再探有理數和無理數定義

有理數和無理數的概念不僅是數學理論的重要組成部分，也是學生數學思維發展的關鍵節點.隨著數系的擴充，學生對數的理解從自然數逐步擴展到有理數，再到無理數，這一過程與人類對數的認知歷程相呼應.然而，學生在學習過程中往往對有理數和無理數的定義理解存在困難，尤其是在兩者之間的一致性和系統性方面.已有研究表明，學生對“整數和分數”與“整數、有限小數和無限循環小數”的等價性，以及無理數既是“不能用整數和分數表示的數”又是“無限不循環小數”的理解常常存在障礙1].

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出了對有理數概念的教學要求，強調學生需要“經歷有理數、實數的形成過程，初步理解數域擴充”，并能夠“理解有理數的意義，會用數軸表示有理數”“了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成”.這些要求凸顯了有理數和無理數概念教學的重要性[2].本文通過比較各版本教科書對有理數和無理數的定義，結合國內外相關研究，探討如何優化有理數和無理數的定義和教學，以幫助學生更好地理解數的本質.

1各版本教科書對有理數和無理數定義的比較

鑒于五四制教科書在編寫時主要參考了相應出版社的六三制教科書，本文僅對六三學制教科書2013版和2024版中有理數和無理數的定義和引入方式，進行了比較分析，表1給出了2024版中這兩個概念的統計.

表12024版教科書中有理數和無理數定義統計

說明：表中“叫做”一詞是沿用了教材的表述，應該統一為“叫作”.

2給概念下定義的方法補充

華南師范大學的何小亞[3]5在《有理數定義爭論之我見》一文中，曾指出：給數學概念下定義的常用方法有內涵法、外延法、構造法和規定法.這些方法的梳理有助于我們從本質上認清概念給出的方式，除了這四種方法外，還有以下幾種常用的方法.

關系定義法.通過對象與其他概念之間的關系或交互來間接定義其本質的方法.比如：在歐幾里得空間中，兩個向量 u 和 u 稱為正交，當且僅當 u?ν= 0.再如：平面中當兩條直線的夾角為 90^° 時，稱這兩條直線互相垂直.相反數、倒數、角平分線、中點等概念都是采用的關系定義法.

語境限定法.通過限定概念的適用范圍或上下文來定義概念的方法.這種方法強調概念在特定語境中的含義，而不是給出一個普遍適用的定義，通常用于在不同語境中可能有不同含義的概念.例如：在初中數學中，函數被定義為“一個變量隨另一個變量變化的關系”；在高中數學中，函數被定義為“兩個集合之間的一種映射關系”；在編程中，函數被定義為“一段可重復使用的代碼塊”.

反向定義法.通過否定或排除的方式來間接定義概念的方法.適用于正向定義不易直接描述本質屬性，或正向定義時種類較多的情況.比如：平面內不相交的兩條直線叫作平行線.

當然還有生成性定義法、公理化定義法、遞歸定義法和等價性定義法等其他的定義方法，感興趣的讀者可以自行查閱資料.

3 各版本教科書中有理數、無理數概念的深度剖析

3.1 關于有理數

綜合分析各版本教科書來看，對有理數的定義給出形式主要有四種：一是，能夠寫成分數 是整數， n≠0 ）的數叫作有理數；二是，整數和分數統稱有理數；三是，正有理數、負有理數、零統稱為有理數；四是，可以寫成分數形式的數稱為有理數

第一種和第四種屬于內涵法下定義.第一種是不嚴謹的，整數不是分數，整數只能寫成類似于分數形式的數，但不能寫成分數，這種定義不僅不能正確表述有理數的特征，還有混淆分數概念的嫌疑.第四種方法也是不嚴謹的，何小亞已經給出了詳細的闡述，這里就不再贅述

第二種和第三種都屬于外延法下定義.這兩種方法是四種方法中相對嚴謹的，就是否接近有理數的本質屬性來看，第二種方法要優于第三種方法，而且給出的有理數的概念更加簡潔明了.不可否認的是：外延法的定義缺少對概念的本質屬性的揭示.對概念的“下轄”種類的劃分標準不同，就會產生不同的種，也就會導致同一概念的不同定義方式.比如：有理數的概念還可以描述為“整數、有限小數和無限循環小數統稱為有理數”.

在有理數概念的引入方式上，各版本之間差別較大.部分版本的教科書采用了圖1所示的教學活動，簡明地給出了有理數的概念，但缺少有理數概念本質屬性的設計.少數版本的教科書采用了圖2所示的教學活動，這種設計能方便學生理解其本質，過程相對復雜.還有少數版本直接給出其概念，或通過“例題 + 總結”的形式給出概念，雖然形式上簡化了，卻有教知識的“嫌疑”，忽視了數的擴充過程，學生會產生“小數到哪里去了”“為什么要這樣做”的疑問.

