用可能性思維衍生“探索性問題”

本刊在2025年第9期刊登的《相對性眼光催生出的“可能性思維\"》一文，對“可能性思維\"的基本特征進行了解釋。相較于“必然或必須如此”的確定性思維，可能性思維更傾向于對已知或已有“未必如此\"的懷疑，以及對未知或未來“可能如彼\"的探索，聚焦于“如果…會怎樣？”或“如果不…會怎樣？”這樣的基本問題。在數學教學中運用可能性思維，能夠引導學生從教材常規的內容中自然而然地衍生出超越常規的探索性問題。

一、什么是“探索性問題”

所謂探索性問題，是與教材中常規的練習性問題相對的概念。練習性問題的特征主要表現為問題出現的供給性與問題解決的程序性。而探索性問題則強調問題出現的生成性和問題解決的挑戰性。

數學問題的結構通常由已知與未知構成。從邏輯學的角度看，已知與未知之間存在因果關系，如果將已知視為原因，那么未知即為相對應的結果。邏輯學意義上的因果關系通常具有人為規定的確定性，即相同的原因應產生確定的結果。教材中多數練習性問題正是基于這樣的邏輯編制的，旨在幫助學生熟悉和掌握知識點，對學生而言是一種外部供給，而非學生思維世界內部的自然生成。若將《義務教育數學課程標準（2022年版）》所倡導的“發現問題、提出問題”作為教學目標，則需要改變對問題結構中已知與未知關系的認識。

從心理學的視角來看，可以將問題中的未知視為人思維的目標，即源于人的疑惑、好奇心、偏好和意愿等心理活動所產生的心理期待或智力需求。從這個角度來看，問題不再是教材或教師提供給學生的外部供給，而是屬于學生自身的“我的問題”。這樣的問題超越了練習性問題的供給性和程序性，具備了探索性問題的生成性和挑戰性特征。為了便于比較練習性問題與探索性問題，現將二者的關系加以呈現，如表1所示。

表1練習性問題與探索性問題的比較

以小學第二學段數學課程中的“面積的計算與測量”為例，“已知長方形的兩條邊長，求出長方形面積\"即為一類常規的練習性問題。為了行文方便，此類練習性問題可表述為如下的“問題1”。

·問題1（練習性）：如圖所示，已知一個長方形的長與寬分別為4厘來和3厘米。求這個長方形的面積。

對于此類問題，學生僅需掌握長方形面積公式和簡單的乘法口訣，即可得到 3×4=12 （平方厘米）”。基于此問題，運用“如果會怎樣？\"或“如果不會怎樣？\"的可能性思維，可以引導學生提出一系列具有生成性和挑戰性的探索性問題。

二、拓展問題目標

如前所述，通過可能性思維的引導，引發學生探索性問題的生成，將問題的未知視為心理期待的目標。針對問題1，命題者將未知設定為“長方形的面積”，教學中可運用“如果不…會怎樣？\"的可能性思維，引導學生思考“如果不求面積，還能求出什么？\"即“如果已知長方形的長和寬，除了面積，還能求出什么？”這種引導方式通過可能性思維改變并拓展問題目標，促使學生從自身的思維世界中產生更多問題，其中可能包括已熟悉的練習性問題。

·問題2（練習性）：已知長方形的長為4厘米，寬為3厘米，求長與寬相加的和是多少厘米？求長方形的周長是多少厘米？

·問題3（練習性）：已知長方形的長為4厘米，寬為3厘米，求長與寬相減的差是多少厘米？

同時，還可能衍生出跨越學段，對小學階段學生具有挑戰性的探索性問題。

·問題4（探索性）：如圖所示，已知長方形的長為4厘米，寬為3厘米，求長方形對角線的長度是多少厘米？

從問題1衍生出諸多問題，其意義不僅在于解決這些問題本身，更在于通過比較這些問題，實現對長方形的結構化認識與理解，即全面地認識長方形的構成要素及其相互依賴與制約的關系。這些關系可概括為如下三條結論。

