聚焦圓與圓的位置關系問題

圓與圓的位置關系是解析幾何內容的主要考點之一，主要涉及三類問題，下面舉例說明，供大家學習參考。

一、圓與圓位置關系的判斷與應用

例1已知圓 x²+y²-2x-2y+1=0 和圓 x²+y²+4x+6y+9=0 ，則兩個圓的位置關系是（ ）。

A.相切 B.外離 C.內含 D.相交

分析：將兩個圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，根據圓心距與半徑和差的大小關系，判斷圓與圓的位置關系即可。

解：圓 x²+y²-2x-2y+1=0 ，即 （x- 1）²+（y-1）²=1 ，圓心為（1，1），半徑為1。

圓 x²+y²+4x+6y+9=0 ，即 （x+2）² +（y+3）²=4 ，圓心為 （-2，-3） ，半徑為2。

圓心距為 0因為 5gt;1+2 ，所以兩個圓外離，選B。

點評：圓與圓位置關系的判斷，一般采用幾何法，即用兩個圓的圓心距與兩個圓半徑的和差比較大小。設圓 O₁，O₂ 的半徑分別是 R，r （不妨設 Rgt;r ，且圓心距為 d ，則： （1）R-rlt; d 兩個圓外離； r? 兩個圓內切； 兩個圓內含（當 d=0 時，兩個圓為同心圓）。

例2若圓2+y2=1與圓2+y2-6x-8y-2m+1=0 恰有一個公共點，則 Σ_m 的值為

分析：根據兩個圓的方程，分別得到圓心坐標和半徑。兩個圓相切，需討論內切和外切兩種情況，才可得出正確結果。

解：圓 x²+y²-6x-8y-2m+1=0 ，該圓的圓心坐標為（3，4），半徑 （mgt;-12） 。

易知圓 x²+y²=1 的圓心坐標為（0，0），半徑 r₁=1 。

根據兩點間距離公式，可得兩個圓的圓心距 。

因為兩個圓恰有一個公共點，所以兩個圓內切或外切。

① 當兩個圓外切時， d=r₁+r₂ ，可得 ，解得 m=-4 0

② 當兩個圓內切時， d=∣r₂-r₁∣ ，可得 。

當 時，解得 m=6 。

當 時，顯然不成立。

故 Σ_m 的值為一4或6。

點評：已知兩個圓的位置關系求參數的值或取值范圍，只需根據位置關系，用參數將兩個圓的圓心距與兩個圓半徑的和差大小關系表示出來，然后解出參數的值或取值范圍。當兩個圓相切時，需注意有內切與外切兩種情形。

二、兩個圓的公共弦問題

例3 （1）已知圓 C₁：x²+y²+2x+ 3y+1=0 和圓 C₂：x²+y²+4x+3y+2=0 則兩個圓公共弦所在直線的方程為 。

（2）設 P 為直線 l：2x+y+9=0 上的任一點，過點 P 作圓 x²+y²=9 的兩條切線PA，PB ，切點分別為 A，B ，則直線 AB 恒過定點

分析：（1）將圓 C₁：x²+y²+2x+3y+1 =0 和圓 C₂：x²+y²+4x+3y+2=0 作差，即可得兩個圓公共弦所在直線的方程。（2）設點 P 的坐標，由切線的性質得到點 A ，B 在以線段 OP 為直徑的圓上，寫出該圓的方程，由兩個圓公共弦的求法得到直線 AB 的方程，再由直線方程得到定點的坐標。

解：（1）圓 C₁：x²+y²+2x+3y+1=0 和圓 C₂：x²+y²+4x+3y+2=0 。

以上兩式作差，得直線方程為 2x+1= 0，經檢驗，直線方程 2x+1=0 滿足題意。

（2）因為 P 為直線 l：2x+y+9=0 上的任一點，所以設 P（m，-2m-9） 0

因為圓 x²+y²=9 的兩條切線 PA ，PB ，切點分別為 A，B ，所以 OA⊥PA，OB⊥ PB 。

則點 A，B 在以線段 OP 為直徑的圓 C 上，即線段 AB 是圓 O 和圓 C 的公共弦。

則圓心 C 的坐標是 且半徑的平方r2=m2+（2m+9）2

所以圓 C 的方程是

又 x²+y²=9 ，兩式相減，得 mx- （2m+9）₃-9=0_c

故公共弦 _AB 所在的直線方程是 mx- ，整理得 m（x-2y）- （9y+9）=0 。

， =由 解得0所以直線 AB 恒過定點 （-2，-1） 。

點評：若圓 C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+ F₁=0 與圓 C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+F₁-F₂=0 。

