為思維進階賦能：相似三角形習題改編重組在教學中的應用

在初中幾何教學中，相似三角形作為承前啟后的核心模塊，其習題設計深刻影響學生的思維發展水平.然而當前教學實踐存在顯著矛盾：一方面，《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確要求“發展幾何直觀和推理能力”[1]；另一方面，課堂習題多呈現\"碎片化拼盤”狀態——題目間缺乏邏輯關聯，過度聚焦判定定理的機械套用，忽視從模型識別到創新遷移的思維躍遷.這種割裂直接導致學生遭遇復雜情境時陷人“聽得懂例題，解不了新題”的認知困境.如何通過習題的系統化重構，將知識訓練轉化為思維進階的階梯？本文以習題改編與重組為突破口，在相似三角形教學中構建“基礎識別 ∣ 綜合應用$$ 創新遷移”的思維進階路徑，探索幾何思維從低階走向高階的實踐范式.

1改編與重組習題的意義與作用

對于初中數學教學而言，習題的改編與重組絕非可有可無的“花架子”，而是教師專業能力的核心體現，是提升教學質量、落實核心素養（抽象能力、推理能力、模型觀念、應用意識、創新意識）的關鍵杠桿.它能化“難”為“易”，化“散”為“整”，化“枯燥”為“生動”，化“低效”為“高效”，化“統一”為“個性”，最終幫助學生更好地理解數學、應用數學、愛上數學，并為后續學習和未來發展奠定堅實的數學基礎.

2相似三角形教學中習題改編與重組的呈現與分析

本文從數學熱門考點一一相似三角形中習題的改編和重組，使得試題形成系統，讓核心知識集中呈現，調動學生學習的積極性.

2.1改編呈現方式，重組問題背景，提升分類意識

案例1如圖1，在 ΔABC 中，點 _D，E 分別是邊^AB，AC 上的點，連接 DE ，利用所學的知識討論：具備怎樣的條件時， ΔADE 與 ΔABC 相似？本題是相似三角形點的對應問題，滲透分類思想，即 ΔADE₁～ ΔABC 或 ΔAE₂D～ΔABC. 考察學生對相似三角形對應關系及對分類討論的理解.由于有預備定理作鋪墊，當 DE₁//BC 時，學生能想到，而另一種情況則要用判定1或判定2解釋，即 ∠AE₂D=∠B 或 其次從發散學生思維的角度看，本題可變式：如圖2，在 ΔABC 中，點 D 是邊 AB 上的點，過點 D 作一條直線，使截得的三角形與 ΔABC 相似，這樣的直線有幾條？學生因有了第一題的基礎，很容易答有四條，但有個別產生了這樣的疑問：第一題中的兩條線重合的時候只有一條，那么此題中也有可能只有兩條，而不一定有四條.筆者為學生有這樣的想法而高興，是啊，既然有問題，那就探索下去.筆者問道：什么時候會重合，與什么有關？學生最終找到與ΔABC 的形狀有關.

圖1

圖2

重組 可以分等邊三角形、直角三角形、等腰三角形、不等邊三角形四類情況.

（1）等邊三角形（如圖3）有兩條.

（2）直角三角形（如圖4）有三條

圖3

圖4

圖5

（3）等腰三角形（如圖5）有兩條或三條.當 ∠B =∠C，BD 的中垂線與 BC 交點 G 與點 F（DF//AC） 不重合，在點 C 左邊時有三條，而在 BC 延長線時只有兩條.

（4）不等邊三角形才是圖2所示的四條

改編如圖6，在ΔABC 中 AB=8cm，BC= 16cm ，點 P 從點 A 開始沿_AB 邊向 B 點以 2cm/s 的速度移動，點 Q 從點 B 開始沿BC 向點 C 以""的速度移動，如果 P，Q 分別從 A 、B 同時出發，經幾秒鐘 ΔBPQ 與 ΔBAC 相似？學生容易抓住 AB≠BC 這個條件，所以兩種情況，問題迎刃而解.

圖6

目的通過相互探討，加深對分類討論認知.對圖形不明朗、條件表述較含糊的習題要注重審題，從而提高了解決問題的能力，加深記憶.通過這樣的變式教學，讓學生由點帶面，構成知識系統，也是減輕學生課業負擔的體現，做到精講精練

2.2 改編習題條件，重組問題結論，增強模型思想

學具問題一直是考試熱點，通過三角板擺放可得到不同的相似情形，激發了學生學習樂趣，拓展了想象的思維，活躍了課堂的氣氛.三角板作為作圖工具，學生是熟悉的，但對利用三角板進行旋轉、平移及用三角板拼圖等衍生的問題找不到感覺，無從下手.

