基于APOS理論的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)階教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確強(qiáng)調(diào)：教學(xué)活動(dòng)應(yīng)利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題[1].無理數(shù)教學(xué)中，常采用“去幾何化”的機(jī)械操作，導(dǎo)致認(rèn)知停留于符號(hào)演算層面，從而割裂無理數(shù)的本質(zhì)與其幾何表征的內(nèi)在聯(lián)系.而方格紙作為數(shù)形結(jié)合載體，是一種重要的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具，其可為無理數(shù)提供可操作的幾何意義錨點(diǎn).現(xiàn)基于APOS理論框架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)階梯式設(shè)計(jì)，從而促進(jìn)學(xué)生從直觀操作向形式化推理躍遷，最終構(gòu)建無理數(shù)比較的完整認(rèn)知圖式.

1無理數(shù)大小比較實(shí)驗(yàn)教學(xué)的困境

1.1認(rèn)知斷層導(dǎo)致構(gòu)造障礙

實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念或原理等新知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和重新組織，形成“有向概念圖”[2].而學(xué)生對(duì)無理數(shù)的理解常始于“無限不循環(huán)小數(shù)”的抽象定義，卻難以建立其幾何實(shí)在性.這主要由于直覺經(jīng)驗(yàn)局限，學(xué)生慣于整數(shù)、分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上的精確標(biāo)定，但√2等無理數(shù)需通過單位正方形對(duì)角線間接生成；其次操作表象缺失，學(xué)生未經(jīng)歷“畫正方形 $$ 連對(duì)角線 $$ 測(cè)量驗(yàn)證”的完整操作，導(dǎo)致無法內(nèi)化勾股定理的逆向應(yīng)用.

1.2幾何解釋缺位導(dǎo)致比較障礙

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)中，部分教師僅考慮實(shí)驗(yàn)的外在價(jià)值，而忽視實(shí)驗(yàn)過程的內(nèi)在價(jià)值.盡管學(xué)生能背誦平方比較法判定 ，但學(xué)生無法解釋“為何比較平方而非原式”.這一障礙源于算法與模型的割裂，教學(xué)中未建立代數(shù)操作（平方）與幾何操作（面積重疊法）的對(duì)應(yīng)關(guān)系；其次度量意識(shí)薄弱，學(xué)生缺乏“長(zhǎng)度即圖形可疊合性”的度量本質(zhì)認(rèn)知，導(dǎo)致對(duì)無理數(shù)大小判斷仍需依賴小數(shù)近似值.

1.3策略缺失導(dǎo)致遷移障礙

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)自由地進(jìn)行知識(shí)共建和經(jīng)驗(yàn)分享，從而進(jìn)一步促進(jìn)新意義的創(chuàng)造[3].當(dāng)問題進(jìn)階至兩個(gè)無理數(shù)的和（或者三根無理數(shù)的和）與另外一個(gè)無理數(shù)的大小比較的組合式或無理式的和的最值問題時(shí)，學(xué)生未能主動(dòng)關(guān)聯(lián)幾何模型，利用兩點(diǎn)之間線段最短來探究問題、解決問題.其深層原因是對(duì)象化水平不足，未將無理數(shù)從“單一長(zhǎng)度”抽象為“可運(yùn)算的數(shù)學(xué)對(duì)象”，無法進(jìn)行折線路徑合成；其次是圖式僵化，在最值問題中學(xué)生固守代數(shù)求值，卻忽略其本質(zhì)是“將軍飲馬”中路徑最短的物理直觀

2APOS理論簡(jiǎn)介與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

2.1 APOS理論簡(jiǎn)介

APOS理論由數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（EdDubin-sky）提出，以皮亞杰的建構(gòu)主義為基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)概念的習(xí)得分解為“操作（Action） $$ 過程（Process） $$ 對(duì)象（Object） $$ 圖式（Schema）”四個(gè)認(rèn)知階段.其中，操作（Action）指學(xué)習(xí)者通過外顯的物理或心理操作直接感知數(shù)學(xué)對(duì)象；過程（Process）指通過重復(fù)活動(dòng)，學(xué)習(xí)者內(nèi)化操作步驟，形成可逆的思維模式；對(duì)象（Object）指當(dāng)過程被壓縮為獨(dú)立實(shí)體時(shí)，學(xué)習(xí)者可對(duì)其進(jìn)行整體分析和操作；圖式（Schema）指通過與其他概念的交互整合，形成系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).該理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在具體操作與抽象反思的循環(huán)中逐步建構(gòu)知識(shí)，尤其適用于解決無理數(shù)比較這類兼具代數(shù)抽象性與幾何直觀性的教學(xué)難點(diǎn).