3.2 關于無理數

各版本教科書中，主要采用了兩種定義方法.一是，不嚴謹的舉例定義法：像 等，這些數都是無理數.二是，采用了Milleramp;Thrall（1950）的“小數定義”法：無限不循環小數稱為無理數.毋庸置疑，第一種定義是最不嚴謹的，沒有將無理數的本質屬性介紹清楚，概念的內涵和外延都沒有說明， 是不是無理數？ 是不是無理數？根據此定義是無法判斷的

小數定義法是嚴謹的，然而把無理數的這一定義和前面有理數的四種定義相比較時，就會發現有些版本中對有理數和無理數的定義方式是不一致的，區分的標準是不統一的.有理數和無理數如同正數和負數一樣，是兩個對立統一的概念.比0大的數叫正數，比0小的數叫負數.用同一個標準“與0比較”刻畫正、負數的本質，清晰明了直觀.從這一角度思考，如果我們認可“無限不循環小數是無理數”的定義方式，那么“整數、有限小數和無限循環小數統稱為有理數”則更加符合有理數和無理數概念的對立與統一.

在無理數概念的引入方式上，多數版本的教科書采用了“說明 是無限小數 $$ 舉例 $$ 給出概念”的流程，通過對比無限不循環小數和“整數 + 分數”，發現無限不循環小數是一類新的數，能比較自然地給出無理數定義，但缺點是有理數和無理數的定義對比不明顯.少數版本的教科書采用“探究 不是整數、不是分數 $$ 說明 是無限不循環小數 $$ 舉例 $$ 給出概念”的流程，突出了無理數與有理數概念的對比，但學生也會產生“有理數和小數之間是什么關系”的疑問，

4國內對有理數和無理數概念改進研究

何小亞[3]7老師建議教科書把有理數的定義改為：兩個整數比的數叫作有理數.并說明：按照約簡后分母是否為1的標準，有理數被分成整數和分數.筆者思考，這一定義還是不夠精準.從漢語言的邏輯來看，該定義是在“屬”的基礎上，再加“種差”.什么樣的數呢？答曰：兩個整數比的.這難免令人費解，兩個整數比就是個比，怎么會成了一個數呢？

南京李寒月[4］老師建議：將有限小數和無限循環小數統稱為有理數.這一定義建立在把整數看成小數位是0的數的基礎上.并通過論證“所有的整數和分數都可以化成有限小數或無限循環小數”“所有的有限小數和無限循環小數都可以化成整數或分數”兩個相反的方面，說明了這一定義的充分必要性.

浙江詹金芳[5]老師建議：將循環小數（有限小數或無限循環小數）稱為有理數.這一定義需要先對整數和分數統一成“分數”（整數比的形式），然后通過將“分數”化成小數，再將有限小數和無限循環小數統一成“循環小數”.這一定義能夠和無理數的定義（無限不循環小數）形成鮮明的對比.缺點是學生需要經歷將“整數和分數統一為分數一—整數視為有限小數——將有限小數視為循環小數”這一復雜的過程.

5 國外對有理數和無理數概念研究

5.1 有理數的定義

在國外教科書中，有理數的定義也是紛繁雜亂，比較有代表性的有以下兩種：

分數定義法.可以表示為兩個整數比的數，即形如 （其中 α_a 和 b 是整數，且 b≠0 ）的數.例如，美國教科書《Prentice Hall Mathematics：Course 3》中明確指出：“A rational number is any number that canbe expressed as a ratio of two integers，where thedenominatorisnotzero.”這種定義方法的優點是直接揭示了有理數的本質屬性，即“可表示為 ”，但需要學生對分數的概念有清晰地理解，避免與分數的運算混淆.

小數定義法，可以表示為有限小數或無限循環小數的數.例如，英國教科書《GCSEMathematics》中提到：“Rational numbers are numbers that can bewritten as terminating or repeating decimals.”同時，還在閱讀材料中給出了另外一種定義：“可表示為兩個整數比的數.”采用兩種定義方式，既便于學生通過小數形式理解有理數，也方便學生從“可比”角度理解有理數.

5.2 無理數的定義

華東師范大學栗小妮[6]87-89曾研究了美國早期教科書（1820—1969年出版）中的無理數概念，并總結梳理了無理數的八種定義方法.其中以下三種方法是國外現行教科書中采用率較高的，

反向定義法.不能表示為兩個整數比的數.例如，美國教科書《PrenticeHall Mathematics：Course3》中明確指出：“An irrational numberisa numberthat cannot be expressed as a ratio of two integers.”這種定義與有理數定義形成鮮明對比.

小數定義法.無限不循環小數.例如，澳大利亞教科書《CambridgeMathematics》中 提 到：“Irrational numbers are numbers that cannot beexpressed as terminating or repeating decimals.\"直觀易懂，便于學生通過小數形式理解無理數.在英國教科書《GCSEMathematics》中，除了給出這種定義外還給出了“無理數是不能表示為兩個整數比的數”的定義.

