團花剪紙攜手數學美：美育視角下項目學習設計

學科之美“浸潤”教學是新時代深層次深化課程教學改革的“破冰行動”.中華傳統美育內涵豐富，其蘊含的審美情趣和審美心理是學校課程育人的重要依據[1]，因此以學科知識美為底色，浸潤中華傳統美育思想之要義對實現“以美育人、以文化人”具有重要意義.剪紙藝術作為中華傳統文化的瑰寶，以意象化的造型語言，吉祥化的主題表達，映射出中華民族追求和諧圓滿的審美理想，其創作過程中蘊含著豐富的數學思維與幾何美學.本文將通過挖掘團花剪紙中的數學美，嘗試構建項目式學習設計，實現知識遷移，引領學生逐步培養發現美、感受美、鑒賞美的能力，進而邁向創造美的新高度，在文化浸潤中提升審美素養，增強民族認同.

1剪紙紋樣及技法中的數學美

剪紙藝術源遠流長，交融于各族人民的生產生活，是中華文明綿延傳承的生動見證，其精湛技藝與獨特的藝術表現形式被譽為“一剪之趣奪神功，美在民間永不朽”.剪紙構圖形式多樣，團花作為最古老的樣式，寓意吉祥，多以輻射狀對稱，造型穩重大氣，極具形式美；此外團花也是最具剪紙技藝特征的代表，以多次折疊、重復造型的優勢應用廣泛.要使民俗文化進人課堂，并與學校數學有效地融合，還需要進行必要的教育學轉化[2]，因此本文將挖掘團花紋樣中的數學元素以及剪紙技藝背后的數學思維，探析民間剪紙藝術與數學文化的內在聯系.

1. 1 團花紋樣中的數學美

1. 1. 1 對稱美：平衡與秩序的直觀呈現

在團花紋樣中，對稱是最為顯著的數學特征，造就了極具裝飾性的形式美.數學中的對稱包括軸對稱和中心對稱.在團花紋樣的創作中，軸對稱的應用極為廣泛.例如，圖1中心雙魚呈豎直軸對稱，輪廓、魚鰭、鱗片左右完美呼應，象征著“年年有余”的美好祈愿；外層紋樣更是精妙，不僅整體呈現軸對稱，局部亦如此，由中心向外均勻分布，在強化整體平衡感與秩序感的同時豐富了層次感.中心對稱在剪紙中又名喜相逢、單對稱或旋轉對稱，常見于順行團花紋樣.例如圖2，以中心點旋轉 180^° ，圖案重合，外圍龍紋分布與造型呈中心對稱，賦予團花一種靈動的動態平衡感.此外有許多團花紋樣巧妙融合了軸對稱與中心對稱，如圖3所示的六瓣花團花，兼具軸對稱的規整和中心對稱的靈動變化，在視覺上更為飽滿.

圖1 軸對稱

圖2中心對稱圖3既是軸對稱又是中心對稱

1.1.2 和諧美：黃金比例的完美融合

黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，自誕生起便成為公認的著名美學定律[3].其中正五邊形與黃金分割之間有著密切聯系，當把正五邊形的所有對角線相連，在構成的五角星中，所有線段長度均符合黃金分割比 ，且五角星中的所有三角形也都是黃金分割三角形.這一獨特的數學關系在團花創作中得到了精彩演繹.五折團花是形成正五邊形結構的常用技法，例如圖4所示的紋樣，外部輪廓呈現正五邊形形態，內部圖案紋飾圍繞中心呈放射狀有序鋪展，中心小團花的大小與外部大團花的比例關系恰與黃金分割比完美契合，在視覺上達到了一種平衡與和諧，不僅承載了傳統團花所蘊含的吉祥寓意，更是彰顯了工藝背后的理性之美.

圖4五角團花中的黃金分割

1. 1.3 奇異美：分形與無限的神秘魅力

在傳統團花剪紙中，往往以簡潔質樸的紋樣為起始點，通過重復、縮放、旋轉等操作，讓簡單紋樣在不同層次上不斷自我復制，在局部與整體、細節與全貌間展現出相似特征，于有限方寸間，營造出深邃神秘的美感，從而實現以簡馭繁，給人以驚奇感.這與數學中分形幾何的思想“自相似性”高度契合，即同一分形對象在不同尺度下都具有相似的結構或形態.例如圖5中的雪花紋樣，以中心小紋樣為始，向外延展六個主分支，主分支又通過縮放、重復等操作，生出與之相似的小分支.圖4中的五角團花亦是如此.

