跨學科一項目式”視角下的“綜合與實踐”教材資源重構

1 問題緣起

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中特別設置了“綜合與實踐”領域，并將其作為義務教育階段數學課程標準規定的四大學習領域之一.《標準》明確建議，初中階段的“綜合與實踐”課程宜采用“跨學科—項目式”模式開展，旨在引導學生整合數學與跨學科的知識解決實際問題，積累數學活動經驗，培養創新意識[1]16.可見，“綜合與實踐”是培育學生“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”的“三會”核心素養的有效載體.

現義務階段新教材已于2024年9月分階段正式投入使用.教材作為《標準》的具體體現與重要教學媒介，其“綜合與實踐”內容的編排為教師開展教學活動提供了基礎參考.但該部分內容的呈現大多較為精煉，且由于新教材剛剛投入使用，缺乏相關的研究，教師難以就有限的資源高效開展“跨學科一項目式”的“綜合與實踐”教學活動.因此，開發并利用新教材中“綜合與實踐”的教學資源勢在必行.本文以魯教版《義務教育教科書·數學》（六年級下冊）（本文簡稱“新教材”）中的“綜合與實踐”部分（“神奇的加密術”與“設計自己的運算程序（一）”）為研究對象，在對教材內容分析的基礎上進行教材資源重構，呈現一個“跨學科—項目式”視角下的“綜合與實踐\"教學實踐案例，并給出幾點思考.

2活動前期的分析及構思

2.1 明確活動定位

《標準》明確指出：“以問題解決為導向，需要整合數學與其他學科的知識和思想方法.”[1]77 因此教師需要明確綜合與實踐活動的開展涉及哪些數學知識，還應明確活動是對知識的學習還是應用.“神奇的加密術”與“設計自己的運算程序（一）”是魯教版六年級下冊數學教材的綜合與實踐活動.學生前期已經學習有理數及其運算、字母表示數、整式及其加減和一元一次方程等知識，有過“加密與解密”的經歷，對程序性問題也有初步了解；但大部分學生缺乏對數學思想方法和數學活動經驗深人的體悟與積累，僅具有初步的感性認識.

“神奇的加密術”案例中涉及的核心數學知識是有理數的混合運算、字母表示數等，數學本質是“一一對應”的映射，又稱“雙射”“設計自己的運算程序（一）\"案例中涉及的核心數學知識是字母表示數、整式運算、一元一次方程等，數學本質是“輸入一規則—輸出”的函數思想.可以發現，兩個案例具有“對應思想”的共同點.預想兩者融合重構后的新案例，可以讓學生在應用已有知識的前提下，初步體悟“對應思想”，并為后續函數的學習奠定基礎

2.2設計難點及活動重構點分析

在“綜合與實踐”的教學活動中，設計難點的分析是前提.首先，兩個活動在新教材中的描述不多，這給教師進行教學設計造成了一定的難度.其次，如何將數學思想和本質無聲浸潤于活動中，是設計的核心難點.以“神奇的加密術”為例，教材給出的任務過于簡單，學生易被“設計密文”“傳遞情報”的游戲感吸引.若缺乏引導，活動可能止步于“趣味操作”，學生難以體會背后的數學本質是“雙射”.類似地，在“設計自己的運算程序（一）”中，學生能按運算步驟重排四位數得到“6174”，但往往驚嘆于數學現象的奇妙，難以體悟設計運算程序的數學本質其實是函數的構建.

圖1兩個活動關聯圖

對于上述設計難點，有沒有好的解決辦法呢？我們發現兩個活動看似是獨立的，卻在數學本質上緊密相關（如圖1）.設計運算程序則揭示了“輸入一規則一輸出”的函數構建的思想.前者用“明文—規則一密文”的邏輯傳遞信息，后者可通過“輸入—規則—輸出”的邏輯為密文的生成提供依據.因此，完全可以將兩者重構成一個全新的案例，預想引導學生構建相對復雜的運算程序對信息進行加密，并在實踐過程中不斷優化加密程序，不僅可以持續地應用已有知識解決問題，還能在實踐中體悟對應思想.

