幾何直觀素養：內涵、特征及培養策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標》）首次提出發展學生“三會”核心素養，即“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”.其中，抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新素養是“數學眼光”的主要表現，為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式[1]5.《課標》在課程目標、課程內容、學業質量等部分出現“幾何直觀”一詞56次，且附錄有8個實例涉及幾何直觀.同時，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，“通過高中數學課程學習，增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識”[2]6，強調在函數、幾何與代數、概率與統計領域均要發展幾何直觀素養.因此，培養學生幾何直觀素養成為數學教育領域的重要主題.

實踐表明，部分教師在發展學生幾何直觀素養的實踐中存有諸多問題.比如，幾何直觀素養培養囿于圖形與幾何領域，局限單一；教學設計中直觀模型、直觀語言等明顯不足，要素缺失；教學實施中缺乏整體性、連貫性、融通性，導致學生學習“失度”，包括形數聯系失當、直觀感知失衡、圖表分析失準等[3].不難發現，問題產生的根源主要有三：一是幾何直觀素養內涵認識不清；二是幾何直觀素養特征把握不當；三是幾何直觀素養培養策略不明.因此，需要厘清幾何直觀素養的內涵、揭示其特征、明晰其素養策略.

1幾何直觀素養的內涵

1. 1 直觀

《中國大百科全書》將直觀定義為：“通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識.”[4]徐利治指出，“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識”[5].史寧中強調，“直觀指通過對客觀事物的直接接觸而認識事物的一種方式，關注的是人是如何認識事物的”[.在此基礎上，透視出直觀的“三性”特征：生動性、具體性和直接性[].因此，直觀可進一步理解為：通過對客觀事物的直接接觸或借助經驗、聯想等，在未經充分邏輯推理的情況下，捕捉對象的整體特征及本質屬性.聚焦于數學學科，直觀至關重要.如M·克萊因所言：“數學不是依靠邏輯，而是依靠正確直觀，數學的直觀是對概念、證明的本質把握.”

1.2幾何直觀的內涵

國內外學者從圖形感知、空間想象、直觀操作與圖形建模等多方面探討幾何直觀的含義及表現形式，形成了較為豐富的研究成果.盡管尚未形成統一定義，但從求同存異來看，國內外學者均認同幾何直觀是一種融合感知與思維、直覺與邏輯的綜合能力，是建構空間認知、形成數學表征、發展數學思維的重要基礎.在我國，《課標》指出：幾何直觀是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.具體表現為：能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應圖形，分析圖形性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路[1]8.該界定不僅明晰幾何直觀的要素指向，而且揭示幾何直觀的實踐要點.本文研究據此展開.

2幾何直觀素養的核心特征

幾何直觀素養表現出對圖表本身的感性認識是基于幾何概念和幾何性質形成的直觀感受，體現出數形結合分析問題的能力，表現出對自然文字語言、抽象符號語言、直觀圖形語言靈活轉化的語言表達能力，展現出依據已知的幾何規則、圖形及實物等構建直觀模型解決問題的能力.簡言之，其內涵表現為四方面：感知、分析、表達、應用.由此，透視出幾何直觀素養的四個特征，

2.1 圖表感知的直觀性

感知包括感覺和知覺.感覺是客觀事物作用于感覺器官而引起的，是人腦對直接作用于感覺器官的客體個別屬性的主觀反映.知覺是在感覺的基礎上形成的，是客觀事物直接作用于感官時人腦產生的直接整體反映，知覺一定程度上彌補了感覺范圍的有限性、片面性及表面性[8]22.圖表感知的直觀性體現為對圖形、數表的觀察能力，即先通過視覺捕捉到圖形特征或潛在的數量關系，進而根據線索提取和運用有關的知識和技能，調動已有的數學學習或問題解決經驗，抽象出問題實質及數學規律，這一過程不僅涵蓋對圖形結構、數量關系的識別，還包括對隱藏信息的敏銳感知，是理解幾何圖形和建立數學關系的基礎.例如，在“二次函數 y=ax² 的圖象”學習中，能根據“五點”在直角坐標系的位置，直觀感受函數圖象不同于一次函數的線性特征，能通過增加取點個數，想象圖象是具有對稱性、類似“U”形的光滑曲線.再如，探索“一元二次方程的根與系數的關系”，借助數表展示一元二次方程的系數與根，能由直觀、有序的數據聯系四則運算法則猜想兩根與系數間的數量關系.

