“美”與“理”的交相輝映

【課例名片】

適用年級：小學(xué)五年級。內(nèi)容領(lǐng)域：圖形與幾何。建議課時：1課時。學(xué)科知識：認(rèn)識正多面體。美育元素：正多面體的幾何結(jié)構(gòu)之美；數(shù)學(xué)的邏輯之美、推理之美，公式的簡潔之美；正多面體在實際應(yīng)用中的文化價值之美。

【課例背景】

正多面體作為立體幾何的經(jīng)典主題，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化之美。從古希臘數(shù)學(xué)家對正多面體的研究，到歐拉公式與正多面體的聯(lián)系，均展現(xiàn)了其獨特的文化魅力；同時，正多面體的高度對稱性和規(guī)整性，彰顯了數(shù)學(xué)圖形結(jié)構(gòu)之美。這種美不僅是視覺上的享受，更是數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)，能夠引導(dǎo)學(xué)生在感知中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，感受數(shù)學(xué)的邏輯推理之美、公式的簡潔之美，進(jìn)而激發(fā)對幾何知識的探索欲望。

將美育融入數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠打破傳統(tǒng)知識傳授的單一模式，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤在美的氛圍中，不僅有助于學(xué)生習(xí)得知識，更能滋養(yǎng)心靈、激發(fā)興趣，這是其獨特的價值所在。美麗的正多面體作為融合教學(xué)的載體，承載著明確的教學(xué)目標(biāo)：在核心素養(yǎng)提升上，通過探究活動強(qiáng)化學(xué)生的空間觀念，鍛煉邏輯思維，助其形成關(guān)鍵能力與必備品格；在認(rèn)知發(fā)展上，憑借其幾何美學(xué)形態(tài)，搭建從直觀感知到抽象思維的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生從欣賞外在美到深入理解內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律，實現(xiàn)認(rèn)知跨越；在審美認(rèn)知和能力提升上，學(xué)生通過觀察與制作，學(xué)會以審美眼光審視事物、理解內(nèi)涵，將審美感知轉(zhuǎn)化為創(chuàng)造美的能力，推動審美素養(yǎng)與知識學(xué)習(xí)能力的協(xié)同發(fā)展。

本課例是基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的相關(guān)內(nèi)容要求（認(rèn)識長方體和正方體，能描述這些圖形的特征，能辨認(rèn)這些圖形的展開圖，會計算這些圖形的體積和表面積；能運用相應(yīng)公式解決簡單的實際問題，形成空間觀念和初步的應(yīng)用意識），對北師大版教材五年級下冊第二單元“長方體（一）”的內(nèi)容進(jìn)行的二度創(chuàng)造和設(shè)計。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

（1）通過自主動手拼接正多面體模型，直觀認(rèn)識五種正多面體的頂點、棱、面的特征，在操作中感受正多面體的幾何結(jié)構(gòu)之美。（2）經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗證、歸納等過程，自主探究歐拉公式，感受數(shù)學(xué)的邏輯之美、推理之美，公式的簡潔之美。（3）了解柏拉圖、歐拉在正多面體領(lǐng)域的成就，欣賞正多面體在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化認(rèn)同感，感受正多面體實際應(yīng)用的文化價值之美。

【教學(xué)設(shè)計】

本課從生活中抽象出平面圖形，認(rèn)識正多邊形。以正方形拼接正方體為例，首先，回顧正方體的特點，介紹正六面體的概念，初步感知正多面體的特征。其次，通過其他正多邊形組成的圖形，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作等過程，認(rèn)識正多面體，感受其美與應(yīng)用。最后，將正多面體展開，由立體圖形回歸平面圖形設(shè)置懸念。教學(xué)遵循從具象到抽象的認(rèn)知規(guī)律，通過動手操作，達(dá)成認(rèn)識正多面體、感知其美的目標(biāo)。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一：生活萬象藏形韻——從實物中剝離平面之美

師：在我們熟悉的校園場景里，你們能找到哪些平面圖形？

生：（爭先恐后地回答）正方形、圓、長方形、正六邊形、三角形、梯形、五邊形…

師：你們真棒，都會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界了。

（教師出示圖1）

圖1

（在師生共同探討歸納正多邊形特點后，教師引人課題）

環(huán)節(jié)二：平面拼圖筑空間一由二維圖形綻 放立體之姿

（由學(xué)生熟悉的正方形拼成正方體，回顧正方體的特點，引導(dǎo)學(xué)生觀察每個頂點所連接的面數(shù)，給出正六面體定義）

（教師出示圖2）

師：（出示1個三角形）這是1個正三角形，（出示4個正三角形組成的圖形）這又是什么？

（師生互動，找到4個平面圖形都是由相同的正多邊形組成）

師：觀察，這4個圖形，它們都是由相同的正多邊形組成。它們會不會也是某個立體圖形的展開圖呢？（停頓3～4秒鐘）不妨，你們試著拼一拼，驗證一下。

（全班學(xué)生動手操作，教師巡視）

師：拼出來了嗎？

生：（得意地）拼出來了！

師：舉起來，給大家看一看！沒拼完的，同伴幫幫忙。繼續(xù)巡視）都拼好了嗎？把你的作品舉高，我們一起欣賞。你們的動手能力真強(qiáng)！看來，它們的確是立體圖形的展開圖。拼出來的立體圖形該叫什么呢？