1. 2 團花折紙中的數學思維

團花剪紙最特殊之處在于其中的折紙藝術，不同的折紙次數和角度直接影響著團花紋樣的對稱性和復雜程度.其中按照紙張的對角線方向進行折疊，是團花折紙中常見的基礎折法，通過折疊次數的調控，能夠實現折紙的層數、角度、對稱軸數量等要素的變化，為復雜創作提供條件.每增加一次折疊，折紙層數便呈指數增長，從對折1次的2層，到對折 n 次的 2ⁿ 層，為創造更豐富細膩的紋樣提供了更多可能；同時，折疊角度逐漸變小，折疊 n 次后，角度變為 ;對稱軸數量也隨之增加，從對折1次的1條，到對折 n 次的 |2^n-1 條，團花的對稱性達到了一種高度的精密和復雜，由此也可發現對稱軸數量與角度之間存在反比例關系：對稱軸數量 × 角度 σ=σ 180

表1連續對角折疊

除了常見的連續對角折疊外，團花剪紙還常常會依據特定角度進行折疊，將紙張折疊成若干具有相等角度的部分，如 30^°，36^°，60^° 等，在此基礎上剪制出具有對稱性和重復圖案的紋樣.不同于連續對角折疊，等分角折疊更注重對角度的精確把控，以實現特定的幾何形狀和對稱結構，使最終呈現的團花展現出別樣的視覺效果.不論是哪種折疊方式，在角度和對稱軸數量間都保持著反比關系.

表2等分角折疊

2“解碼團花剪紙中的數學美\"項目學習設計

從數學學習關聯來看，團花剪紙紋樣中涉及正多邊形、星形線等幾何元素，剪紙技法中的折疊本質上是幾何變換的直觀體現，涉及軸對稱、中心對稱、比例等知識點，融入數形結合、轉化等思想方法，有助于發展學生幾何直觀、數學抽象等素養；從美育及文化視角來看，團花剪紙承載了豐富的文化象征，蘊含著中華民族“秩序和諧”的審美哲學，增強學生對中華優秀傳統文化的認同.因此，以團花剪紙為主題開展項目學習，以數學規律為骨架，文化內涵為靈魂，通過“做中學”實現知識遷移與文化自覺，使美育從藝術鑒賞升華為數學邏輯賦能文化表達的價值觀塑造.

2.1教學目標的確立

“解碼團花剪紙中的數學美”項目錨定團花剪紙紋樣特征以及基礎工藝，引領學生領會團花剪紙藝術內核，探尋其中蘊含的數學奧秘，進而運用所學創造富有數學美的剪紙作品.具體目標涵蓋基礎知識目標、綜合能力目標以及精神品質目標三個維度.

基礎知識目標：掌握軸對稱、中心對稱的幾何特征及其在剪紙藝術中的表現形式；認識黃金分割的比例關系及其在紋樣布局中的應用規律；理解分形結構的自相似性與迭代邏輯；熟練運用銳角三角函數求解相關邊角問題

綜合能力目標：學會用數學的眼光觀察現實世界，發現蘊藏在團花剪紙中的幾何元素和數學現象，建立數學原理與藝術形式的邏輯聯結；在折疊、尺規作圖（如三等分角、構建黃金比例）等實踐操作中，提升幾何直觀和推理能力，積累數學活動經驗[4]，理解傳統剪紙中“以數造型”的智慧；在五等分角的檢驗中，培養動態問題的轉化能力以及模型觀念；融合黃金比例和分形結構設計創意紋樣，學會運用數學工具量化藝術美感，實現從感受美到創造美的升華，

精神品質目標：在了解團花剪紙紋樣和折紙技藝后，感悟中華民族“數藝交融”的獨特智慧，增強對中華優秀傳統文化的認同感與傳承意識；在破解非常規折疊挑戰（如三角團花中三等分角構造）中鍛煉突破思維定勢、勇于嘗試的創新勇氣；在自主設計團花紋樣的活動中，激發用數學語言表達文化意象的創作熱情，體會理性邏輯與感性創意的和諧統一，樹立“數學為美賦能”的價值觀念.

2.2 案例呈現

2.2.1 發現美：邂逅剪紙藝術，探尋紋樣之美

情境導入“圖必有意，意必吉祥”，氣韻生動的中國傳統紋樣是中國傳統文化的重要組成部分，承載著深厚底蘊與豐富內涵.寶相花紋、牡丹紋、魚紋、連錢瓔珞紋當這些傳統紋樣邂逅生肖蛇，在剪紙藝人的巧手下，通過每一刀鐫刻、每一次折疊，便交織出獨屬于中國人的頂級審美.在這些剪紙作品的背后不僅是藝術的呈現，更蘊含著諸多數學文化，今天就讓我們一起來解碼團花剪紙中的數學美，揭開藝術背后的數學奧秘，領略中國傳統文化中藝術與數學相互交融的獨特魅力！