2.2 數形分析的直觀性

數形分析的直觀性主要體現在三方面：一是能識別代數表達所隱含的幾何意義，能從“無圖”到“有圖”、由抽象到具體，實現“以形論數”.如學習“乘法公式”，將多項式與多項式的乘積對應矩形兩鄰邊長的乘積，將代數公式轉化為圖形的面積關系，從形的視角揭示平方差、完全平方和（差）公式的運算規則.二是能分析圖形中的數量關系，“以數助形”探討圖形的結構和性質，體現從圖形直觀到性質抽象、從表面到本質的深入.其中，坐標系是數形聯系的有力工具，通過坐標思想將幾何問題代數化，實現數形相融，數形互通.三是理解圖形運動變換的直觀性，能在頭腦中構建、分解與組合空間圖形，能通過平移、旋轉、對稱、縮放變換以及剪拼、折紙等具體活動，經歷從操作中直觀感悟到由概念邏輯推理的思維轉變.例如，探究“同弧所對圓周角與圓心角的度數關系”時，沿圓周角頂點與圓心所在直線對折圓，觀察到折痕與圓周角的位置關系，進而將討論情況分為圓心在圓周角的一邊上、在圓周角內部、在圓周角外部三種類型，并由折痕啟發構造輔助線，運用三角形的外角定理探索圓周角與圓心角的度數關系.

2.3 語言表征的直觀性

數學語言可看作一套形式化的人工符號系統[9]49，包含文字語言、數學符號語言、圖形語言三種形式.語言表征的直觀性表現為能夠運用數學語言的不同形式對問題進行說明或解釋，尤其強調能夠把文字語言或符號語言轉化為幾何直觀.例如，在“有理數的加法”學習中，利用數軸表示有理數運算過程和運算結果，能直觀體會有理數的加法運算法則和運算規律，尤其降低對與負數有關加法運算的理解難度.又如，在認識“一次函數圖象”中，通過列表、描點、連線構造函數圖象，形象刻畫自變量與函數值間的對應關系，直觀展示函數值隨自變量變化的規律.進一步地，解二元一次方程組時，可將方程組解的問題轉化為兩個一次函數圖象交點問題.再如，研究兩組平均值近似的統計數據，散點圖能更直觀展示數據偏離平均值的離散程度.

2.4模型構建的直觀性

心理學研究表明，人的認知心理中具有檢索原有知識、經驗的能力.人們學過的數學概念、公式、定理、法則、圖形、方法等知識，以及各類問題和解題規律，都會不同程度地保留在記憶之中，我們稱之為模型或模式[8]294.模型的識別、構建及應用對提升認識、形成數學直覺具有重要意義.

數學直觀模型常體現為圖形、實物、操作演示的直觀性.基于中小學數學學習內容，常見的數學直觀模型可劃分為以下幾類：一是圖形與幾何領域，常包括數軸、坐標系、空間幾何體模型、網格圖、點子圖等.其中，數軸與坐標系是幾何學習的基礎，是溝通幾何和代數的“橋梁”.空間幾何體模型既包含長方體、圓柱、圓錐等幾何模型，也包括直尺、三角板、七巧板、量角器等常用工具，用于直觀展示平面或空間圖形的特征.網格圖、點子圖對探索數學規律、研究圖形變換、分析數據特征等具有重要價值；二是數與代數領域，一般包括小棒、算珠、天平模型以及面積、體積模型等.小棒和算珠常用于認識數的含義，理解數的運算及法則.天平模型有助于直觀理解等式和不等式的概念及性質，理解方程的意義及求解原理.

