由淺入深追本“大概念” 拾級而上生長“大單元”

試卷講評課是在檢測后結合通過檢測所獲信息，為學情把脈診斷、對試卷分析講評，以求通過發現的“典型問題”著力提升和發展學生的問題解決能力與數學核心素養的一種課型.調研發現當前試卷講評課存在三大問題：（1）側重答案校對，忽視概念溯源;（2）解法呈現碎片化，缺乏結構整合；（3）學生被動接受，認知遷移不足.筆者認為：試卷講評課亟需實現從“糾錯\"到“育人”的轉型，講評中應聚焦典型問題，由淺入深，追溯試卷中“問題”深處的源頭活水—追本“大概念”;拾級而上，自然建構“大概念”統攝下的渠清如許—生長“大單元”，遵循學生認知發展規律，讓學生在真實經歷中，于無聲處自然孕育并發展數學核心素養.現將筆者執教過的一節試卷講評課的實踐與思考梳理出來，和同行們一起探討.

1典型問題

聚焦問題：從檢測分析到典型問題

本節為山東教育出版社義務教育教科書（五·四學制）數學九年級上冊期中學業水平檢測試卷講評課，經過對試卷的整體分析和學生的答題分析，發現本次檢測中突出的典型問題是試卷中的解答題第22題和填空題第15題，錯誤率高達 65% ，其共性問題是學生對“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”理解模糊，導致無法在復雜情境中建立數形聯系.

題目1 （試卷第22題）如圖1，一次函數 y=kx +b 與反比例函數 的圖象在第一象限相交于 A，B（3，2） 兩點，連接 _OA，OB ，過點 B 作BD⊥y 軸，垂足為 D ，交 OA 于點 c ，且 OA=2OC

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）求 ΔAOB 的面積.

圖1

題目2（試卷第15題）如圖2，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點 A 的坐標為（-1，1），點 B 在 x 軸正半軸上，點 D 在第三象限的雙曲線 上，過點 C 作 CE//x 軸，交雙曲線于點 E ，則線段 CE 的長度

圖2

關于以上兩個典型問題，學生出現的突出問題有四.一是在題目1的第（1）問中，求不出點 A 的坐標，也就無法確定一次函數的表達式，進而造成該題第（2）問中 ΔAOB 的面積無法求得；二是能求得題目1中點 A 的坐標，也能借此進而解決一次函數的表達式，但是，該題第（2）問中 ΔAOB 的面積不會求；三是學生感覺題目2比題目1還要難，根本找不到突破口；四是僅僅只是條件反射“肌肉記憶”式的記住了“刷題”中常用的解題技巧（如：化斜為直），而并沒有真正理解能這樣“解”的本質原因，也不清楚是如何想到的要這樣“解”.

學生之所以在題目1和題目2這兩個問題上出錯，究其根本原因還是對“位置”與“坐標”[］的本質關系沒有真正的理解，也就是對于“點（形）”與“坐標（數）”之間內在關系的意蘊沒有真正的品悟，“坐標”刻畫“點”的位置的這一核心概念的本質意義根本沒有弄明白，其實質就是“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”沒有真正意義上深刻領悟，只是“肌肉記憶”式的記住了“點的坐標表達了該點的位置”.但是，當遇到陌生而又復雜的真實情境時，反而不能讓“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”這一可遷移的極具生命力的種子生根發芽，更不能使其生長，進而開花結果.

因此，筆者認為針對本次檢測中暴露的“典型問題”，既要追本溯源深挖其內在的數學本質，更要基于數學本質和學生認知，遵循由淺人深的規律，構建拾階而上的自然生長過程.只有遵循數學知識的內在邏輯和學生認知的自然發展，教師才能通過“問題”啟發驅動學生，讓其自然經歷發現、提出、分析、解決的自然問題解決的過程，“過程”中就會自然生發孕育“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”[2]的數學“三會”核心素養.

2 教學實踐

2.1 追本“大概念”：從單點刻位置到三點求面積

2. 1. 1 基礎層：一點生“源”，溯本質

問題1 點 P 為平面內一點，請表示點 P 在該平面內的位置.