2.2APOS理論框架下的實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“為促進(jìn)理性思維，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問題，通過一定的方法，借助一定的設(shè)備，運(yùn)用一定的手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下和典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)建構(gòu)過程和數(shù)學(xué)探索活動(dòng)”[4].現(xiàn)以蘇科版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)八年級(jí)下冊(cè)實(shí)驗(yàn)17“方格紙中的無理數(shù)——比較無理數(shù)的大小”為例，探索通過APOS階段遞進(jìn)，幫助學(xué)生從動(dòng)手操作過渡到抽象推理實(shí)驗(yàn)教學(xué)路徑，從而使學(xué)生在動(dòng)手操作中積累經(jīng)驗(yàn)，在思維內(nèi)化中提煉方法，最終實(shí)現(xiàn)從直觀經(jīng)驗(yàn)到形式化數(shù)學(xué)的認(rèn)知跨越

（1）APOS理論指導(dǎo)下的四階段實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)（具體參見表1）

表1APOS理論指導(dǎo)下的四階段實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)

（2）實(shí)驗(yàn)工具與材料：方格紙、直尺、鉛筆、計(jì)算器（可選）.

（3）基于APOS四階段的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì)（具體參見表2）

表2基于APOS四階段的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.3APOS理論框架下的實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施

階段1 操作（Action）- 一做中學(xué)，建構(gòu)直觀感知

問題1（1）觀看“數(shù)學(xué)第一次危機(jī)\"視頻，思考導(dǎo)致希帕索斯喪生的數(shù)是哪個(gè)數(shù)？我們把這個(gè)數(shù)命名為什么數(shù)？你還能舉出這樣的一些數(shù)嗎？

（2）在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，我們分別研究了它的性質(zhì)、大小比較以及運(yùn)算，那么對(duì)于無理數(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)16中，我們借助在方格紙中剪拼正方形的探究活動(dòng)理解了其性質(zhì)，那么接下來我們將要學(xué)習(xí)什么？

（3）對(duì)于無理數(shù) 和 ，你除了用代數(shù)方法進(jìn)行比較外，你還能想到什么方法比較其大小的？其中，借助數(shù)軸比較這兩個(gè)無理數(shù)的大小，關(guān)鍵是什么？有沒有比數(shù)軸更方便的構(gòu)造工具？

教學(xué)說明活動(dòng)階段表現(xiàn)為學(xué)生在網(wǎng)格紙上構(gòu)造無理數(shù)對(duì)應(yīng)的斜線段 ，其主要原理通過構(gòu)造兩直角邊分別為 m，n （網(wǎng)格長(zhǎng)分別為 m，n） 的直角三角形得到斜邊 ：首先利用數(shù)學(xué)文化引入無理數(shù)，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望：其次通過學(xué)習(xí)路徑的引領(lǐng)激發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)主導(dǎo)學(xué)習(xí)；最后啟發(fā)學(xué)生將抽象的無理數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，借助比較線段大小的方法：度量法、疊合法、圓規(guī)截取法，并做出比較，以上三種比較的方法都無法用于理論證明.而在數(shù)軸上借助直角三角形構(gòu)造出長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段，也可比較大小，通過追問“有沒有比數(shù)軸更方便的構(gòu)造工具”，從而引出在方格紙中探究無理數(shù)的必要性.

階段2 過程（Process）——思中悟，內(nèi)化比較方法

問題2（1）利用網(wǎng)格紙比較 與 的大小，并說明理由.

教學(xué)說明 數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本步驟，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本操作[5].過程階段則發(fā)展為學(xué)生在心理層面進(jìn)行思維操作，能夠在想象中完成圖形構(gòu)造.引導(dǎo)學(xué)生將 看成兩個(gè)實(shí)數(shù)的和，即在網(wǎng)格中構(gòu)造長(zhǎng)度為 和1的兩個(gè)線段的和，再與 構(gòu)造出如圖1所示的三角形，進(jìn)而利用三角形的兩邊之和大于第三邊，得出

（2）如何借助方格紙比較無理數(shù) 與 的大小？你是怎么想到的？判斷的依據(jù)是什么？說給你同桌聽一聽.

