從結(jié)果認(rèn)知到過程理解的概念教學(xué)設(shè)計

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱\"2022年版課標(biāo)\"）明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視“過程性體驗”，倡導(dǎo)通過“做中學(xué)\"的方式引導(dǎo)學(xué)生從具體操作中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識體系。平均分作為小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)\"領(lǐng)域的一個重要概念，是學(xué)生從表內(nèi)乘法向表內(nèi)除法過渡的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。理解平均分的本質(zhì)將直接關(guān)系到后續(xù)除法運算的學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。然而，在以往的教學(xué)中，學(xué)生往往只關(guān)注“分得同樣多\"的靜態(tài)結(jié)果，而忽略了實現(xiàn)公平分配的動態(tài)過程，這導(dǎo)致他們對概念本質(zhì)理解不足。基于此，本文以人教版新教材二年級上冊“1～6的表內(nèi)除法\"單元中“平均分”例2的教學(xué)為例，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，設(shè)計了強調(diào)動態(tài)分配的活動，并運用操作、圖式、語言、符號等多元表征方式，構(gòu)建從情境感知到理性抽象的多維路徑，旨在促進學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，深化學(xué)生對平均分的理解，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進階發(fā)展。

傳統(tǒng)人教版教材將平均分作為除法的基礎(chǔ)，通過\"1個1個地分\"\"2個2個地分\"等方法來理解平均分，強調(diào)分法的多樣性，這種編排方式更側(cè)重于分的方法。而人教版新教材則將其視為數(shù)學(xué)思維發(fā)展的載體，重視過程理解和概念構(gòu)建，更注重分的過程。新教材設(shè)計了將18個橘子平均分到6個盤子里的問題情境，展現(xiàn)了平均分橘子的過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察每份數(shù)量相同的特征，要求學(xué)生從關(guān)注分的結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注分的過程（如圖1）。這種從“分得同樣多\"的結(jié)果導(dǎo)向，進階到“如何在分的過程中實現(xiàn)公平分配\"的思維轉(zhuǎn)變，使數(shù)學(xué)知識從運算工具升華為思維發(fā)展媒介。

一、教材分析

圖1

二、學(xué)情分析

（一）測試對象及測試題目

為了了解學(xué)生對平均分的先前經(jīng)驗，選取由兩個不同教師授課的二年級教學(xué)班，共計84名學(xué)生作為研究對象。所有學(xué)生均未學(xué)習(xí)過“平均分\"的相關(guān)內(nèi)容。研究旨在探究學(xué)生是否能夠像新教材所強調(diào)的那樣，不僅關(guān)注分配結(jié)果，還關(guān)注分配過程。同時考查學(xué)生是否能夠通過畫圖或文字描述等方式展現(xiàn)其分配過程。為此，設(shè)計了如下測試題目：把12個橘子平均分到3個盤子里，你會怎么分？請把你的分法表示出來（可以圈一圈、連一連、寫一寫或畫一畫），答題時間限定為5分鐘。

（二）測試結(jié)果分析

通過對所有學(xué)生測試問卷的分析，整理得出不同水平層次學(xué)生的具體表現(xiàn)及相應(yīng)占比（如表1）。

表1

調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生在解決“把12個橘子平均分到3個盤子里\"的問題時，其表現(xiàn)存在一定差異。約 76.19% 的學(xué)生能夠通過4個4個圈起來的操作方法，或利用乘法口訣“三四十二\"得出每個盤子分到4個橘子的結(jié)論。然而，這些學(xué)生在解題過程中雖能獲得正確答案，卻普遍無法闡明“平均分\"的含義及其數(shù)學(xué)本質(zhì)，僅停留在分得的具體結(jié)果層面。進一步觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，另有小部分學(xué)生處于更低的理解層次，回答完全偏離問題或僅重復(fù)數(shù)字，盡管其中有學(xué)生能機械地運用畫圖或列算式得出結(jié)果，但同樣無法解釋\"平均分\"的含義。僅約 14.29% 的學(xué)生能夠基于乘法的意義解釋分配過程，并通過多種表征方式說明其合理性，體現(xiàn)了對概念的理解。鑒于大部分學(xué)生止步于關(guān)注結(jié)果而未能深入理解過程與原理，筆者在分析中思考：是否存在一種更貼近學(xué)生真實思維過程的教學(xué)情境，能夠引導(dǎo)他們親身體驗平均分的動態(tài)操作過程，從而深刻地感受并把握平均分的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而非僅獲取靜態(tài)的分配結(jié)果？