學生獨立思考后，通過建立平面直角坐標系_xOy ，進而借助坐標，用“數”刻畫表示了點 P 在該平面內的位置，如圖3所示.

圖3

圖4

課堂生成：如圖4，點 P 的位置可以看做點 P 是由原點 o 沿著 ∠α 的邊 oP 方向一次平移一定的距離而得到的，也就是點 P 相對于原點 o 的方向和距離（ ∠α 刻畫方向， OP 的長刻畫距離）確定了點 P 的位置.其實，點 P 一次平移的方向和距離由其兩次平移（兩次平移，就是點 P 由原點 o 的位置先向右平移了3個單位長度，再接著向上平移了4個單位長度）的方向和距離確定，即由該點橫、縱坐標的符號和絕對值確定. ∠α 的大小即可借助直角三角形中的邊角關系由 確定， oP 的長亦可由勾股定理求得，即 因此，點 P 的坐標（3，4）實質上就刻畫了點 P 相對于原點 o 的方向和距離.而從平面直角坐標系象限的角度，點 P（3，4） 橫、縱坐標的符號—“+， +^，，， ，刻畫的就是點 P 所在的象限，其絕對值—“|3」，|4I”刻畫的就是點 P 分別到 y 軸和 x 軸的距離.于是，方向與距離實為媒，位置與坐標巧聯姻，形數互譯盡顯意蘊，數形結合實現統一.

應勢而動，順勢而發.根據“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”這一內在本質，同學們歸納出：只有“與坐標軸平行或重合”的這樣“直”的線段，才能直接用坐標對其長度直接進行表達.于是，要用“坐標”求得“與坐標軸不平行”的這樣“斜”的線段的長度時，只有將“斜”的線段轉化為“直”的線段，才能再借助圖形或圖形關系由已求得的“直”的線段的長進而求得“斜”的線段的長，才能實現以“數”解“形”

因此，學生根據“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”這一內在本質，通過化“斜”為“直”，自然解決了題目1的第（1）問中點A的坐標，如圖5.

圖5

教學說明 通過對平面內一點的位置的刻畫，激發學生由淺入深，追本“大概念”要素刻畫位置，坐標刻畫要素，要素為媒位置坐標巧聯姻，數形結合相得益彰顯統一.進而應“點的坐標”而謀，順“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”而為，由本質想距離，由距離作垂線，由垂線得對象，由對象析關系，由關系出模型，用模型解問題，拾級而上，自然生長，自然達成問題解決.學生在親身經歷中品悟歸納了“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”這一本質內涵，于無聲處自然沁潤培養了學生透過現象看本質的理性思維能力.

2. 1.2 進階層：兩點聯“姻”，話距離

問題2 在同一平面直角坐標內又畫了一個點Q（-2，2） ，如圖6，請刻畫 P，Q 兩點的位置關系

圖6

學生知道點 P 相對于點 Q 的方向和距離（線段PQ 的長）即可刻畫 P，Q 兩點之間的位置關系．因此，依據“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”，分別過 P 和 Q 兩點向 x 軸和 y 軸作垂線構造直角三角形，實現化“斜”為“直”，進而在直角三角形中利用邊角關系和勾股定理確定點 P 相對于點 Q 的方向和距離，由此即可刻畫 P，Q 兩點之間的位置關系，如圖7.

圖7

教學說明 從“對一個點的位置的刻畫”，到“對兩個點之間距離的量化”，從化“斜”為“直”到以“直”解“斜”，從要以“數”解“形”到須用“形”助“數”，從回歸“通性”到獲得“通法”，由淺入深，層層遞進，拾級而上，自然生長，核心概念（平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義），一以貫之，數形相依，相得益彰.

2. 1. 3 綜合層：三點一“家”，求面積

問題3 在同一坐標系內又畫了點 G（5，--1） ，并連接了 PQ，QG，GP ，如圖8，則 ΔPQG 的大小又該如何刻畫？

圖8

學生用 ΔPQG 的面積刻畫 ΔPQG 的大小.學生獨立思考，“亂”中畫“龍”，一題多解，完成以下四種求△PQG面積的方法，如圖9.