教學(xué)說明 問題設(shè)計(jì)凸顯從具體到抽象的思維過渡，加強(qiáng)過程內(nèi)化.如圖 以及

圖1

正好構(gòu)成直角三角形，借助“直角三角形斜邊大于直角邊”來判斷，本質(zhì)是“垂線段最短”，從而得出 ;如圖3，將“ 理解為\" ，從而構(gòu)造出 為三邊的三角形，再借助三角形三邊關(guān)系即可判斷 .這里采用正向拓展、逆向設(shè)計(jì)的方式，鞏固和理解探究的原理，形成批判性的思維，助推學(xué)生推理能力和思維能力進(jìn)一步提升

圖2

圖3

階段3 對(duì)象（Object）——用中通，實(shí)現(xiàn)概念升華

問題3 （1）嘗試在方格紙上利用構(gòu)造圖形的方法比較 與 的大小.

教學(xué)說明 對(duì)象階段的標(biāo)志是將無理數(shù)視為獨(dú)立實(shí)體，理解無理數(shù)本身就是一個(gè)確定的數(shù)學(xué)對(duì)象（如線段、三角形的一邊等）.對(duì)于帶有分母的一類比較大小的題目，一是引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度：將各數(shù)同時(shí)擴(kuò)大為原來的整數(shù)倍（分母的最小公倍數(shù)），即比較 與 大小（如圖4），從而化“陌生”為“熟悉”、化“未知”為“已知”；二是引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度：利用平行四邊形知識(shí)或中位線構(gòu)造一半（如圖5）.從而通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性.

圖4

圖5

（2）請(qǐng)嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較 與 （含有根號(hào)的無理數(shù)）的大小.

教學(xué)說明 通過開放問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖解決問題能力.通過依次構(gòu)造 ， 三條線段，再把分別表示 和 的兩條線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來構(gòu)造出的長(zhǎng)為無理數(shù)線段，答案不唯一如圖6、圖7中紅色線段長(zhǎng)分別為 ， ， ，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短，即可得出 ，或 ，或 等不等式.再通過追問還可構(gòu)造出橫線上可填最大的無理數(shù)為 ，并通過直觀發(fā)現(xiàn)當(dāng)已知線段順著同一方向陡度越大構(gòu)造出的線段就越長(zhǎng).從而，通過“做一思一用一聯(lián)”的遞進(jìn)式培養(yǎng)，使學(xué)生在操作中積累經(jīng)驗(yàn)，在反思中提煉方法（兩點(diǎn)之間線段最短），最終形成靈活的問題解決能力

圖6

圖7

階段4 圖式（Schema） 一聯(lián)中活，構(gòu)建認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)

問題4 已知線段 AB=10 ，點(diǎn) P 為線段 AB 上的任意一點(diǎn)，線段 AP=x

（1）操作：請(qǐng)構(gòu)造長(zhǎng)度分別為 ， 的線段.

（2）觀察： 的幾何 意義.

（3）思考：上述構(gòu)造的兩條線段之和有最小值嗎？如果有，請(qǐng)求出最小值，并在圖中標(biāo)出取最小值

時(shí)點(diǎn) P 的位置

（4）應(yīng)用：類比以上探究問題的方法，求 的最小值.你有幾種想法？

教學(xué)說明 圖式階段體現(xiàn)為構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過“具體操作 $$ 半抽象 $$ 抽象”過程，遷移無理數(shù)大小比較的經(jīng)驗(yàn)去靈活解決無理式的最值問題.問題設(shè)計(jì)促使學(xué)生察覺不同表征間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生在不同情境下選擇最優(yōu)表征方式的能力.本問題著眼根據(jù)代數(shù)式 還原幾何圖形進(jìn)行逆向轉(zhuǎn)換，從式子的結(jié)構(gòu)特征上讓學(xué)生清楚解決問題的關(guān)鍵還是構(gòu)造直角三角形，在表格空間允許的情況下可以在 AB 的同側(cè)構(gòu)造，也可以在異側(cè)構(gòu)造，運(yùn)用知識(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.其中（4）應(yīng)用的設(shè)計(jì)旨在培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)意識(shí)，方法1設(shè) AP 的長(zhǎng)度就是 x-1 ， BP 的長(zhǎng)度就是 11-x ，則 AB 的長(zhǎng)度即為定值10，打破學(xué)生的常規(guī)認(rèn)知；方法2借助數(shù)軸解決問題，將1和11看作是數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的示數(shù)；方法3，建立坐標(biāo)系，將 （x，0） 看作是 x 軸上不確定的一點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為求與點(diǎn)（1，2），（11，4）或（11，-4）距離之和的最小值問題.從而通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性.