結論1：給定長和寬，長方形的形狀與大小得以確定。

結論2：給定長和寬，長方形的周長與面積得以確定。

結論3：給定長和寬，長方形的對角線長度得以確定。

這些結論之間存在相互推演的因果關系。例如，結論3可由結論1直接推理得到，即給定長和寬，長方形的形狀和大小得以確定，意味著對角線長度也隨之確定。這表明如果已知長方形的長和寬，就能求出對角線長度，但目前尚未找到有效方法。因此，遺留下來需要進一步探索的問題是：如何通過長和寬求出對角線的長度？如果此問題能在學生思維中留痕，就將為初中數學課程中勾股定理的認知埋下伏筆，使學生對未來學習產生期待。

綜上所述，通過運用“如果不會怎樣？\"的可能性思維，針對常規的問題1，通過改變并拓展問題自標，衍生出一系列問題，從而實現對長方形的結構化認識，并遺留未來學習中待探索的問題。進一步而言，通過可能性思維對問題結構中的已知條件進行改變與更新，可以衍生出更多的探索性問題。

三、更改問題條件

從前文中的結論2可知，若已知長方形的兩條邊長，即可同時求出這個長方形的周長和面積，從而推斷出長方形的周長與面積之間必然存在某種關系。通過運用“如果…會怎樣？\"或“如果不會怎樣？\"的可能性思維，將問題1的已知條件“長和寬\"更改為“長與寬之和\"及“長與寬之差”，從而自然衍生出小學數學課程中熟知的“和差問題”。同時，問題1的條件亦可更改為“周長”，進而衍生出如下新的探索性問題。

? 問題5（探索性）：如果不知道長方形的兩條邊長，僅知道周長是14厘米，能否求出長方形的面積？

對小學階段學生而言，問題5的挑戰性在于答案的多樣性或不確定性。已知周長為14厘米，意味著“長 + 寬 ⁼⁷ （厘米）”，因此長方形的長和寬是不確定的，可能是 3+4=7 （厘米）”，也可能是‘ 2+5=7 （厘米）”，等等。經過計算不難發現，長和寬不同的情況下長方形的面積各不相同（如圖1）。

圖1給定周長求面積的多種可能性示意圖

因此，可以得到結論，如果已知長方形周長，雖可求出面積，但結果具有多樣性或不確定性。在面對不確定性現象時，學生自然期望在其中尋找確定性。在給定長方形周長的情況下，盡管面積不確定，但必定存在一個面積最大的長方形，其形狀和面積應是確定的。由此自然衍生出一個新的探索性問題。

·問題6（探索性）：在周長為14厘米的長方形中，哪一個面積最大？

此類問題的挑戰性在于缺乏現成的、熟知的方法或公式來解決。需要運用可能性思維中的“枚舉與篩選”，列舉“□ + □=7\"的各種可能性進行比較。進而發現長方形的長與寬越接近，面積越大。因此，可以得出結論：長方形兩條邊長相等時，即正方形，其面積最大。

此類“給定封閉平面圖形的周長，確定最大面積\"的問題，在數學中稱為“等周問題（IsoperimetricProblem）\"[]，是數學歷史發展中備受關注的一類問題，與人們的日常活動緊密相關，如確定土地面積大小、建造院落圍欄、估計新發現海島面積等，都與等周問題有關。2]

如果將周長和面積分別視為對平面封閉圖形邊界長短和內部大小的度量，則平面圖形的等周問題實質上是依據邊界長短的度量值確定內部大小度量最大值的問題。運用\"如果不會怎樣？\"的可能性思維，可以進一步思考，若圖形是非平面圖形而是立體圖形，是否也存在類似問題？封閉立體圖形邊界的度量是表面積，其內部度量是體積。由此運用“如果會怎樣？\"的可能性思維，自然衍生出立體圖形中的“等周問題”：給定立體圖形的表面積，哪個圖形的體積最大？小學數學教材中的“包裝問題”即屬于此類立體圖形的“等周問題”。

由此可見，通過運用“如果…會怎樣？\"以及“如果不…會怎樣？\"的可能性思維，通過更改教材中練習性問題的條件，可以衍生出一系列具有生成性和挑戰性的探索性問題，且其中一些問題具有跨越學段的貫通性。因此，在小學階段引導學生在已有問題基礎上發現并提出問題，自的不僅在于解決這些問題，更在于這些問題在學生的思維世界中留下印記，成為啟動主動思維的引擎和指引思維方向的航標，用探索性問題驅動今后的學習。