圖9

生生互動，師生互動，“繁”中點“睛”，多解歸一.

教學說明 發散思維，一題多解，聚焦本質，多解歸一.由“點”到“線”，再由“線”到“面”，“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”將“多解”神聚而“歸一”，幾何意義潤物無聲，化斜為直風化于成.

2. 1. 4 突破層：水到“渠”成，清如許

從一點生“源”，溯本質；到兩點聯“姻”，話距離；再到三點一“家”，求面積.同學們在真實的經歷中自然深刻領悟了“位置與坐標”的本質內涵，自然有了題目1第（2）問的解決方法（主要有以下七種），如圖10，水到渠成清如許，化“斜”為“直”定乾坤

圖10

根據“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”，關于題目2中的問題，同學們也自然有了突破的方法.

圖11

如圖11，要求CE的長，必須用坐標，用坐標無非就是：若“直”就直接求，若“斜”則須先將“斜”化“直”進而求.經過分析，求得點 c 的坐標是關鍵，而要求點 C 的坐標就得要將正方形ABCD中“斜”的邊化“直”，順勢借助三角形之間的全等關系建立其對應要素之間的關系，進而獲得點的坐標之間的數量關系，最終由已知解決未知.

教學說明問渠那得清如許，為有源頭活水來.由淺入深，追本“大概念”，拾級而上，生長“大單元”，“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”就是大概念，是核心，是內涵，是本質，可遷移，能統攝，能一以貫之，乃源頭活水，“位置與坐標”就是大單元，是關系，是整體，是系統，可建構，能關聯，能自然生長，乃渠清如許.只要有了“源”的活水來，就會有“渠”的清如許，就能回歸本質想得出，就會化“斜”為“直”做得到，桃李不言，下自成蹊，水到渠成，自然而然.

2.2生長“大單元”：從抱樸為求真到歸本能致遠

教學中，隨著學生的認知自然發展的拾級而上和自然生長，整體建構生成了本節課的課堂板書，如圖12.課堂小結中，借助板書，統攝全局，抱樸求真，歸本致遠.

圖12

教學說明撥云見日終有時，守得云開見月明.課堂探索，亂中畫龍，但不離其宗 —抱樸求真；課堂小結，繁中點睛，已豁然開朗- 1 —統攝全局；課堂延伸，遷移應用，能持續發展一歸本致遠.課堂教學中，隨著課堂的自然推進，師生適時共同生成板書，學生認知隨之自然發展，課堂板書亦自然生成.此時，便如“會當凌絕頂，一覽眾山小”，思維在亂中畫“龍”，直觀呈現，本質在繁中點“晴”，躍然圖中.

3 教學思考

自《義務教育數學課程標準（2022年版）》正式頒布以來，“大概念”統攝下的整體性“大單元”教學已經成為新時代的重要課題，“大概念”統攝下的整體性“大單元”教學又該如何實現素養導向，更是新時代新課堂教學的挑戰.在試卷講評課中又該如何實施“大概念”統攝下的整體性“大單元”教學和如何實現“大概念”統攝下的整體性“大單元”教學的素養導向，筆者認為仍須做到章建躍博士提出的“三個理解”—理解數學、理解學生、理解教學[3].在本節試卷講評課教學的前、中、后，筆者始終深刻用心踐行“三個理解”，只有理解了數學，才會基于“好的問題”自然生發數學內部力量，只有理解了數學和學生，才會基于“數學本質”自然發展建構學生的認知，只有理解了數學、學生、教學，才會讓學生在自然而真實經歷數學知識的產生與發展的過程中，認識、理解和表達現實世界，學生的數學核心素養才會隨之自然孕育并發展.