面積、體積模型主要指組合圖形的面積或體積關系以及“同底等高”“等底等高”等幾何模型.三是統計與概率領域，直觀模型主要體現在拋硬幣、擲骰子等經典隨機試驗以及可視化的統計圖表，如頻率分布直方圖、箱線圖、正態分布曲線等有助于直觀展示數據特征，描述數據分布規律及預測數據走勢等，

3幾何直觀素養的培養策略

研究表明：小學階段，對幾何直觀素養的要求主要以“直觀”水平為主，到小學高年級逐漸增加“分析”的成分；從初中開始，學習與理解幾何的方式將從觀察、實驗、測量逐步過渡到以演繹為主的推理，幾何直觀也從基于操作經驗的感悟逐步過渡到基于概念的推理，形成初步的幾何直覺[9]71.在高中階段，要進一步處理好直觀與想象的關系，要超越幾何的限制，形成更具普遍意義的直觀想象素養，尤其要在具體情境中感悟事物的本質，形成數學直觀[2]6.盡管幾何直觀的學段表現形式存在差異，但基于素養發展的統一性及內涵特征，其培養策略具有內在一致性.

3.1重視數學圖形繪制，提高動手操作能力

圖形繪制與動手操作是培養幾何直觀能力的重要方式，能幫助學生建立清晰的幾何表象，增強對幾何關系的直觀感知.幾何學習中，圖形不僅是數學概念的直觀載體，更是數學思維的表征方式.學生在圖形繪制中進行空間判斷、比例調整與結構優化，使抽象幾何關系以具體形式展現出來，這一過程不僅深化對幾何概念及其性質的理解，也促進空間思維的發展.動手操作指通過構建物理模型、拆解幾何結構或進行空間組合，在真實情境中觀察和體驗幾何變化，在實踐中深化對幾何關系的認知，增強空間感知、邏輯推理和操作技能.例如，在“平行四邊形性質”的學習中，可沿循\"整體感知一局部驗證—數學證明”流程，引導學生在圖形繪制、動手操作中探索性質、獲得證明啟發.具體來看，首先，整體感知：一般情況下，平行四邊形不是軸對稱圖形（折疊圖形不能重合），而是中心對稱圖形（對稱中心為對角線交點）.該環節可通過繪制、裁剪平行四邊形，利用圖釘固定中心，在旋轉操作中直觀感知圖形的中心對稱性、體會平行四邊形對邊對角相等、對角線互相平分的性質.其次，多視角局部驗證，如通過直尺、量角器，運用GeoGebra軟件等測量邊角數據驗證，還比如借助全等三角形拼接平行四邊形驗證.最后，反思繪圖及操作活動，啟發構造輔助線，將平行四邊形邊角數量關系的證明轉化為三角形全等問題

3.2加強圖形變換想象，發展空間想象能力

幾何直觀素養的發展不僅要求對靜態圖形的認知，還需具備對圖形變換規律的理解與操作能力.通過平移、旋轉、對稱、縮放等基本變換，學生能在動態思維中構建圖形表征，增強對空間結構的感知能力.同時，觀察圖形在不同變換條件下的特征保持與變化情況，能提高對圖形關系的敏感度.此外，對圖形變換前后空間結構狀態的把握，能進一步對圖形表象進行加工、改造，甚至創造新的空間形象，由此增強空間想象能力，有助于學生在缺少實物或輔助工具的情況下，憑借幾何經驗和直觀感知，在頭腦中構建直觀模型，并以此進行分析和推演.例如，在“銳角三角函數”單元，理解正余弦、正切的“函數”意義是教學的難點，即角的大小確定，其對應的三角值就唯一確定，與直角三角形的大小無關.為此，可想象RtΔABC 到 RtΔAB^′C^′ 的縮放變換（如圖1），應用相似原理直觀感知概念中“唯一”“確定”的含義.此外，概念應用中可構造如圖2的特殊直角三角形（假設 BC=1 ），先利用直角三角形性質、勾股定理計算ΔABC，ΔABD，ΔABE 其余邊長，再運用銳角三角函數概念獲得特殊角的三角函數值數表.進一步，假定圖2中任意直角三角形的一邊長（如 BE=a ），利用特殊角的三角函數值計算其余邊長，體會銳角三角函數在解三角形中的重要作用