以上內容是在練習性問題的基礎上，通過改變并拓展問題目標以及更改問題條件衍生出探索性問題。除此之外，還可以引導學生通過重塑問題結構中的因果關系，實現對問題結構的重組，進而衍生出探索性問題。

四、重塑因果關系

如果將問題結構中的已知和未知分別視為因果關系的原因和結果，人們通常的思考方向是從原因推演結果，即從已知到未知。所謂重塑因果關系，則是指轉變思維方向，進行逆向思考的過程。

例如，如果已知一個正方形的邊長為3.5厘米，未知是這個正方形的面積，按照從已知到未知的思考，可以求出這個正方形的面積為： 3.5²=12.25 （平方厘米）。如果轉變思維方向，進行逆向思考，則可以衍生出逆向的\"反問題（InverseProblem）\"[3]：若已知一個正方形的面積是12.25平方厘米，那么這個正方形的邊長是多少厘米？

通過重塑因果關系，將原因與結果的意義進行轉換，實現了對問題結構的重組，從而將單向推理的“從已知到未知”拓展為雙向推理的“已知與未知相互推演”。按照重塑因果關系的方式，可以從問題1衍生出如下的探索性問題。

·問題7（探索性）：已知長方形的面積是12平方厘米，能否求出長方形的長和寬，或周長？

這一問題與問題5類似，答案具有多樣性或不確定性，比如“長為4厘米，寬為3厘米\"或“長為6厘米，寬為2厘來\"等都可成為問題的答案。因此，對于此類問題，同樣需要在不確定性中探尋確定性，即在給定面積的情況下，設法求出周長的最小值，這屬于等周問題的另一種類型。用算術或代數的語言表述，即在給定兩數乘積的情況下，設法確定兩數之和的最小值。

問題答案的多樣性或不確定性表明問題的條件（原因）不夠充分，因此重塑因果關系的另一個方法是補充條件，使問題的答案能夠確定。問題7表明僅知道長方形的面積無法確定長方形的長、寬或周長，此時若補充長方形兩邊相加的和或相減的差作為條件，則可衍生出如下探索性問題。

? 問題8（探索性）：已知長方形的面積為12平方厘米，長與寬的和是7厘米，求長方形的長和寬？

·問題9（探索性）：已知長方形面積為12平方厘米，長與寬的差是1厘米，求長方形的長和寬？

解決這兩個問題的常規方法需要運用初中數學課程中二次方程的相關內容。在小學階段，可以采用視靜為動的相對性眼光，將長方形重新塑型為正方形，從而直觀看出問題的答案。下面以問題9為例，用表2呈現這一過程，其中的字母 a 和 b 分別表示面積為12平方厘來長方形的長和寬，二者相減的差為1厘米，即 a×b=12 a=b+1 （如圖2）。

圖2面積12平方厘米長方形示意圖

表2中所有圖形的運動過程都沒有改變圖2長方形的面積12平方厘米，運用無中生有的想象，通過在右下角補上面積為 0.5²=0.25 （平方厘米）的小正方形。構造出一個邊長為‘ _b+0.5 ”的大正方形（如圖3）。

圖3補全正方形示意圖

圖3中的大正方形面積等于原長方形面積\"12平方厘來\"與補上小正方形面積\"0.25平方厘來\"相加的和： 12+0.25=12.25 （平方厘米），由于 3.5×3.5= 12.25，因此大正方形邊長為3.5厘米。由此不難推斷出原長方形的長和寬分別為 a=4 厘米和 b=3 厘米。

上述實例表明，重塑因果關系是衍生探索性問題的有效方法，其思維形式是對“從已知到未知\"單向思維的質疑，進而轉向對“反之如何？”可能性的探索。數學中常見的互逆運算以及命題與其逆命題之間關系的研究，都是這種思維形式的具體體現。

用普遍聯系的眼光看，每一個具體問題的存在都不是孤立的，通過拓展問題目標、更改問題條件以及重塑因果關系，可以實現“問題生問題”，使得此問題與彼問題之間的聯系得以顯現。因此，數學教學應當突破教材中單元或課時的限制，超越常規練習性問題的練習功能，引導學生運用可能性思維衍生探索性問題，實現探索性問題豐富的教學價值。