教師活動通過多媒體展示故宮經典紋樣圖鑒以及蛇年相關團花剪紙作品，解讀剪紙作品背后的寓意，并在觀看中引導學生思考下列問題：

問題1-1：這些剪紙作品整體給人以什么樣的感覺？大都呈現出怎樣的特點？

問題1-2：紋樣的設計中是否有熟悉的數學元素？

問題1-3：剪紙作品中的紋樣在排列和布局上是否遵循某種規律？

設計意圖通過傳統紋樣與生肖蛇結合的剪紙藝術呈現，增強文化認知與民族認同.借助問題鏈啟發學生主動發現“美”，從關注剪紙作品整體美感，如“對稱”“平衡”等直觀感受初步建立“美”與數學邏輯的關聯認知；再到具體紋樣中抽象出幾何圖形（正多邊形、曲線函數等），理解傳統文化中“以數造形”的智慧；最后用數學思維解構藝術形式，發現周期、旋轉、黃金比例等現象，在審美體驗中主動發現數學規律，意識到中華文化不僅是感性的藝術表達，更蘊含理性智慧，實現美育與數學思維的雙向賦能.

2.2.2 感受美：解鎖折法奧秘，領悟數學原理

教師活動團花剪紙最突出的特征便是對稱之美，而實現對稱的根本方法就是折疊，隨著折疊次數的增加，圖形的對稱程度也愈發精妙.教師手持正方形紙開始演示：“現在我們將這張正方形紙沿對角線對折一次，此時紙張形成了一條對稱軸，整個圖形便成了一個簡潔的軸對稱圖形.\"引導學生直觀感受軸對稱的概念，緊接著再次沿對角線折疊，“此時對稱軸的數量增加了，圖形的對稱程度也更加突出，請同學們動手嘗試，如果連續按對角折疊，對折后圖形的夾角以及展開后圖形的對稱軸數量會有什么變化？”

學生活動以小組為單位動手連續按對角折疊，觀察并記錄對稱軸情況以及角度變化，得出結論后進行分享匯報.每對折一次，角度減半，對稱軸數量加倍，當對折次數為 n 時，對稱軸數量達到 |2^n-1 條，此時夾角為

設計意圖學生在連續對角折疊的具身操作過程中觀察和總結，在培養觀察和歸納能力的同時直觀感受數學規律驅動形式美的動態過程.

教師活動在學生分享匯報后，肯定學生們的發現：“大家觀察得非常仔細，總結得也很準確，請大家看如下幾幅圖片，對稱軸數量和夾角分別是多少？我們該如何折疊得到呢？”拋出打破常規折疊的數學挑戰，引導學生探索其他折疊方式

圖6三角團花 圖7五角團花 圖8六角團花

在學生思考討論的過程中教師順勢引導，拋出核心問題鏈：

問題2-1：三角團花的對稱軸數量是3條，若按對角線連續折疊能否得到？為什么？

師生活動學生通過小組合作動手折疊嘗試發現直接按對角折疊三次會得到8條對稱軸，說明不能簡單應用二次折疊，打破“折疊 Σ=Σ 對折”的思維定式，考慮在一次對角折疊后嘗試角度均分，逐步培養問題的轉化能力.此時教師引導學生借助尺規作圖構造等邊三角形，嘗試對折疊后的 180^° 角進行三等分.

圖9三等分角尺規作圖

通過對問題2-1的深入探究與成功解決，學生們自然而然地聯想到，六角團花的對稱軸是三角團花的兩倍，只需要在三角團花的基礎上再進行一次對折即可實現.這種由淺入深、循序漸進的思維引導和動手實踐，學生能在探索團花剪紙折疊奧秘的過程中，不斷深化對數學原理與藝術創作融合的理解.

問題2-2：那么對于五角團花我們又該如何確定折疊方式，實現5條對稱軸的效果呢？

師生活動有了前面的活動經驗，學生會迅速聯想到嘗試角度均分，將 180^° 平分為五等分.但利用尺規作圖實現五等分角過于困難，教師引導學生借助量角器實現.在學生完成后教師展示民間五角團花的折法過程.

圖10五角團花折紙過程

問題2-3：按照上述折法，是否精確地實現了角度的五等分？

師生活動教師引導學生首先將折紙的動態過程轉化為平面幾何模型（如圖11），在此基礎上通過建系等方法計算 ∠HEB 的余弦值與 36^° 的余弦值進行比較得出結論.并通過對比三角、五角、六角團花的折疊邏輯引導學生歸納規律.

圖11五等分角折痕

設計意圖通過新的數學挑戰促使學生跳出固有思維定勢，主動思考如何運用已有的數學知識和經驗去解決新的、更具復雜性的問題，引導學生運用尺規作圖等數學知識解決問題，實現做學合一，強化知識應用以及數學活動經驗的積累[5]；從三角到六角團花的探究，逐步培養學生類比遷移的能力；而對民間五角團花折法的誤差檢驗，不僅是對知識的深度運用，更讓學生領略到民族傳統技藝背后的智慧.