（學(xué)生小組討論交流、命名）

師：分享一下，你們起了什么名字？

生：第一個，我們組命名為正四面體。

師：你們是怎么想的？

生：它有4個面，每個面都是正三角形。

師：很好，每個面都是相同的正三角形，那每個頂點都連接幾個面？

生：3個。

（學(xué)生依次將剩余3個正多面體進(jìn)行命名）

師：在命名時，你們并非隨意而為，而是有一定的依據(jù)，因此你們的命名就是它們正確的名字。

師：這些立體圖形，統(tǒng)稱為正多面體，就是我們今天要研究的內(nèi)容。

師：你們剛才拼出了正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，誰來大膽地猜一猜，還會有哪些正多面體？

生：我覺得還有正六十四面體。

生：正三十二面體，還有正八十面體。

生：正五十六面體。

師：（搖頭）很遺憾地告訴大家，你們都猜錯了，實際上只有前面討論過的5種，（停頓幾秒）這是為什么呢？讓我們一起來探究。

（教師現(xiàn)場演示）

師：以正三角形為例，2個正三角形無法構(gòu)成一個角，3個可以，4個可以，5個可以，但6個就坍塌成平面。同理，2個正方形不能構(gòu)成一個角，3個可以，4個則形成平面。正五邊形，3個可以，4個就會有重疊；正六邊形，3個就已經(jīng)是一個平面。所以正六邊形以上的正多邊形不能拼成正多面體，如圖3所示。

圖3

師：正多面體又稱為柏拉圖多面體。柏拉圖是一位著名的數(shù)學(xué)家，讓我們邀請柏拉圖“本人”，來為大家講講其中的原因。

（借助電腦動畫敘述正多面體被稱為柏拉圖多面體的原因，并講述正多面體的發(fā)現(xiàn)歷史）

師：剛才我們一起認(rèn)識了正多面體，實際上，它們早已融入我們的生活中。那么，你們在日常生活中見過哪些正多面體的應(yīng)用呢？

生：我們的玩具魔方就是正多面體！

（師生共同了解正多面體在生活中的應(yīng)用）

環(huán)節(jié)三：正多面體探奧秘一一從規(guī)律探尋到文化延伸

師：正多面體帶給我們美的享受，它們不僅美觀，還具有獨特的魅力。接下來，讓我們開啟探索正多面體的神奇之旅。還記得剛才的正六面體嗎？我們研究了它的面、頂點和棱。現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)這些正多面體的面、頂點和棱。它們的面數(shù)，還需要數(shù)嗎？

（教師出示統(tǒng)計表格）

生：不需要。正多少面體，就有多少個面。

師：確實如此，名稱中已經(jīng)包含了這一信息。那么，頂點數(shù)和棱數(shù)是多少呢？請以小組為單位進(jìn)行統(tǒng)計，并記錄到表格中。

（學(xué)生小組活動，教師巡視指導(dǎo)）

師：同學(xué)們，我剛才觀察了兩個小組，發(fā)現(xiàn)正四面體的統(tǒng)計速度很快，而正十二面體和正二十面體的統(tǒng)計速度較慢，且結(jié)果不統(tǒng)一。相信其他小組也遇到了類似的問題。有什么好方法與大家分享一下？

生：數(shù)一個，標(biāo)記一個。

師：非常好，標(biāo)記過的就表示已經(jīng)數(shù)過。那么，就用這個方法再次進(jìn)行統(tǒng)計。（教師繼續(xù)巡視指導(dǎo)）師：請同學(xué)們整理好圖形，分享一下你們組的統(tǒng)計結(jié)果。（學(xué)生匯報，教師根據(jù)學(xué)生的匯報，呈現(xiàn)統(tǒng)計結(jié)果，如表1所示）

表1

師：你們小組的統(tǒng)計非常準(zhǔn)確。觀察表格，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？先在小組內(nèi)進(jìn)行交流。

（學(xué)生在小組內(nèi)交流）

師：誰愿意分享你們的發(fā)現(xiàn)？

生：我們小組發(fā)現(xiàn)正多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)都是偶數(shù)。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)正多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之和，比棱數(shù)多2。

師：是這樣嗎？大家快速驗證一下。

（給學(xué)生驗證時間）

生：太神奇了，確實如他們所說！

師：確實如此，面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加2。這就是著名的歐拉定理。面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之間存在這樣的數(shù)量關(guān)系，正多面體真是奇妙無窮！但它們的奇妙之處遠(yuǎn)不止于此，還有更多令人驚嘆的特性，仔細(xì)觀察。