例4已知圓 C₁：x²+y²-2x+4y- 4=0 與圓 C₂：x²+y²+4x-2y-4=0 的交點為 A，B ，則

分析：首先將圓的一般方程化為標準方程，即可得到圓心坐標，再將兩個圓的方程作差求出公共弦方程，然后求出圓心到公共弦的距離，最后由勾股定理可得 ∣AB∣ 。

解：圓 C₁：x²+y²-2x+4y-4=0 ，即（x-1）²+（y+2）²=9 ，則圓心 C₁（1，-2） ，半徑 r₁=3 。

圓 C₂：x²+y²+4x-2y-4=0 ，即 （x+ ，則圓心 C₂（-2，1） ，半徑

r₂=3

則兩個圓公共弦的方程為 x²+y²- 2x+4y-4-（x²+y²+4x-2y-4）=0 ，即x-y=0 0

則圓心 C₁（1，-2） 到直線 x-y=0 的距 離

所以公共弦

點評：求兩個圓公共弦長度的方法：（1）代數法，將兩個圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長；（2）幾何法，求出公共弦所在直線的方程，利用半徑 r ，圓心到直線的距離 d 及弦長 ι 具有的關系 r²=d²+ 求解，這也是求弦長的常用方法。

三、兩個圓的公切線問題

例5寫出與圓 x²+y²=1 和圓 （x- 4）²+（y+3）²=16 都相切的一條切線方程

分析：如圖1，根據圓與圓的位置關系，先確定出切線條數，其中 l₁ 可直接根據位置關系求得，根據 l₃ 與圓心連線的位置關系及l₃ 與 相切可求 l₃ 的方程，然后根據直線關于直線對稱的求法解出 l₂ 的方程。

圖1

解：圓 x²+y²=1 的圓心為 O（0，0） ，半 徑為1。圓 （x-4）²+（y+3）²=16 的圓心為 C（4，-3） ，半徑為4。

因為圓心距 |OC|=5 ，所以兩個圓外切。如圖1所示，有三條切線 l₁，l₂，l₃ ，易得切線l₁ 的方程為 y=1 。

因為 l₃⊥OC ，且 所以 k_l3=

，即 4x-3y+3b=0

則 O（0，0） 到直線 l₃ 的距離 ，解

得 （舍去）或 。 中

所以直線 l₃：4x-3y-5=0 。

又直線 l₁ 和直線 l₂ 關于 對稱，聯立 解得 且 在直線 l₂ 上。

在直線 l₁ 上任取一點（0，1），設其關于

OC 的對稱點為 （x₀，y₀） 0則 解得 則 ，所以直線 l₂ ：

即 24x+7y+25=0 。

綜上，切線方程為 或 24x+7y+25 =0 或 4x-3y-5=0 ，寫一個方程即可。

點評：求兩個圓公切線方程的方法如下。

（1）當公切線的斜率存在時，可設公切線方程為 y=kx+b ，由公切線的意義（兩個圓公共的切線）可知，兩個圓心到直線 y=kx+Π b 的距離分別等于兩個圓的半徑，這樣得到關于 k 和 b 的方程組，解這個方程組得到 k ，b 的值，即可寫出公切線的方程。

（2）當公切線的斜率不存在時，要注意運用數形結合的方法，觀察并寫出公切線的方程。

例6 圓C：x2+y2=4與圓C2：（x-4）²+y²=1 的一條公切線長度為 （填人一個答案即可）。

分析：先判斷圓 C₁ 與圓 C₂ 的位置關系，即可得公切線情況，再利用幾何關系求出公切線的長。

解：由題意得 C₁（0，0），C₂（4，0），r₁=2 r₂=1，∣C₁C₂∣=4gt;r₁+r₂ ，故兩個圓相離，有四條公切線。

如圖2，設四條公切線分別為直線 AB ，直線 A₁B₁ ，直線 MN ，直線 M_iN_i ，且 MN 交M₁N₁ 于點 Q 。

圖2

由對稱性可知 ∣AB∣=∣A₁B₁∣，∣MN∣= ∣M₁N₁∣ 。連接 AC₁ ，過 C₂ 作 PC₂⊥AC₁ ，垂足為 P ，連接 BC₂ ，則四邊形 PABC₂ 為矩形。

所以 。

連接 MC₁ ， NC₂ ，易知 ΔC₁MQ～ ΔC₂NQ ，所以 0又 ∣C₁Q∣+∣C₂Q∣=4 ，故

所以在 RtΔC₂NQ 中，

則 。

故兩個圓的一條公切線長為 或 。

故答案為 或 （填一個即可）。

點評：兩個圓公切線長的求法：（1）連接兩個圓的圓心與兩個切點，求外公切線長一般構造直角梯形，求內公切線長一般構造直角三角形；（2）若為外公切線，則過一個圓心作直角梯形的高，將梯形分成矩形和直角三角形，轉化為解直角三角形的問題。

（責任編輯 徐利杰）