小結(jié)思考今天我們學(xué)到了什么？你是如何學(xué)習(xí)的？你還想研究什么？

教學(xué)說明通過小結(jié)與思考活動(dòng)（學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖略），旨在加強(qiáng)學(xué)生為什么學(xué)，學(xué)什么，怎么學(xué)，學(xué)到什么程度，還能學(xué)什么的問題意識(shí)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)生和生成，教會(huì)學(xué)生掌握研究問題的一般路徑和策略，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)科素養(yǎng).

3APOS理論框架下的實(shí)驗(yàn)教學(xué)反思

3.1加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)過程設(shè)計(jì)，貫通APOS轉(zhuǎn)化鏈條

從幾何直觀的視角去探尋幾何直觀的發(fā)展層序，幾何直觀的思維功能才能得以啟動(dòng)，學(xué)生的幾何直觀意識(shí)才能自然建構(gòu)，幾何圖形才能真正走向直觀[6].因此，實(shí)驗(yàn)過程設(shè)計(jì)需緊扣APOS理論的階段性認(rèn)知目標(biāo)，避免手腦割裂.在活動(dòng)（Action）階段，網(wǎng)格作圖任務(wù)需承載雙重功能：既要通過構(gòu)造 等線段建立幾何直觀，又要預(yù)設(shè)認(rèn)知沖突.例如，設(shè)計(jì)對(duì)比任務(wù)：先讓學(xué)生憑視覺判斷 1×1 網(wǎng)格中相鄰兩直角邊構(gòu)成的斜線（ 與 1×2 網(wǎng)格對(duì)角線 的長(zhǎng)短，再引導(dǎo)其用透明膠片疊加驗(yàn)證，暴露視覺誤差.這一設(shè)計(jì)將具體操作轉(zhuǎn)化為思維痕跡，為活動(dòng)向過程（Process）轉(zhuǎn)化鋪設(shè)跳板.在過程內(nèi)化環(huán)節(jié)，需通過拋出問題：比較大小 實(shí)現(xiàn)認(rèn)知躍遷.此過程剝離具體載體，促使學(xué)生從動(dòng)手測(cè)量轉(zhuǎn)向借助網(wǎng)格動(dòng)腦推演，完成過程到對(duì)象（Object）的壓縮.最后通過學(xué)后小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從測(cè)量操作轉(zhuǎn)向抽象推理，完成規(guī)則對(duì)象化，揭示比較大小的兩種方法：垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊.為突破\"對(duì)象化\"到“圖式（Schema）\"的整合瓶頸，通過多表征融合實(shí)驗(yàn)促使學(xué)生將網(wǎng)格操作經(jīng)驗(yàn)編織為認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，并揭示出網(wǎng)格中無理數(shù)大小比較其本質(zhì)是“兩點(diǎn)之間線段最短”，從而最終幫助學(xué)生形成關(guān)于實(shí)數(shù)大小關(guān)系的完整圖式.

3.2加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施，激活圖式整合動(dòng)能

教學(xué)既要尊重學(xué)生已有的知識(shí)、能力和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，明白學(xué)生新舊知識(shí)的“潛在距離”，又要提升學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)品質(zhì).實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施的核心矛盾在于：學(xué)生易陷入操作慣性而停滯于“過程（Process）\"階段，難以實(shí)現(xiàn)向“對(duì)象（Object）”的認(rèn)知躍遷.這要求教師結(jié)構(gòu)化干預(yù)破除學(xué)生學(xué)習(xí)操作耗時(shí)擠壓思維深化障礙.在網(wǎng)格構(gòu)造帶根號(hào)的無理數(shù)環(huán)節(jié)，學(xué)生常因圖形不熟耗費(fèi)過多時(shí)間，導(dǎo)致認(rèn)知停留于動(dòng)作重復(fù).對(duì)此教學(xué)中應(yīng)首先將技能前置化：如何用兩直角邊定位 ，開課即聚焦勾股定理的快速應(yīng)用進(jìn)行“3分鐘網(wǎng)格構(gòu)造特訓(xùn)”，確保學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)內(nèi)完成 的作圖;其次啟動(dòng)三階提問鏈助推思維升級(jí)：（1）嘗試在方格紙上利用構(gòu)造圖形的方法比較 的大小；（2）請(qǐng)嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較 與（含有根號(hào)的無理數(shù)）的大小；（3）構(gòu)圖說明 的幾何意義，并求其最值.邏輯性是數(shù)學(xué)的最大特征，相互聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)完整的系統(tǒng)，這就讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有較大的思想性[7].為此教師應(yīng)回到學(xué)習(xí)者身旁，及時(shí)捕捉學(xué)生APOS進(jìn)階契機(jī)，通過小組合作幫助學(xué)生打通從對(duì)象認(rèn)知到圖式整合的路徑，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的“來龍去脈”，使其充分經(jīng)歷“再創(chuàng)造”“再發(fā)現(xiàn)”的過程，從而幫助學(xué)生積累學(xué)以致遠(yuǎn)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