五、“探索性問題”的教學價值

探索性問題相較于教材中的練習性問題，其最顯著的特點在于教學過程中即時的生成性與挑戰性。這一點與波利亞在其著作《數學的發現》中所描述的“研究性問題（ResearchProblem）\"的概念頗為相似。[4]

波利亞在論及研究性問題時提出：“學生從教材或教師那里所獲得的問題，很多情況下教師并不太關心，教材更是毫不在意學生對這些題目是否感興趣。相反，數學家最關鍵的一步或許在于發現并提出一個既具吸引力又有研究價值，且在自身能力范圍內的問題。”

波利亞的論述揭示了數學教學中問題的供給性與學生學習的主動性的矛盾。化解這一矛盾的有效方法在于，在數學教學中，“教師應引導學生在某種程度上也參與到提出問題這一步驟中來”。因此，在教學中運用可能性思維引導學生衍生探索性問題的過程，具有激發學生學習主動性的教學價值。

此外，波利亞還特別強調了問題之間的關聯性：“大多數教材練習題之間幾乎沒有關聯，其作用僅在于闡釋某一條規則，并為該規則的應用提供一些練習機會。一旦完成了這一用途，這些練習題便可能被拋之腦后。事實上，許多練習題都有著豐富的背景，它們會引出具有挑戰性的問題，而這些問題又會進一步衍生出更多具有挑戰性的問題，最終，這些問題會覆蓋一個廣闊的領域。”

例如，在問題9獲得解決的基礎上，可以采用類似的方法解決問題4，即在已知長方形的長（4厘來和寬（3厘來）的情況下，如何求出對角線的長度？

首先利用長方形對角線 Ψ_c 將長方形分為兩個具有全等關系的直角三角形（如圖4）。隨后通過圖形的運動構造出邊長等于對角線長度的大正方形（如圖5），其中中間白色正方形“小孔\"的邊長為長減去寬的差（即 4-3=1 厘米）。此時，邊長為斜邊長度的正方形面積等于原長方形面積的2倍（即 2× 4×3=24 平方厘米），加上中間小正方形面積（即 1×1 ⁼¹ 平方厘米），和為 24+1=25 （平方厘米），從而直接得到原長方形對角線長度為5厘來。

圖4用對角線平分長方形示意圖

圖5構造邊長為對角線的大正方形示意圖

在此基礎上，如果用字母 a 和 b 分別表示原長方形的長和寬，字母 c 表示原長方形的對角線，就可以直觀看出初中數學中的勾股定理。從圖6可以清晰地看出： c²=2ab+（a-b）² ，即 c²=a²+b² 。圖6的構造方法與我國古籍《周髀算經》中證明勾股定理的弦圖基本相同[5]。

綜上所述，從長方形面積計算這一常規的練習性問題出發，運用“未必如此，可能如彼”的可能性思維，逐漸衍生出諸如與等周問題、勾股定理、圖形運動相關的問題，這一過程印證了波利亞“從問題衍生問題”的思想。因此，探索性問題的衍生過程，在教學中具有溝通知識間的關聯、實現課程內容貫通的教學價值。

此外，從學生個人成長與發展的角度來看，衍生探索性問題的過程伴隨著懷疑與猜想、直覺與推理、語言與表達等思維與行為活動，這些都將促進學生創新思維的發展。

總而言之，運用可能性思維衍生出的探索性問題的教學價值可以概括為：啟動主動思維的引擎，指引思維方向的航標，溝通知識關聯的橋梁，助推思維創新的動力。為了實現這些教學價值，教師應當將“如果……會怎樣？”以及“如果不…會怎樣？”這類問題融入學習任務和學習活動的設計中，使其成為課堂教學過程中的常用語。

參考文獻：

圖6直觀證明勾股定理示意圖

[1]TANTONJ.The isoperimetric problem[J]. MathHorizons，2003，10（3）：23-26.

[2]KLINE M.Mathematics for the nonmathematician[M].New York：Dover Publications，Inc. 1961：131-138.

[3]KELLERJB.Inverse problems[J].The Americanmathematicalmonthly，1976，83（2）：107-118.

[4]POLYAG.Mathematical discovery[M].New York：JohnWileyamp;SonsInc.1962：157.

[5]周向宇.中國古代數學的貢獻[J].數學學報（中文版），2022，65（4）：581-598.

（初等教育學院）