3“跨學科一項目式\"視角下的教材資源重構

3.1 項目主線設計

《標準》在修訂原則中指出：“將社會主義先進文化、革命文化、中國優秀傳統文化、國家安全、生命安全與健康等重大主題教育有機融入課程，增強課程思想性.”[1]2根據《標準》要求，同時結合上述的活動分析和重構構思.筆者思考將數學知識（函數等）、跨學科知識（歷史、密碼學等）、文化傳承與愛國主義教育融入項目中，將項目大主題定為“加密與解密一一從古代智慧到大國力量”，提出“如何設計一套守護國家信息安全的多層加密系統”的驅動性任務.將“傳承古人智慧，守護國家安全”的探究思路貫穿于整堂活動課中，引導學生體悟數學本質，發展跨學科思維，增強學生的文化自信，培養愛國情懷

3.2 教學流程安排

項目式學習的教學通常需要較長時間，本項目的教學設計為項目導引課、項目探究課和項目展示課3個課時（下文以“項目展示課”為例進行介紹），下面呈現相應的教學安排（見表1）.

表1整體設計思路表

3.3項目展示課教學流程

3.3.1 項目目標設計

（1）理解加密與解密的基本數學原理，掌握詩序加密、凱撒密碼等經典加密方法.并能夠結合數學運算程序，設計和優化簡單的多層加密算法，體驗“輸入—規則—輸出”的函數構建的思想.培養學生的創新意識、抽象能力與模型觀念，學會用數學的語言表達現實世界.

（2）了解中國古代軍事密碼的歷史貢獻，對比古今中外加密術的發展.感悟中華優秀傳統文化中的數學智慧，樹立文化自信與民族自豪感，學會用數學的眼光觀察現實世界.

（3）在加密系統設計中融合數學、歷史、信息技術等多學科知識，體會學科間的內在聯系，學會用數學的思維思考現實世界.結合國家安全教育，理解信息安全對國家發展的戰略意義，初步形成守護國家安全的家國情懷.

3.3.2 教學實踐展示

環節一：情境引入

播放《解密》電影片段引入（祖國天才英雄通過多年的努力成功破譯敵人密文，粉碎了敵人的計劃，為祖國的勝利作出重大貢獻）.

問題1剛才視頻片段中的“黑密”是現代人創造的一套加密系統，具有很強的安全性.大家舉例說明古人是如何對信息進行加密和解密的？

問題2 如何利用古代智慧，創新加密方法？

問題3從數學的角度怎樣使我們創造的加密系統更加有效？

教學說明通過祖國天才英雄破譯“黑密”的電影片段引入，首先在情感層面激發學生對加密術的價值認知，喚醒學生的家國情懷.然后通過問題鏈層層深入，引發學生對古人智慧和數學知識相融合的深度思考，培養學生的創新意識，學會用數學的眼光觀察現實世界

環節二：小組展示

本環節是6個小組分別展示其課前的研究情況，匯報人需從研究目標、研究步驟、研究過程、研究成果和研究困惑五個方面進行匯報，需要表達清晰，重點匯報其小組在研究過程中遇到的困惑

學生困惑經過小組交流，教師總結出學生在研究過程中存在以下困惑：（1）難以利用數學現象（如“數字黑洞”）對古人加密術進行優化；（2）設計的加密程序無法破譯；（3）無法驗證加密程序的有效性.

展示亮點筆者選取具有代表性的兩個方案進行展示：組1在“詩序加密”規則的基礎上，融入了“凱撒加密”的元素.組3將“數字黑洞”應用到“詩序加密”中，設計了“古代 + 現代”復合加密程序.

教師點評在匯報過程中，教師給予適當點評.組1的加密程序創新點在于其將新教材的兩個古代加密術進行融合.可見同學們已經充分理解了兩個加密術的運作原理，相比于單一的加密術更加具有安全性.不足之處是沒有很好的利用數學工具.相比之下組3的加密程序利用了“數字黑洞”現象，顯然比組1的加密程序更難破譯.但組3的設計思路雖更有創新性，卻存在些許問題，請同學們動手操作：我們在收到密文“I”之后，首先就是逆向運行加密程序進行解密，以此來獲得對方想要傳遞的信息.下面請你嘗試解密組3傳遞的密文“I”

學生活動逆向運行加密程序，發現密文“I”可轉化為“9”，而“9”經過逆向數學黑洞運算，又可以轉化為“12”“21”“23”“32”四個數字，無法對照詩序字典獲得唯一的明文.

教師點評大家可以發現組3提供的密文無法獲得唯一的明文，也就是說密文與明文此時并不是一一對應的，所以我們還需要對加密程序進行優化.在數學中我們把兩個對象之間一一對應的這種關系叫做雙射，是映射的一種.大家嘗試從“一一對應”的視角進行優化.