三、基于過程理解的教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

基于上述教學(xué)內(nèi)容分析和學(xué)情調(diào)查，確立以下教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過動手分物品的活動，體會等分的過程，進一步鞏固平均分的概念，加深對平均分的理解。（2）創(chuàng)設(shè)真實情境，通過平均分的多元表征，重視平均分的表達(dá)，體會平均分的過程。（3）通過操作活動，形成仔細(xì)觀察和獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)與日常生活之間的聯(lián)系。

（二）教學(xué)活動設(shè)計

1.從情境體驗到理性表達(dá)的循序提升

皮亞杰提出“心理、智力、思維起源于主體的動作”。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在不斷觀察、操作、體驗與反思的過程中積累，并逐步過渡到理性表達(dá)，最終促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

【教學(xué)片段1平均分概念的體驗與表達(dá)

（教師出示12個橘子）

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平均分，現(xiàn)在請你們把12個橘子平均分到3個盤子里，你們準(zhǔn)備怎么分？

生：每個盤子放4個橘子。

生：1個1個分，分4次，每個盤子分到4個橘子。

生：2個2個分，分2次，每個盤子分到4個橘子。

生：我先3個3個分，再1個1個分，每個盤子也分到4個橘子。

小結(jié)：不管我們怎么分，每份分得同樣多，這樣就叫作平均分。

在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷分物的操作過程，借助實物操作幫助他們回顧平均分的含義，從而積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

2.從結(jié)果認(rèn)知到過程理解的雙向建構(gòu)

掌握與運用數(shù)學(xué)概念不僅是對結(jié)果的認(rèn)知，還應(yīng)體現(xiàn)在對過程的理解上。學(xué)生只有在實踐操作的過程中，才能更好地把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯和結(jié)構(gòu)，從而在面對新的數(shù)學(xué)問題時，能夠靈活運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進行有效地分析和解決。因此，在本環(huán)節(jié)中，需要通過動手操作及多元表征，幫助學(xué)生深人感受平均分的等分過程。

【教學(xué)片段2】從平均分的結(jié)果思考平均分的過程

（教師出示一袋未知數(shù)量的橘子和6個盤子）

（1）創(chuàng)設(shè)情境：這里有一袋橘子，請你們把這些橘子平均分到6個盤子里，你們準(zhǔn)備怎么分？

學(xué)生表示從袋子里先拿出6個橘子，每個盤子里放1個。

（2）追問：“為什么每次拿6個？”

（3）操作演示：每次拿6個，一個盤子放1個橘子，共拿3次。

小結(jié)：每次拿出6個橘子，每個盤子放1個，一共拿了3次，所以每個盤子分到3個橘子。

對小學(xué)生而言，將小數(shù)目的實物進行平均分，他們一眼就能看出平均分的結(jié)果，從而忽視了平均分的過程。教師通過創(chuàng)設(shè)未知數(shù)量的實物情境要求平均分，區(qū)別于傳統(tǒng)教學(xué)中“分得同樣多\"的靜態(tài)結(jié)果。在分未知數(shù)量的橘子時，學(xué)生必須采用“每次拿6個\"的方法，這促使學(xué)生從結(jié)果回溯分的過程，這種認(rèn)知轉(zhuǎn)向突破靜態(tài)結(jié)果觀，建立“分配過程決定分配結(jié)果”的動態(tài)認(rèn)知模型，從而使學(xué)生感知等分的本質(zhì)。

【教學(xué)片段3】平均分過程的圖式表征（教師出示圖片：18個橘子，平均分成6份）

（1）請你們用畫圖的方式將剛剛分橘子的過程表示出來。

（2）交流反饋。

畫法1：

畫法2：

（3）教師提問：“哪種畫法更能表示分橘子的過程？”

