最值，比如已知 x²+xy+y²= 1，求 的最大值.此處可以將題設變形為 ，于是利用三角換元，令 易得 2x+y=2cost ，于是將二元最值問題轉化為三角函數的最值問題.解決初中幾何問題時，學生需要運用幾何知識和相關定理，其中也會運用換元法引人新的元素或變量，改變解題角度或路徑，從而簡化問題，比如解決長度問題、面積問題、角度問題等[4].運用換元思想解決問題過程中，強調問題分析的多角度性.需要對原有條件或已有經驗進行重構，發現新問題的解決路徑，指向靈活性和敏捷性等思維品質的提升.

2.2 不同換元方法的運用

初中數學學習中，會關注不同換元方法的運用，除了前面提及的三角換元，還有雙換元、局部同構換元、常值換元等.其中雙換元是通過引入兩個新變量替換原問題中的量，進而簡化復雜問題的解題策略，其核心在于通過變量代換降低問題的復雜程度，比如多個根式的分母有理化問題[5]：化簡 可以令 ， ，易發現：a²-b²=2 ，于是原式 （a+b）（1+a-b）=a+b，于是巧妙降低原問題的復雜程度.解決問題過程中用字母代替問題中的數值，也屬于常值換元法.再比如可以運用局部同構換元，構造新函數，再利用新函數的圖象和性質解決數學問題[6.當然運用局部同構換元時，需要對問題式進行適當的變形或放縮，以得到局部同構式，構造同構模型.這個方法在高中數學中運用較多，比如通過指對數互化，將函數式的局部化為同構式，其中可能需要運用重要不等式進行放縮.換元思想的運用核心是需要認真觀察和分析問題的結構特征，從而考慮換元對象，過程中強調方法運用的靈活性及解決問題視角的多元性，指向靈活性、批判性的思維品質的培養.

2.3 在中考試題或數學競賽中的運用

在中考試題或數學競賽試題中，也經常會涉及

換元法.中考試題中會出現分式方程，其中會運用換元法將分式方程轉化為整式方程，比如[7]：+3 x2-1 ，觀察方程結構可以看出，等式左邊的分式互為倒數的關系，于是可以令+3 ，則原方程轉化為 所以，換元法的使用難點在于，探尋要解決問題中的隱含條件或結構，以此尋找突破口，運用換元降低問題的復雜程度，進行問題的巧妙解決.在全國初中數學聯賽試題中，經常會運用到換元思想，比如[8]：求方程 的實數根的個數.本題直接求解難度較大，所以可以采取局部換元法，令 ，于是 x= t²-9 ，則原方程轉化為： ，由此再進行簡單化簡（如兩邊同時六次方，便可化簡得 t+3= （t-3）². ），便易于求出原方程的解.所以，在解決數學問題時，需要依據問題的特點將某一個或多個式子看成整體進行換元，生成新的關系式，從而較為簡捷地解決問題，指向學生敏捷性、深刻性等思維品質的培養.

綜上，換元思想在初中數學學習中起到重要作用，也是培養學生思維品質的較好思維載體.而由引例可以看出，學生對換元思想的靈活運用還存在提升空間.數學學習時，如何引導學生更系統地理解換元思想，進而可以遷移運用，這是需要關注的.所以，研究欲基于換元思想的思維特點剖析其教學價值，并結合新教材中數學知識內容的呈現，以此思考換元思想在初中數學教學中的運用，指向培養學生的學科素養和思維品質

3 換元思想的教學價值

任何一個概念、方法的引入必然有其必要性及價值，換元思想也不例外，需要引導學生從“為什么要使用換元思想”中體會思維方法的教學價值

3.1 理解換元思想，助力問題的化歸與轉化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱2022課標）中明確提出，要整體分析學生的認知規律和數學內容本質，整體設計，分步實施，呈現數學知識或數學思想間的內在邏輯關系，促進學生的理解和把握.換元是將一個或幾個變量構成的數學表達式中的部分用新的變量表示，以簡化問題的解決.所以換元的本質是“轉化與化歸”[9]，通過以“元”換“式”（如整體換元）、以“式”換“元”（如三角換元）等將復雜問題簡潔化、非常規問題常規化等實現問題的轉化與化歸.比如引例中，面對方程組 ’與方程組 {ax +by=1'首先需要思考要求解的方程組（**） 與方程組 Ξ（Λ*Λ） 之間的關系，然后整體思考，繼而嘗試變形探索如何實現化歸與轉化，比如將方程組 （**） 變形為方程組（*）的形式，這就需要基于整體視角去分析.