3.3 加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)評(píng)價(jià)，驅(qū)動(dòng)認(rèn)知階段躍遷

融人學(xué)習(xí)的考評(píng)著眼于學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程的反思和優(yōu)化[8].相信學(xué)生需求的可塑性和教學(xué)的發(fā)展性是教學(xué)活動(dòng)的前提[9].實(shí)驗(yàn)教學(xué)評(píng)價(jià)的終極使命是構(gòu)建“設(shè)計(jì)—實(shí)施—診斷—進(jìn)化”的動(dòng)態(tài)閉環(huán)，其核心在于將APOS理論中內(nèi)隱的認(rèn)知層級(jí)轉(zhuǎn)化為可觀測(cè)、可干預(yù)、可驗(yàn)證的外顯行為證據(jù)鏈.為此，應(yīng)遵循數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐要求和能力進(jìn)階發(fā)展需要，通過構(gòu)建四維動(dòng)態(tài)量規(guī)表（具體參見表3），為每個(gè)層級(jí)設(shè)定專屬行為指標(biāo)，將抽象認(rèn)知層級(jí)轉(zhuǎn)化為可觀測(cè)、可測(cè)量的行為證據(jù)鏈，避免評(píng)價(jià)對(duì)答案正確性的單一關(guān)注，轉(zhuǎn)而聚焦認(rèn)知階段的轉(zhuǎn)化效能，使學(xué)生不斷感悟概念的結(jié)構(gòu)性和知識(shí)遷移的形成性，以進(jìn)一步提高基于思維高通路遷移的的課堂實(shí)踐，從而克服知識(shí)本位、行為固化等教學(xué)不足.其中，動(dòng)態(tài)量規(guī)的核心價(jià)值在于精準(zhǔn)定位APOS轉(zhuǎn)化斷裂層和學(xué)生認(rèn)知斷點(diǎn)，便于教師靶向干預(yù).素養(yǎng)本位教師理解教材的過程本質(zhì)上是將基于核心素養(yǎng)學(xué)科育人體系的理想教材轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)教材的過程[10].對(duì)于學(xué)生APOS轉(zhuǎn)化階段學(xué)生暴露出的問題，教師應(yīng)反向溯源，引導(dǎo)喚醒學(xué)生元認(rèn)知并及時(shí)補(bǔ)救，如定制補(bǔ)救微課，從而使評(píng)價(jià)從判斷對(duì)錯(cuò)升維至認(rèn)知修復(fù)，使評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)成為教學(xué)策略迭代的永動(dòng)引擎

表3基于APOS理論的四維動(dòng)態(tài)量規(guī)表

4結(jié)束語

APOS理論揭示數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)本質(zhì)——從具身操作到觀念生成，而網(wǎng)格恰為這一實(shí)驗(yàn)過程提供了直觀載體.基于APOS理論構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，通過“活動(dòng) $$ 過程 $$ 對(duì)象 $$ 圖式”的認(rèn)知進(jìn)階實(shí)施，能將抽象的代數(shù)比較轉(zhuǎn)化為可視化的幾何操作，這一實(shí)踐不僅破解了機(jī)械記憶的困境，更印證了杜賓斯基的論斷：“數(shù)學(xué)理解誕生于操作的內(nèi)化與重構(gòu).”希望廣大教師以APOS理論為指南，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中化操作為思想、化工具為觀念、化知識(shí)為素養(yǎng)，唯有如此，數(shù)學(xué)教育方能真正實(shí)現(xiàn)從傳遞結(jié)論到孕育思想的躍遷，使學(xué)生親手“丈量”無理數(shù)的過程中，觸摸到數(shù)學(xué)最本真的邏輯之美.

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作者簡(jiǎn)介沐文中（1978—），男，中學(xué)高級(jí)教師，泰州市學(xué)科帶頭人；主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究，主持并參與江蘇省教研和規(guī)劃課題多項(xiàng)，發(fā)表論文20多篇.

胡錦秀（1978—），女，中學(xué)一級(jí)教師，泰州市教學(xué)能手；主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究，主持并參與江蘇省教研和規(guī)劃課題多項(xiàng)，發(fā)表論文10多篇.