（4）小結(jié)：原來用畫圖的方法，也能夠表示出分橘子的過程。

圖式表征屬于靜態(tài)的表征方式，亦是學(xué)生在動作表征后對平均分過程的抽象和優(yōu)化。本活動在學(xué)生經(jīng)歷“把未知個數(shù)的橘子平均分成6份\"的動作表征后，讓學(xué)生用連一連、圈一圈的方式記錄等分的過程，使得等分的過程變得具體和可視，更能凸顯數(shù)量關(guān)系，進一步加深學(xué)生對等分概念的理解和掌握。通過這種方式，學(xué)生不僅學(xué)會了如何將物品平均分配，還能夠通過圖式表征來理解等分背后的數(shù)學(xué)原理，從而在脫離真實情境后，依然能夠靈活表示等分的過程。

【教學(xué)片段4】平均分過程的語言表征

（借助分橘子的圖式表征，引導(dǎo)學(xué)生用語言表達(dá)）

教師引導(dǎo)：“通過剛才的操作和畫圖，請你們試著將分橘子的過程用一句話概括一下，并和同桌說一說。”

第一種：有6個盤子，每次拿6個橘子，每個盤子分1個，一共分了3次，所以每個盤子分到3個橘子。

第二種：每次拿6個橘子，每個盤子分1個，分了3次，每個盤子分到3個橘子。

本活動中，教師借助操作和畫圖，引導(dǎo)學(xué)生用簡潔的語句概括平均分的過程，從而實現(xiàn)由具體操作向抽象理解的轉(zhuǎn)變。從情境到畫圖，再到文字概述，這是數(shù)學(xué)化過程。其用畫圖的方式增強了抽象性，用語言概述增強了概括性。當(dāng)學(xué)生能夠以語言形式準(zhǔn)確表述時，表明他們已經(jīng)實現(xiàn)了知識的內(nèi)化，從而呈現(xiàn)了理解與概括的思維活動過程。

【教學(xué)片段5】平均分過程的符號表征

（1）教師提問：“你們能用算式表示剛剛分橘子的過程嗎？”（讓學(xué)生列式計算）（2）交流反饋。生： 6+6+6=18 。生： 3×6=18 。生： 18-6-6-6=0 。

（3）小結(jié)：把18個橘子平均分到6個盤子里，我們既可以用加法表示，也可以用減法表示，還可以用乘法表示，都表示了平均分的過程。

符號表征是認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵因素。2022年版課標(biāo)提出，符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。在平均分橘子的操作中，學(xué)生在掌握具體分配方法的基礎(chǔ)上，通過應(yīng)用不同的運算表征同一過程，能更直觀地理解除法是乘法的逆運算。

3.從具體操作到抽象演繹的有機融合

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，還要求他們在具體操作和抽象演繹相結(jié)合的過程中，探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，以達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的深人理解和靈活應(yīng)用。

【教學(xué)片段6整體建構(gòu)，強化理解

（1）基礎(chǔ)練習(xí)：用小棒代替香蕉分一分。

① 平均分給2只小猴，每只小猴分到根。

② 平均分給3只小猴，每只小猴分到根。

③ 平均分給6只小猴，每只小猴分到根。

（2）拓展練習(xí)：圈一圈，說一說。

①14 根玉米，每2根裝一袋，可以裝袋。

② 如果是18根玉米，每2根裝一袋，可以裝袋。

對二年級學(xué)生而言，區(qū)分平均分的兩種不同情況一一等分和包含分比較困難。新教材通過畫圖的方式，弱化了兩種情況的區(qū)別，幫助學(xué)生在多樣性中發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一性：不論過程有什么不同，最終都是把一個數(shù)分成了幾個幾，因此都屬于平均分。

綜上所述，本文以“平均分”例2的教學(xué)為例，通過分析新舊教材編排的變化、學(xué)情特點以及教學(xué)實踐，揭示了從“結(jié)果認(rèn)知\"到“過程理解\"的轉(zhuǎn)變。整個教學(xué)過程，教師借助“動手操作一圖式表征一語言表征一符號表征\"的多元表征方式，有效地幫助學(xué)生完成了從具體操作到抽象演繹的進階，從而使學(xué)生深刻理解平均分的本質(zhì)，最終實現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

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（浙江省金華市雙溪實驗學(xué)校）