2.2.3 鑒賞美：甄別折法技巧，體驗剪紙樂趣

師生活動在學生初步掌握團花折紙基本折法技巧后，教師展示一系列風格各異的團花作品，提出問題：“這些作品是通過怎樣的折疊方式和順序來實現的？動手試一試看看能不能還原它們的折疊過程.”學生在討論過程中相互啟發，在不斷嘗試中完善自己的想法.

教師活動現在大家已經學會了團花的基本折法，紋樣的設計和排布上也有很多學問，該如何設計出和諧、富有美感的紋樣呢？引導學生從數學的視角來分析.

師生活動以小組合作的方式從觀察團花整體再聚焦于內部紋樣的細節，包括線條走向、圖案的組合方式等.不少學生可能會嘗試從比例關系的角度分析，發現許多元素的大小以及排布都近似黃金比例，意識到在設計時可以運用黃金比例來確定圖案的大小、位置和疏密程度；也有學生可能會發現許多紋樣的局部和整體在形態上相似等，進而提出利用這種自相似的結構，通過不斷重復和縮放特定圖案單元，設計出更具層次感和無限感的團花紋樣

設計意圖引導學生還原折疊，鞏固并拓展團花折紙技巧，強化知識與實踐的結合；并引導學生從數學的視角分析紋樣，發現黃金分割帶來的和諧美，分形結構產生的獨特韻律，從而提升的美的感知和鑒賞能力；同時在數學與藝術間架起橋梁，認識到數學是塑造藝術美感的重要工具，從而培養跨學科思考和綜合運用能力.

2.2.4 創造美：點燃創意火花，設計團花紋樣

教師活動現在大家已經發現了團花剪紙中隱藏的數學之美，也掌握了不少折法技巧，接下來就請大家發揮自己的創意，設計出獨一無二的團花紋樣.展示蘊含數學元素的創意團花案例，比如融入蝴蝶曲線、星形線、分形等，拓寬學生的創作思路.

展示與評價在學生完成創作后，依次展示成果，介紹作品的創意來源、所運用的數學原理以及如何通過折法和紋樣設計體現美的追求.其他學生也可以從數學原理的運用、創意獨特性、文化內涵等方面進行評價.教師進行總結評價，肯定學生的創意和努力，同時對普遍問題給予指導，進一步提升學生的創作能力與審美水平.

設計意圖將理論知識與創意構思轉化為實際作品，提升學生運用數學知識創造美的能力；通過作品展示為學生提供自我展示平臺，有助于培育學習意義感與自我效能感，并促使學生從不同視角欣賞和分析作品，培養批判性思維與審美鑒賞能力.

2.3 項目評價

觀照課程美育價值的課程評價，需將課程實施對學生美學知識獲取、創造與運用美的技能掌握、美好品質與人格塑造的促進程度納入評價指標[6，因此在該項目評價上將雙線并進，對數學能力線與美育素養并行評價，同時綜合過程性評價與結果性評價，教師可根據觀察記錄表記錄學生在問題回答、折疊實驗、紋樣設計中的參與度及問題解決策略，依照表3進行評價.學生則從認知、技能以及情感三維度撰寫活動反思，并設置小組互評量表從創意性、數學邏輯性、文化表達三個維度對同伴作品進行評價，以此全面、客觀衡量學生在項目中的表現與成長以及項目設計與實施中美育滲透的有效性.

表3“解碼團花剪紙中的數學美\"項目活動評價指標

3結語

教育大道先唯美，“美育要做的不是改變某項具體的藝術或文化形態，而是要改變接受美育熏陶的學生對生活境遇的認識和判斷”[7].美育浸潤課堂離不開教師主導，主動發現內隱于生活中的數學美，有目的地滲透美育素材8，引導學生發現美、感受美.更要發揮學生的主體作用，通過學科知識的審美轉化，在表達美、創造美的過程中豐富美學維度的精神空間，重塑感知世界的思維圖式.

參考文獻

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[5]陳碧芬，韓紫瑤.中國、新加坡小學數學課程標準“測量”內容比較研究[J].浙江師范大學學報（自然科學版），2024，47（3）：353-360.

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[7]楊培明.教育大道先唯美：漫談教師的美育素養[J].人民教育，2016（23）：54-56.

[8]唐恒鈞，蔣逸卿，鄭蓉蓉.英國《數學教學》中的數學文化活動分析[J].浙江師范大學學報（自然科學版），2023，46（4） ：465-472.

作者簡介葉晨曦（2001—），女，浙江寧波人，碩士研究生；主要從事數學課程與教學研究.

唐恒鈞（1979—），男，浙江余姚人，教授、博士生導師;主要從事數學課程與教學研究.