生：我發(fā)現(xiàn)正六面體和正八面體它們的棱數(shù)相同。

師：說得很好，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（停頓幾秒，指向正六面體、正八面體）

生：我有新發(fā)現(xiàn)，正六面體和正八面體面數(shù)和頂點數(shù)互相交換。

生：正十二面體和正二十面體也是這樣，棱數(shù)相同，面數(shù)與頂點數(shù)互換。

師：它們之間的這種關(guān)系，就是對偶關(guān)系。那么，什么是正多面體之間的對偶關(guān)系呢？我們可以把它想象成一種非常奇妙的好朋友關(guān)系。

師：如正六面體，它有6個面，找到每個面的中心點，連接這6個點，會得到什么圖形呢？

生：是正八面體。

師：如果連接正八面體每個面的中心點，又會得到什么圖形呢？

生：是正六面體。

（教師出示圖4）

圖4

師：它們居然能夠互相得到，你中有我，我中有你，就像一對好朋友。這就是對偶關(guān)系，這難道不令人驚嘆嗎？

師：同樣的道理，正十二面體和正二十面體也是這樣的好朋友關(guān)系。那么，正四面體的好朋友是誰？

生：（興奮地）是它自身。

師：確實如此，正四面體與自身形成對偶關(guān)系。

師：今天，我們一起經(jīng)歷了從平面展開圖到立體圖形的探索過程。如果將手中的正多面體展開，會得到多少種不同的展開圖呢？這個問題，作為今天的課后作業(yè)，請大家繼續(xù)探索這些美妙的正多面體。

【課例點評】

數(shù)學(xué)之美，蘊含于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇c和諧的結(jié)構(gòu)之中。正多面體作為立體幾何的經(jīng)典模型，不僅是空間觀念的載體，更蘊含著對稱之韻、平衡之趣和邏輯之妙。在教學(xué)實踐中，如何突破單一維度的知識傳授，讓學(xué)生在觸摸幾何形態(tài)時感知美、在探索規(guī)律時創(chuàng)造美，成為學(xué)科育人的重要命題。本課例以美育為主線，將正多面體的認(rèn)知過程轉(zhuǎn)化為一場“發(fā)現(xiàn)美、理解美、踐行美\"的旅程，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在美的浸潤中自然生長。

一、以美為線，編織知識與能力的共生網(wǎng)絡(luò)

正多面體的教學(xué)并非孤立的概念識記，而是構(gòu)建“觀察一操作一推理\"的完整認(rèn)知鏈。教師從學(xué)生熟悉的正方體人手，通過對比、分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正多面體的獨特之處，這種由淺入深、從已知到未知的遷移，恰似用美的絲線串聯(lián)起散落的知識珍珠，既鞏固了平面幾何的基礎(chǔ)知識，又為空間觀念的建立搭建了階梯。通過“紙張折疊正多面體\"的實踐活動，抽象的空間關(guān)系被轉(zhuǎn)化為可觸摸的形態(tài)。當(dāng)紙張的褶皺變成規(guī)整的幾何體，知識不再是課本上的文字，而是成為“形與數(shù)”共舞的美感體驗，學(xué)生的觀察、操作與邏輯思維能力也在這一過程中同步提升。

二、在探索與協(xié)作中，讓美成為思維的催化劑

正多面體圖形的結(jié)構(gòu)之美，唯有通過自主發(fā)現(xiàn)才能觸動心靈，小組合作則讓美的認(rèn)知更加立體。探索“面數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系”，通過不同視角的碰撞讓結(jié)構(gòu)美有了更豐富的內(nèi)涵。學(xué)生在傾聽中學(xué)會尊重差異，在辯論中完善邏輯，最終達(dá)成共識：數(shù)學(xué)之美，既在于形式的規(guī)整，更在于思維的多元。開展小組合作探究活動，通過交流與協(xié)作，激發(fā)思維的火花，使學(xué)習(xí)過程充滿樂趣與挑戰(zhàn)，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

三、以美為媒，構(gòu)建浸潤式的育人場域

教師的引導(dǎo)藝術(shù)，是美育落地的關(guān)鍵。面對學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的難題，不急于直接糾正，而是通過巧妙的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在自主探索中觸摸對稱的奧妙。教師含笑的目光始終追隨著每個探索者的身影，贊許的點頭如同春風(fēng)拂過，營造一個安全而溫暖的場域，讓課堂超越單純的知識傳遞，成為美自然生長的土壤。

本課例將美育與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)深度融合，在展現(xiàn)結(jié)構(gòu)美、邏輯美、文化美、創(chuàng)造美的過程中，同步培育學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等關(guān)鍵能力，既讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)本身的形式與內(nèi)涵之美，又在教學(xué)相長中實現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)與人文情懷的共振，為數(shù)學(xué)學(xué)科育人提供了生動的范例。

（遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)紅星海國際學(xué)校）