圖7

圖8

案例2把兩個全等的等腰直角三角板 ABC 和EFG疊放在一起（圖7），使三角板EFG的直角頂點G 與三角板ABC的斜邊中點 o 重合，現將三角板

EFG繞 o 點順時針方向旋轉（圖8），四邊形CHGK是旋轉過程中兩個三角板的重疊部分，則上述過程中，BH 與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論.

重組 這是一道探索性問題，借助特殊情況，利用轉化思想，把特殊情況轉化為一般情況.本題難點在于兩個全等三角形需要作輔助線才能得到，即連接CG，方可得到 ΔCKG 與 ΔGHB，ΔAKG 與ΔCHG 全等.事實上，數學證明過程，常常伴隨著歸納、猜想、轉化等數學思想.

改編圖9為含 30^° 角的兩塊直角三角板疊合在一起，則找出圖中相似三角形，并給出證明.

圖9

目的 問題中用兩塊含 30^° 角的直角三角板疊合在一起， ∠1=∠C ，而∠ADE 為公共角，故ΔADE～ΔCDA ，當然，如果是點 B^′ 與點 A 重合的話，那就是三角形跟左邊的三角形相似.那如果是∠B=∠C^′ 的情況呢，如圖10， ΔEBF～ΔECB. 當然圖9變成圖11也有一對相似，證明類似

圖10

圖11

2.3 改編全等相似，重組聯系橋梁，注重轉化能力

全等與相似二者聯系緊密，要讓學生領會其中奧妙，應在平時的教學中滲透，相似三角形教學可以類比全等三角形教學.如圖12、圖13的習題中都設置了多層次的問題，暴露數學活動過程，讓學生觀察變化過程中存在的不變關系，進行必要的驗證和合理推理，使學生在活動中深刻理解習題中的基礎知識和基本方法，從而提出新的猜想和方法

案例3（1）如圖12，在正方形 ABCD 中，點 E ，F 分別在邊 BC，CD 上， _AE，BF 交于點 O，∠AOF= 90^° 求證： BE=CF

（2）如圖13，在正方形ABCD中，點 E，H，F，G 分別在邊 AB，BC，CD，DA 上， EF，GH 交于點 O，∠FOH =90^°，EF=4. 求 GH 的長.

圖12

圖13

（3）已知點 E，H，F，G 分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA 上， EF，GH 交于點 O，∠FOH=90^° ，EF=4. 直接寫出下列兩題的答案：

① 如圖14，矩形 ABCD 由2個全等的正方形組成，求 GH 的長；

圖14

② 如圖15，矩形 ABCD 由 n 個全等的正方形組成，求 GH 的長（用 n 的代數式表示）.

圖15

改編問題（1）從全等入手，無需作輔助線.問題（2）由于沒有三角形顯然就要分別從 F，G 作 AB 和 BC 的垂線，從而構造出兩個三角形.其實就本題來說，教學中應該讓學生大膽探索，如在（1）（2）間增加圖16.

圖16

圖17

重組在原題（2）條件下，平移 GH，EF 分別到如圖17位置（保持直線 EF，GH 的垂直），記直線 EF 與 GH 的交點為 o ，若此交點在正方形外， EF=GH 成立嗎？教師只進行圖17的示范，后提出問題：你能將這個問題的某些條件或結論進行變化，編出一道新題嗎？經過小組討論后由學生代表展示出如下問題：

生1：如果 E，F，G，H 四點分別在四邊形ABCD的四條邊上， EF=GH ，則四邊形 ABCD 是正方形.

生2：在正方形 ABCD 中， E，F，G，H 四點分別在四條邊上，且 EF=GH ，則 EF⊥GH.

生3編出了類似問題（3）的問題，說明在向相似方向發展……

師：同學們，下面大家在小組中討論一下這幾位同學編擬的問題對不對，如果不對請指出反例；如果對，請進行證明.

此時的教學被推倒一個高潮，學生經過認真討論，最后得出生1的命題是假命題，并舉出了如下反例（圖18）.

圖18

生2的命題也是假命題，但需要進行分類討論，在圖19中可推得 ΔFIE?ΔGJH ，故可證得 EF⊥GH ;在圖20中作 EF 關于直線 FI 的對稱線段 FE^′ （如圖20所示），顯然 FE^′=FE ，但 E^′F⊥GH 不成立.生3的命題是真命題…

圖19

圖20

目的 開放式教學，不全是教師的預設，可能是課堂的一個機智，給筆者提供了較大的空間來有機整合全等和相似二者的關系，尊重學生，沿著學生的思維將課堂生成下去.賦予學生較大的信任，并相信學生有無限的潛能.經過對上述問題的改編、重組，習題涉及更多的知識，從而使學生的思維得到深化，讓學生弄懂知識的本質，在消化過程中產生新的問題，從而培養了學生的應變能力.