幾何定義法.不能通過尺規作圖精確表示的數，或某些幾何長度（如正方形的對角線）對應的數.在英國某些版本的《GCSEMathematics》中，無理數通過幾何意義引人，例如：“Irrationalnumbersarenumbers that represent lengths which cannot bemeasured exactlyusingrationalnumbers.\"（無理數是表示無法用有理數精確測量的長度的數）

6 結論與啟示

6.1 國內外教科書的對比

國內教科書給出的有理數和無理數的定義通常簡潔明了，便于學生快速掌握有理數和無理數的基本概念.但有理數和無理數的定義缺乏一致性和系統性.無理數定義采用的是小數定義法，而有理數的定義多是采用的外延法定義，采用內涵法給出的有理數定義還缺乏嚴謹性，這導致了兩者定義標準的不統一.前面提到的國外部分教科書在有理數和無理數的定義方式上強調了其對立統一的關系，這對初學有理數的學生可能會遇到一些困難，但在學習無理數之后有利于學生知識的建構，也有利于學生更深刻地理解兩者的本質區別，避免簡單記憶，從而促進數學思維的發展.

6.2 教科書編寫優化建議

在編寫有理數和無理數概念時，教科書宜采用嚴謹且標準一致的定義，突出兩者的對立統一關系；充分借鑒國外經驗，采用更加靈活的定義方法，如反向定義法，以增強定義的直觀性和嚴謹性；借鑒“角”“圓”等概念的多角度定義方式，從分數、小數、幾何等多個角度定義有理數和無理數，幫助學生全面理解其本質.針對定義的一致性和系統性，筆者建議采用以下幾種方案（表2）.

表2有理數和無理數一致性和系統性定義方案表

需要指出的是：隨著數系擴充到復數范圍內時，表中 ①③ 兩種定義不如 ② 嚴謹，但能夠直觀體現有理數和無理數的辯證統一關系.栗小妮[6]90 曾指出：知識并非“速食品”，缺乏整體性理解的知識遲早會隨著時間的流逝而消失.非結構化地、單一獨立地提出規范嚴謹概念，只能促使學生機械性記憶，不能幫助學生理解.這如同：小學中學習軸對稱、平移和旋轉時，只是從直觀上理解，并沒有給出嚴格的定義，而到初中則不僅給出了嚴格的定義，還要基于概念解決問題

6.3 課堂教學改進建議

教師在教學過程中應注重有理數和無理數定義的一致性和系統性，幫助學生理解兩者之間的內在聯系.豐富教學資源，通過引人數學文化（如數的發展史、第一次數學危機等）幫助學生更好地認識有理數和無理數；重視直觀教學，通過舉例0.5（即 ，0.75（即 ，0.3（即 幫助學生理解有理數特征，通過舉例 幫助學生理解無理數的特征；設計多元的定義方法（如幾何定義、反向定義），以促進學生對有理數和無理數的深入理解.比如在教學有理數時，可以設計以下問題，引導學生進行深入思考.

問題1：我們從小學到現在都學習了哪些數？舉例說明.

自然數：0，1，2，… 分數： 小數：5.32，0.3，… 百分數： 3%，5.99%， ：正數： +70，+4，… 負數： 問題2：你能把它們統一化成一種形式嗎？

預設學生會出現兩種結果：一種是形如“ ’的形式，另一種是“有限小數或無限循環小數”.此時教師嚴格地給出有理數的兩種定義：第一定義，可以表示為兩個整數比的數，即形如 （其中 a 和 b 是整數，且 b≠0 ）的數;第二定義，有限小數（整數視為有限小數）和無限循環小數統稱為有理數

以上設計不同于目前教科書中的“分類”思想，而是采取了“聚合”思維，學生將學過的數聚合規整為一種表達形式，需要在已有知識上進行再加工、再創造，而不是簡單地分類，有利于培養學生的創新意識.在教學無理數時，則順承有理數的兩種定義給出對應形式的概念，也有利于學生系統化的建構知識

通過以上優化改進，相信能夠有效提升學生對有理數和無理數概念的理解，為其后續學習數學奠定堅實基礎.本文所言僅是一己之見，懇請各位讀者斧正.

參考文獻

[1]ZAZKIS R，SIROTICN. Making sense of irrational numbers ：focusingon representation[M]//HOINES MJ，FUGLES-TADAB.Proceedings of the 28th international conference forpsychology of mathematics education. Norway：Bergen，2004：497-504.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：4.

[3]何小亞.小學數學教育中的問題與對策[J].教育研究與評論（中學教育教學），2024（11）：4-7.

[4]李寒月.對有理數和無理數定義的教學思考[J].教育研究與評論（中學教育教學），2023（6）：76-79.

[5]詹金芳.從“ 是不是分數”看實數的教學［J].中小學數學（初中版），2009（Z2）：3-4.

[6]栗小妮，汪曉勤.美國早期代數教科書中的無理數概念[J].數學教育學報，2017，26（4）：86-91.

作者簡介梁全聲（1977一），男，山東濰坊人，中學高級教師，山東省教學能手，齊魯名師.全國義務教育初中數學教材（青島版）核心作者；研究方向為教材教法.

傅海倫（1970一），男，山東菏澤人，教授，博士生導師；研究方向為數學教育、數學史.