我們如何看待 8×3 還是 3×8 的問題

解決“有3個盤子，每盤8個水果，一共有多少個水果？”這類問題時，如何列式才算正確，近期在網上引發了廣泛的關注。這一討論的起因，源于今年秋季小學數學二年級新教材中“認識乘法\"部分的微調。以人教版教材為例，教材提示學生“求5個3的和可以寫成乘法算式： 3×5=15^′ ’，將相同加數“3\"置于乘號前面，與原版教材有所不同。也就是說，上述討論的實質在于：小學階段列算式解決乘法問題時，要不要嚴格區分被乘數與乘數？

從小學數學教學大綱和教材的編寫歷史看，20世紀50年代至90年代末，我國一直有區分被乘數和乘數的要求。2000年后，課程標準和各版本教材都取消了對被乘數與乘數這一對概念的界定及對其書寫順序的規范。新教材在呈現算式時將\"3”置于乘號前，但并未給出“被乘數\"“乘數\"的概念，也并未要求嚴格區分乘號前后乘數的順序。也就是說，這種微調其實無實質性的改變，對教學的影響是有限的。為什么不需要在形式上嚴格區分被乘數與乘數？對這一問題，可從多個方面解答。

首先，就數學本質而言，乘數的書寫順序并不影響對乘法意義的理解。也就是說學生對乘法意義的理解并不依賴于對乘數順序寫法的強制規定。在代數中，3個 x 或 x 個3都寫作 3x ，這一規定從初中起始終一致。正如張景中院士所指出的，乘數的順序只是一個定義問題，若從一開始就規定 2×3 和3×2 相同，既可以表示2個3相加，也可以表示3個2相加，便徹底解決了這一問題。這可以看成在最初定義乘法意義時，就引入阿貝爾群的特征，提供了運算的兩種表達方式，從而在本質上消解了關于乘數順序的爭議。

其次，就教學過程而言，需要尊重教學邏輯。教學中應讓學生經歷相對完整的“識別情境一表征信息一抽象算式一遷移應用\"的過程，通過實踐建構乘法的意義。例如，針對“有5架小飛機，每架小飛機上有3人，一共有多少人？\"這一問題，學生需要識別其中的數學信息并進行表征。在教師的引導下，學生可能會列出加法算式，也可能會列出乘法算式 3×5 或 5×3 。此時，教學的關鍵在于使情境圖式、語言描述和算式建立聯系。對于 3×5 或 5×3 只要學生能指出“5”表示小飛機數量，“3”表示每架小飛機上的人數，并能與加法算式建立聯系，就能充分證明他們理解了乘法的意義。而寫對乘數順序并非指向意義理解的教學自標。

最后，就評價活動而言，應關注意義理解的本質。重視學生對乘法意義的理解是乘法教學的共識，但如何評判這種理解存在不同觀點。通過乘數的位置來判斷是一種效度較低的評價方式。采用表現性評價，讓學生理解真實情境、表征乘法算式，并與情境及加法算式建立聯系，再根據學生對乘法意義的理解程度制定評價量規，能更深刻、更精準地反映學生對乘法意義的理解及其核心素養的發展程度。

雖然關于乘數位置的問題能引起廣泛討論頗出乎筆者預料，但討論過程本身也有助于天家對教育問題進行更深人的思考。在教學中放下對標準答案的執念，關注教學過程，既是學生理解運算意義的一般路徑，也是體現數學本質、指向核心素養的教學導向。這一討論體現出的教育價值追求遠超過問題本身。

（福建師范大學教育學院）