2.4改編開放探究，重組學生思維，凸顯思維提質讓學生的思維在主動參與中得到發展是教師課堂民主的體現.教師所呈現的教學內容應適合學生的發展，適合學生參與和探究.培養和保護學生的好奇心，努力營造“心理缺口”，讓學生體驗結果的意外，當一個學生對一個問題的結果覺得驚訝或出乎意料時，就會對弄清問題產生濃厚的興趣，而興趣是發現與解決問題最好的催化劑，是思維的原動力.數學的開放性問題，尤其是結論的多樣性給學生探究帶來一定的挑戰，易激發學生愛動腦、勤思考的好習慣.

案例4 如圖21，已知： AB⊥DB 于點 ^B，CD⊥ DB于點 D，AB=6，CD=4，BD=14.

圖21

問：在 DB 上是否存在 P 點，使以 Δ_C，D，P 為頂點的三角形與以 P，B，A 為頂點的三角形相似？如果存在，計算出點 P 的位置；如果不存在，請說明理由.

重組本題探究的是相似三角形點的對應問題，分 ΔABP～ΔPDC ΔABP～ΔCDP 兩種情形，若設 BP=x ，則 PD=14-x 可得到比例式： 或 即 與 ，問題轉化為用一個一元一次方程或一個一元二次方程解決.一次方程有一個解，而一元二次方程解的情況為0，1，2三種情況，所以這樣的點 P 最多有三個，最少有一個.顯然 ΔABP～ΔPDC 就是 ∠APC=90^° ，若抓住90^° 理解，即以線段 AC 為直徑作圓，此圓與直線 BD 有三種位置關系.

改編 如圖22，矩形 ABCD 中，點 M，N 分別是AB 與 CD 邊的中點，沿 BE 將 ΔABE 折疊，使點 A 落在 MN 上的點 P 處，過點 P 作 FG⊥MN ，可得 ΔBPG （2 ～ΔPEF ，所以 而 PG=PF ，所以A則可得 ΔBPE 與 ΔPEF 也相似，顯然此時MN的位置對相似的類型有影響.

圖22

目的教學中，教師應盡可能地設計多變題（改變條件、結論或圖形）、多解題.從多角度、多方面刺激學生思維發散，提高學生的思維能力.

數學題的改編與重組的意義不僅在于要求學生去解決一個個問題，更重要的是培養學生的思維.當代數學教育家G·波利亞認為，“我們如果不用‘題目的變更’，幾乎是不能有什么進展的”[2].即教師不能就題論題，對涉及知識與技能面廣的題目，要力爭“一題多變”“一題多練”，引導學生擴展思路，縱橫聯系，對相關知識進行有效的拓展與遷移，對相同或相似的相關知識進行比較、聯系、鑒別和再認知，以培養學生舉一反三、融會貫通的能力，這樣才能使學生達到做一題，學一法，會一類，通一片.

習題的改編與重組絕非簡單的技術操作，而是教師教學智慧與專業素養的集中體現，更是為學生思維進階鋪設階梯、注人動力的關鍵策略.本文聚焦相似三角形這一重要幾何模塊，通過系統闡述其習題改編重組的具體路徑與實踐案例，揭示了這一策略在激活認知沖突、引導深度探究、促進方法遷移、構建知識網絡、培養創新意識等方面的強大賦能作用.它有效彌合了教材習題與學生實際思維發展需求之間的鴻溝，使練習過程從被動的“解題”升華為主動的“思維鍛造”.實踐證明，精心設計的改編重組習題，能夠精準服務于不同思維層次的學生，引導其從直觀感知走向邏輯推理，從模式識別邁向策略創新，最終實現幾何思維品質的實質性飛躍

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]G.玻利亞.數學與猜想［M].北京：科學出版社，2013：7-29.

作者簡介金國成（1985—），男，浙江嘉興人，中學高級教師；曾獲“浙江省中小學教壇新秀”“浙派名師培養對象”“浙江省網絡名師工作室學科帶頭人”“浙江省最美教師候選人”“嘉興市學科帶頭人”等榮譽；區級以上各類教師業務競賽獲獎20余項，主持省、市、區級教育科研課題10余項，發表獲獎論文40余篇，其中人大報刊復印資料全文轉載3篇.