3.2 凸顯結構性與等價性，指向知識的聯結與遷移

換元思想作為初中數學學習中常用的解題策略，其在解決問題的過程中蘊含結構性和等價性的特點.解決問題的本質是到被破壞的秩序中去找尋，以達到新的秩序；每一種類型表達一種結構方式，“結構”本身掩蓋了反思所揭示出來的那種混亂[10].比如，引例中可以看出方程組 （**） 與方程組 （*） 之間隱藏某種結構一致性，這一點學生不難發現.但是方程組 （**） 中存在“不和諧”，如何突破這種“不和諧”，這是關鍵.這里的難點是方程組中“變量”較多，需要確定一個“固定的結構”，這樣才能有效轉化.這里采用將方程組 （**） 變形為 這時便突破“不和諧”，從被破壞的秩序中尋找到了秩序（結構），即不妨令 于是變形為 （aX+b，Y=c'此時換元思想奏效.運用換元思想的難點是從“被破環的秩序”中尋找“結構”，這一過程需要等價變形助力，所以換元思想兼備“結構性”和“等價性”，解決問題的過程中需要學生基于已有認知經驗和知識，實現知識的聯結與遷移.

4新教材背景下換元思想在教學中的滲透策略

學生運用換元思想需要經歷以下階段[11]：通過典型問題的解決進行模仿和體會；繼而進行反思與整合，嘗試進行變式運用；然后進行自覺運用嘗試解決問題；最后進行知識與方法的靈活運用，進入分離與創新階段.新教材背景下，初中數學學習時，需要結合換元思想的學習進階思考其教學滲透策略.

4.1 典型運用，模仿與體悟

換元思想并不像一般的數學知識編排在具體章節中，其往往隱含在具體數學問題中，正是這種隱蔽性和分散性，需要教師結合換元思想的學習進階，整體設計、分步實施，循序漸進地引導學生理解和運用換元思想，指向學生數學思維能力和問題解決能力的提升.比如引例中的問題屬于二元一次方程組知識中的典型問題，平時學習可以從典型問題開始模仿與體悟.不妨進行如下設計：

問題1 已知關于 x，y 的二元一次方程組{2x +3y =α，的解是} 求關于 x，y 的二元一次方程組

問題2 已知關于 x，y 的二元一次方程組 的解是 求關于 ^x，y 的二元一次方程組 的解.

問題3 已知關于 x，y 的二元一次方程組 求關于 ^x，y 的二元一次方程組 {ax + 2b，y = 3c1的解.

以上3個問題均為引例的基本原型，隨著題型條件和問題的稍微變化，引導學生體悟解決這類問題的關鍵：以題設為結構原型，將要解決的問題變形為題設的“結構\"（需要關注保持系數不變）.因為這些問題均為非常規二元一次方程組，所以需要運用換元思想進行轉化與化歸，于是問題1中可以令{x+2025=X，即問題方程組變形為 （204號{2X + 3Y =α，問題2中令 于是問題方程組變形為 問題3中因為問題方程組的等式右邊系數發生變化，所以需要先變形為 即問題方程組變形為 {αX+b，Y=c'此處教師不能一味地引導學（204號生模仿，而是需要從不同二元一次方程組問題的解決中，體悟問題變化中不變的本質，理解問題的本質和換元思想的本質，指向學生問題解決能力的提升和數學思維品質的形塑