成果匯總經過小組間的激烈討論，每個小組都提供了自己的優化建議.下面呈現優化后的加密程序（如圖2），并在最后附上破譯方法。

步驟一深度使用“數字黑洞”現象.通過“數字黑洞\"提取明文的兩個特征，可以初步解決一個密文對應多個明文的問題.“數字黑洞”現象最顯著的特征就是數字經過幾次運算之后，運算結果會跌入一串數字的循環.將跌人循環的運算次數作為明文的“特征一”，如“25”經過一次“數字黑洞”運算（52-25=27 ），便可跌入“9—81—63—27—45—9”的循環，所以“25”的特征一就是“1”.接著將明文跌入循環的首個數字作為明文的“特征二”，如“25”跌入循環的首個數字\"27\"就是特征二.

步驟二采用《唐詩三百首》作為詩序字典，將明文數字的兩個特征與詩中的文字一一對應.如明文數字“25”的“1\"（特征一）對應唐詩三百首的第1首張九齡《感遇十二首·其一》，然后將“27”（特征二）拆分為“2”和“7”，分別對應《感遇十二首·其一》正文中的第2個字“葉”和第7個字“崴”，得到第一個密文“葉崴”.

步驟三將明文數字的特征二次加密，采用公式“明文數字 × 特征一 + 特征二”.將生成的數字拆分分別與英文字母對應，以明文數字“25”為例，公式運算的結果為“ 25×1+27=52' ，然后將結果拆分為“5”和\"2”，分別按照字母順序對應“E”和“B”因此生成第二個密文“EB”.

步驟四生成密文.將步驟二和步驟三生成的密文組合，如明文數字“25”的密文為“葉崴EB”.

破譯方法下面以上述密文為例呈現破譯過程。首先將密文拆分為“葉崴”和\"EB”兩部分.破譯“葉崴”需要瀏覽《唐詩三百首》，發現“葉”和“崴”分別是《唐詩三百首》的第1首《感遇十二首·其一》正文中的第2個字和第7個字，于是便獲得了明文的特征一“1”和特征二“27”.然后再破譯“EB”，按照字母順序得到二次加密數值“52”.接著利用公式“明文數字 × 特征一 + 特征二 Σ=Σ 二次加密數值”，代入相應的數值可得到一元一次方程“明文數字 ×1+ 27=52^， ，解方程便可求出明文數字“25”，破譯成功，

教學說明項目式學習的一個關鍵環節就是成果展示，包括前期研究的成果和課上研究的成果.在學生展示前期研究成果時，教師選擇恰當的時機給予點評和指導，可以幫助學生發現和提出問題.并且能夠獨立思考，通過小組合作分析問題，探尋解決問題的方案.在此過程中學生從解決實際問題的視角出發，更加深入的思考學科知識，培養學生的模型觀念、抽象能力、創新能力和跨學科思維.引導學生學會用數學眼光的觀察現實世界，用數學的語言表達現實世界，用數學的思維思考現實世界.

環節三：課堂延伸

設計加密程序的過程，需要遵循“明文一規則—密文”的邏輯，本質其實就是數學中的“輸人一規則一輸出”邏輯，體現了轉化與化歸的數學思想.而且我們知道明文與密文是一一對應的、可逆的，這在數學中叫做雙射.大家課后可以結合本次活動自行學習函數的概念，為以后的學習打下基礎.最后希望大家可以不斷創新，努力奮斗，未來為國家安全貢獻自己的一份力量

環節四：學習評價

教師在課堂結尾提供評價量表（見表2），供學生自評.

表2評價量表

環節五：分層作業

拓展性作業：利用信息技術，驗證優化后的加密程序的可逆性

創新性作業：撰寫短文《如果我是未來密碼學

家》，設想如何用數學與科技守護祖國信息安全.

說明 環節三、四、五部分，限于篇幅，教學說明略.

4教學思考

4.1如何實現“跨學科”：以真實情境為背景，以項目為載體，以任務為驅動

勒諾爾（Lenoir）認為，自然環境的復雜性、社會生活的現實性是單一學科的碎片化知識無法應對的.因此，數學教育需要以數學學科為主導，從跨學科的視角關聯不同學科的知識，培養學生綜合運用知識解決現實問題的能力.而在實際教學中往往面臨過度強調跨學科導致項目缺乏“數學味”，過于強調數學又使項目難以聯結跨學科知識的困境.解決方法是以真實情境為背景，以項目為載體，以任務為驅動，引導學生綜合運用不同學科的知識解決問題.