圖1

圖2

3.3滲透數形結合思想，培養靈活數學思維

數形結合實質是將抽象思維與形象思維相結合，彌合了抽象思維與直觀感知之間的鴻溝，使學生在不同數學表征之間建立聯系，提升數學認知及幾何直觀能力.在代數推理中，以幾何圖形為支撐，幫助學生從“形”的視角理解、解釋、驗證推理結果及其合理性.在幾何分析中，“數”的表達則為圖形特性提供更精準的數學刻畫.實現數形結合，主要通過三種途徑：坐標聯系、審視聯系、構造聯系.坐標聯系主要指通過建立坐標系，達到數形結合；審視聯系強調用幾何眼光分析代數問題；構造聯系即通過構造幾何模型、函數圖象等達到數形互化[8]312.例如，《課標》附錄案例“研究兩位數 的平方規律”從代數推理視角，利用數的進位制表示 ，結合完全平方公式證得規律 a5²=100a（a+1）+25. 實際上，根據 平方為多項式乘法的本質，可轉化為矩形面積間關系推理.如圖3，四邊形ABCD是邊長為10a+5 的正方形，BEFG是邊長為10a 的正方形，由 SABCD=S₁+2S₂+S₃ ，得 （10a+5）²= 100a²+100a+25. 利用面積直觀模型，形象揭示平方規律，直觀解釋代數結果意義.

圖3

3.4鼓勵交流反思問題，增強直觀表達能力

交流反思作為數學學習的重要環節，為學生進行學習回顧、修正錯誤、拓展思路提供平臺.在幾何直觀素養培養中，交流反思著重引導學生運用不同形式的數學語言表征數學概念、描述數學原理、還原學習過程.數學表征是反映學生認知過程、展示思維結果的重要方式，也是幾何直觀發展具象化的成果，為教學診斷提供可參考的評價依據.例如，學習“全等形”概念后，反思概念名稱及符號表達所指向的數學實質：全等形是能“完全重合”的兩個圖形，完全重合從“形”上理解是圖形的形狀相同，從“數”上表達是對應邊相等、對應角相等.由此自然而然地理解全等符號“ ”引入的合理性，既有形的直觀圖示，又有數的關系符號.為后續利用“”表達“相似”提供基礎.再如，“圓”章節涉及圖形多、公式多、性質及判定定理多，因此在單元復習中，應引導學生回顧反思圓錐、圓柱及其組合體的直觀畫法，明確圓的切線、圓的內接（外切）正多邊形畫法，以此增強空間觀念，形成圖形直觀.同時，回顧扇形弧長和面積公式、圓錐（柱）側面積和全面積公式有何特征、如何推導、如何結合圖形或實物加以記憶？點和圓、直線和圓存在哪些位置關系、按何種標準進行劃分、能否作出對應位置關系的直觀圖形、能否想象每種位置關系所對應的實物模型、如何用數學符號語言表達這些位置關系、位置關系如何判定等.

3.5 輔助動態幾何軟件，促進知識直觀理解

動態幾何軟件（如GeoGebra、幾何畫板）為幾何教學提供了新的輔助工具，使學生能夠在互動環境中動態地觀察和探索幾何圖形的變化過程.這種動態呈現方式突破了傳統教學中靜態圖形展示的局限，能夠更真實、直接地反映幾何圖形在變化過程中的本質特征，增強幾何學習的直觀性和靈活性，減少數學抽象的難度，有助于學生更深刻地理解幾何概念和性質，提升空間感知能力和幾何直觀水平.例如，在“勾股定理”的學習中，學生經歷直尺測量、網格紙探索后，教師可用GeoGebra繪制直角三角形，利用“度量”功能測量出三角形三邊長，通過“計算”功能算出兩直角邊的平方和及斜邊的平方，然后變動直角三角形的形狀和大小，發現“變中之不變”：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，幫助學生直觀體會結論成立的正確性.教師再利用GeoGebra構造四個相同的直角三角形拼出正方形，利用面積不變性幫助學生體會勾股定理的直觀證明.通過使用動態幾何軟件，平衡抽象與直觀的關系，突破學生有限次操作的局限，幫助他們建立更牢固的記憶網絡，形成“觀察—猜想—實驗—證明”的思維習慣.

參考文獻

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[9]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介余小芬（1986一），女，四川內江人，副教授，碩士生導師，博士研究生；研究方向為數學課程與教學論.

甘桐瑜（2003—），女，四川內江人，本科生；研究方向為數學教育教學.