4.2 靈活運用，反思與整合

數學思想方法的學習過程分為三個階段：潛意識階段、明朗化階段和深刻化階段[12].換元思想也需要經歷由模仿與體悟（潛意識階段）走向明朗化和深刻化階段，而這便需要學生能夠基于已有的學習進行反思與整合，指向靈活運用.比如換元思想與完全平方公式的融合運用時，經常會出現這一類型問題：若 x 滿足 （5-x）（x-2）=2 ，求 （x-5）²+ （204號 （2-x）² 的值.解決這類問題的關鍵是尋找其中的隱含信息： ，于是令 5-x=a ，x-2=b ，則問題轉化為：已知 ab=2 且 a+b=3 ，求a²+b² 的值.于是結合換元思想將原問題轉化為較為簡單的完全平方公式的變形：即 a²+b²=（a+b）² （2號-2ab=5 ，問題得解.這里便利用換元思想挖掘問題背后的本質，將問題轉化為完全平方公式的運用問題，也體現換元思想的結構性和等價性等特點.但是此時應引導學生繼續反思，你還能提出什么樣的問題？培養學生的知識遷移能力、問題提出能力.此時便有同學提出，要是和不是定值，差是定值呢？此處教師要允許學生大膽表達自己的想法，并舉出例子.還有學生提出這樣的問題：若 x 滿足 （2x-3）（x-1） （204號=3 ，求 （3-2x）²+4（x-1）² 的值，這便是很好的課堂資源.于是學生發現需要先挖掘隱藏信息：令 2x- 3=a，2x-2=b ，此時原問題轉化為： a-b=-1，ab =6 ，求 a²+b² 值.

在換元思想學習的潛意識階段，學生往往只注意到思想方法運用的外在形式，而沒能注意到知識背后潛藏的變化信息，此時教師需要利用學習任務驅動學生繼續思考，挖掘內在的變化因素，基于此反思與整合，形成對這類題型的明朗化和深刻化的認識，指向換元思想的靈活運用.

4.3 創新運用，分離與超越

初中數學學習時，換元思想的學習需要歷經模仿與體悟、反思與整合，繼而嘗試分離與超越階段.換元思想只是一種解題策略，數學問題的解決過程需要關注模式和定法多用，但同時也需要關注一題多解、方法的優化，指向知識的聯結與遷移.學生通過反思與整合，促進對換元思想新的理解.比如：求（2x-3）（1-x） 何時取得最大值.學生會發現這其實已經不再是原來的求值問題，而是求最大值問題.解決數學問題的難點在于，如何挖掘其中隱含的結構，將已有知識和經驗與新問題發生聯結，進而巧妙解決.對于 （2x-3）（1-x） 的最大值，解決問題的過程中，有同學進行大膽想象：長方形周長一定時，當長和寬相等時面積最大.此時便是課堂上不期而遇的“美麗”，教師需要能善于把握課堂的資源轉化為教學任務：這里有“長”和“寬”嗎？學生回答：不妨記 a=2x-3，b=2-2x ，此時會發現 a+b=-1 （此處可以把 α_a 和 b 想象成長方形的長和寬），問題等價轉化為：已知 a+b=-1 ，求 何時取得最大值.于是當 a=b ，即 2x-3=2-2x 時， （2x-3）（1-x） 取得最大值.這一思考過程反映出，學生對換元思想的理解由模仿、整合轉向超越，達到一種創新運用.

由此發現，學生對換元思想的認識過程，需要經歷不斷的體驗、領悟、反思，過程中不斷激活“條件”，從而采取“行動”（換元思想）.學生經由反思辨析：如何運用換元思想將“無序”或“混亂”進行調整與轉化，這一過程的反復體驗可以促進對換元思想的深度理解，以此實現對思想方法的分離與超越.當然，以上僅以蘇科版七年級新教材中出現的問題為載體進行的思考，后續可以結合其他學段的數學教材，繼續系統優化對換元思想的認識.

參考文獻

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[12]王興國.略論數學思想方法學習的幾個問題[J].教學與管理，2009（33）：78-80.

作者簡介李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，副教授，博士，碩士生導師；主要從事數學課程與教學研究；

黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，碩士研究生，中學二級教師；主要從事初中數學教學研究.