3.1理解數學—回歸本質深挖數學大概念，整體建構生發數學大單元

透過現象把握本質，由淺入深追溯概念本源，回歸樸素而根本的數學思想，追求認知的深化與貫通.在本節試卷講評課中，突破了傳統“逐題講解”的局限，有機融匯中醫哲學的整體觀和系統思維，引導教學回歸學科本質，深人挖掘數學核心大概念；以一以貫之的邏輯主線，整體建構數學大單元，實現知識的結構化與遷移性.課堂設計遵循“生長”邏輯：從一點衍生“源”頭，追溯數學本質；至兩點相聯形成“關系”，探討數學對象間的本質聯系；再到三點共“體”，求解圖形大小問題；最終實現知識融會貫通、水到渠成，體現“渠清如許”的認知境界.教學過程由簡易出發，順應認知自然生長，逐步走向復雜；再從復雜中歸納通則，以核心思想應對萬變—“點的坐標的幾何意義”作為統整全局的核心主線，“化斜為直”作為基本思想方法貫穿始終，凸顯不變本質.在整個教學過程中，數學知識依托數學本質自然生成與生長，學生認知在數學本質的引導下自然建構與發展，數學核心素養則在本質化認知與主動思考中悄然孕育、深遠扎根.

3.2 理解學生—以真實經歷培育認知能力，通過問題解決發展“四能”

在課堂教學中，學生的角色可類比于《西游記》中的唐僧.如來佛祖如同教師，經書則代表知識.唐僧最終成佛的關鍵在于歷經九九八十一難的取經過程，而非僅僅獲得經書本身.因此，數學教學應遵循兩個基本原則：一是遵循數學知識的自然生長規律，二是遵循學生認知的自然建構規律.教師應引導學生在親身體驗數學知識自然生成的過程中，潛移默化地構建自身的認知體系.真實經歷旨在培養學生認知，問題解決則著力培養學生“四能”[4]，即發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，最終使學生學會思考并付諸實踐，

3.3理解教學— -以學為中心提升教學境界，遵循自然實現教學相長

對數學本質的深刻理解和對學生學習規律的準確把握，是真正理解教學的基礎.教師應基于數學本質教授認知方法，學生則基于數學本質建構認知.只有理解了數學本質，學生才懂得如何“思考”；只有基于數學本質的思考，學生才懂得如何“行動”.能思會做是問題解決的前提，而問題解決又是核心素養孕育的途徑.理解數學、理解學生與理解教學三者之間存在內在邏輯關聯：它們相輔相成，相互促進，共同成就.

數學作為載體，蘊含著育人的潛在力量；學生作為主體，是數學教育的核心對象；教學作為過程，是素養發展的肥田沃土.在本節試卷講評課中，始終遵循數學知識的自然生長規律和學生認知的自然建構規律，通過啟發引導，讓學生在問題解決過程中親身領悟“平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義”—這是坐標系中以“數”解“形”的核心靈魂（會想），并親身實踐“化斜為直”的方法—這是坐標系中解決圖形問題的基本策略（能做）.以學為中心展現了教學的高境界，遵循自然實現了教學相長.學生在親歷數學知識自然生成的同時，自然建構認知，認識、理解和表達現實世界的數學核心素養也隨之自然孕育和發展

由淺入深追溯“大概念”（如平面直角坐標系內點的坐標的幾何意義這一源頭活水），拾級而上生長“大單元”（如位置與坐標這一清晰知識體系）.本節試卷講評課致力于透過表象觸及本質，遵循自然規律建構認知，最終實現知識的融會貫通與素養的全面提升.

參考文獻

[1]馬復等.數學教師教學用書（五四學制）·七年級上冊[M].濟南：山東教育出版社，2024：114-142.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：5-7.

[3]章建躍.章建躍數學教育隨想錄：上卷［M].杭州：浙江教育出版社，2017：332.

[4]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022：11.

作者簡介李秀輝（1976—），男，山東樂陵人，中學高級教師，山東省初中數學特級教師工作坊淄博坊主持人，曲阜師范大學數學科學學院“師藝講堂”特聘導師；主要從事初中數學遵循自然生長的整體性大單元教學實踐研究.

劉曉楠（1987—），女，山東威海人，中學一級教師；淄博市優秀管理者，淄博市首屆教壇新秀，淄博市張店區名師、教學能手、教育教學先進個人、優秀教師；主要研究初中數學教學及學生管理.

齊金玲（1981—），女，山東淄博人，中學一級教師，淄博市骨干教師，張店區學科帶頭人，張店區教學能手；主要研究初中數學教學及學生管理.