在本項目中，以“加密與解密一從古代智慧到大國力量”為項目背景，引導學生分階段完成任務.課前，學生查閱歷史資料，了解“加密術”的“前世今生”，通過小組合作的力量設計加密程序.課上，學生需制作匯報PPT或精煉語言撰寫小論文，與教師一起結合數學、密碼學優化加密程序.課后，學生利用信息技術進行編程，驗證加密程序的有效性.既培養了學生的跨學科思維，又培養了學生的運算能力、邏輯推理、抽象能力、創新意識等核心素養，既確保了教學流程以數學學科為核心，又不乏“跨學科味”.

4.2如何進行\"教材重構”：從“碎片化\"到\"結構化'

教師在教學時既要面向全體又要考慮不同學生的需求，需對教材中的單一課時做整體考量，注重前后銜接和學習深度的彈性處理.而新教材的“綜合與實踐”內容篇幅不長，且相對獨立，直接使用難以支撐項目的深度實施，通過教材重構可以很好的完成上述要求.但教材重構不能脫離知識，否則就成了“無源之水，無根之木”.教師需要深度理解教材，把握獨立課時之間的核心關聯點以及蘊含在知識之上的數學思想方法，使知識由“碎片化”到“結構化”.

例如，新教材中“加密術”本質上依賴的是雙射，設計運算程序則揭示了函數的構建.兩個活動的關聯點便是對應思想，但新教材并未明確指出，需要教師深入挖掘.同時，加密術的邏輯本質是“明文—規則一密文”，設計運算程序的邏輯本質是“輸入一規則一輸出”，兩者存在天然的聯系，可以相互融合而不排斥，重構的起點就應從此開始.因此筆者以“設計加密程序”為項目驅動任務，對教材內容進行融合重構，將對應思想、古人智慧、信息技術、家國情懷等有機串聯.這種結構化重構不僅深化了數學本質（對應思想）的理解，還通過跨學科的實踐操作發展了學生的綜合素養.

4.3 如何“育人”：從“知識習得”到“價值認同”

章建躍曾指出：“數學育人就是對學生進行數學思維和語言的教育.”因此數學學科的獨特育人價值在于形成人的理性思維和科學精神，在教學育人時，要以培養數學核心素養為主，輔以價值觀的浸潤，但需防止“價值觀灌輸化”.通過真實情境與自主探究，使學生從“知識習得”到“價值認同”，實現知識和價值觀的自然滲透.

本項目以“對應思想”為數學知識核心，促進多學科知識的有機融合，幫助學生建立知識間的邏輯關聯，形成結構化認知.使學生不僅掌握數學學科知識，更能在跨學科實踐中理解知識的應用場景與意義，培養“用數學的眼光觀察現實世界”的能力.在探究過程中，學生從“被動接受”轉變為“主動習得”，在真實挑戰中發展核心素養，學會“用數學的思維思考世界”.同時學生通過對比古今中外加密技術，感悟中華文明的數學智慧.課后作業“如果我是未來密碼學家”則引導其思考數學與科技對國家安全的戰略意義，激發其“守護國家信息安全”的家國情懷，真正實現“知識傳授、能力培養、價值引領”三位一體的育人效果.

5 寫在最后

“教材重構”是從“教教材”走向“用教材教”的關鍵，教材“綜合與實踐”領域的重構并不是簡單的內容增刪，也不是教學方法的改進與優化，而是依據課程標準、教材內容和學生學情的一次課程創新[3].結合“綜合與實踐\"課程的特點，“教材重構”的實施可以參考如下流程進行：首先分析教材，挖掘教材中“綜合與實踐”活動的學科本質與跨學科的關聯點；其次結合真實情境與育人價值，設計主題與任務；然后重構資源，整合活動，將碎片化知識結構化，讓知識建構流暢展開；最后要實施過程性評價與知識升華，植入文化，讓素養悄然提升.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]章建躍.樹立課程意識落實核心素養[J].數學通報，2016，55（5） ：1-4，14.

[3]張偉俊.初中數學教材重構的內涵、原則與策略[J].教學與管理，2020（22）：57-60.

作者簡介魏碩（2001—），男，碩士研究生；主要從事中學數學教學研究.

于彬（1984—），碩士，中學一級教師，獲齊魯名師建設工程（2022—2025）人選、東營市首批教育科研學術帶頭人等榮譽稱號；主要從事課堂教學和中考命題研究工作.

高偉（1978—），男，博士，教育碩士導師，副教授；主要從事中學數學教學研究.