時空余弦多高斯關聯部分相干脈沖光束的傳輸特性

中圖分類號：O436文獻標志碼：A

Abstract： Based on the coherence theory of partially coherent light field， a new class of partially coherent pulsed beams with spatially cosine-multi-Gaussian and temporally cosine-multi-Gaussian correlations，namelyspatiotemporal cosine-multi-Gaussiancorrelationpartiallycoherent （STCMGCPC） pulsed beams， is introduced. By use of the generalized Huygens-Fresnel diffraction integral， the analytical propagation formula of partially coherent pulse beam with spatiotemporal cosine-multi-Gaussian time-space correlation through the spatiotemporal ABCD optical system was derived.Taking the still water as a typical example of dispersive medium，the evolution of spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beams was investigated. The results showed that STCMGCPC pulsed beams exhibited spatiotemporal self-spliting and self-focusing simultaneously，and the physical explanation of the phenomenon was attributed to the special spatiotemporal coherent structure of the pulsed light source and pulse chirp. The research findings have potential application value in the field of underwater laser communication and imaging.

Keywords： coherence; spatiotemporal intensity; partially coherent pulsed beam; self-splitting

引言

眾所周知，光源的相干性對相干光場的強度分布起著非常重要的作用。因此，相干調控是控制遠場光強分布十分有效的工具[1]。對穩態部分相干光束的相干結構進行調控可以產生各種部分相干光源，如多高斯關聯謝爾模型源[、不對稱余弦高斯關聯謝爾模型源[8、厄米高斯部分相干源等。這些光源在傳播過程中會有一些奇異的特性，如遠場平頂、自分裂、自聚焦、自旋轉等。這些新的特性和現象使部分相干光源在光通信、微粒操控、光束整形、顯微成像等領域得到了廣泛應用。空間域相干調控技術為時間域的相干調控提供了很多方式和方法上的借鑒[10]

近年來，超短脈沖激光技術發展迅速，在實驗室已經可以獲得阿秒量級的光脈沖[]。脈沖光場調控，即對激光脈沖波形、脈寬、啁啾、頻率、相干結構等進行調控，逐漸引起國內外研究者的密切關注，已成為現代光學的前沿和熱點研究領域之一[12]。對部分相干脈沖光束的時間關聯結構進行構建和調控可以產生多種新的現象和效應，如對脈沖光束時間相干性的精確控制不僅可以改變脈沖干涉條紋的可見度[13]，還可以提高脈沖光束鬼成像的清晰度[14]；對時間關聯結構的構建和調控可以產生多種部分相干脈沖光源，如拉蓋爾（厄米）高斯時間關聯、相干光柵時間關聯的部分相干脈沖光源[15-16]。上述研究都局限于時間域中的部分相干脈沖光源。

本文同時考慮脈沖光束的空間調控和時間調控，構建了一個新穎的時間余弦-多高斯關聯和空間余弦-多高斯關聯部分相干脈沖光束，借助廣義惠更斯-菲涅爾傳輸公式，推導出了時空余弦多高斯關聯部分相干（spatiotemporalcosine-multi-Gaussiancorrelationpartiallycoherent，STCMGCPC）脈沖光束在傳輸距離 z 處的互相干函數表達式，進一步獲得了其時空強度分布的演化規律。研究發現該脈沖光束在色散介質中出現了自分裂和自聚焦現象，并對這些現象的物理機制進行了討論。

1 基本原理

在時空域中，脈沖光束的相干特性可以通過它們的互相干函數定義為

式中， U（r，t） 為在空間位置 r=（x，y） 和時間坐標 t 的脈沖復解析信號，尖括號表示系綜平均。一般來說，為使互相干函數在物理上是可實現的，T（rl，t1，r2，t2）必須對應于非負的積分核[17]。對于式（1），非負定義的充分條件是互相干函數必須表示為時空域的疊加積分，即

式中： p（ν） 為非負的傅里葉變換函數； ν 為積分變量； H 為任意函數； H^* 為 H 函數的復共軛；下標t和s分別為時間域和空間域。通過選擇合適的 p（ν） 和 H ，可以為部分相干脈沖光束定義各種各樣的時空相干結構函數。

為了引人STCMGCPC脈沖光束，將 p（ν） 和 H 定義為

式中： T_c 為脈沖時間相干長度； T₀ 為脈沖寬度； σ 為空間相干長度； δ 為方均根束寬； C₀= 為歸一化參數； 為二階多項式，其中 F 和G 為多高斯參數， f 和 g 為求和變量； n 和 ?_m 分別為時間和空間光束階數。將式（3）、式（4）、式（5）代入式（2）后，得到脈沖光束的互相干函數

式中： μ 為時間相干度； ω₀ 為脈沖載波頻率。

式（7）和式（8）分別表示脈沖光束在源平面空間位置 r₁ 和 r₂ 與瞬時時刻 t₁ 和 t₂ 的相干度。

接著，討論STCMGCPC脈沖光束在二階色散介質中的傳播。互相干函數在這種介質中的傳播可以用廣義柯林斯積分公式來研究[18]

式中 ABCD 矩陣為

式中： β₂ 為群速度色散參數； s 為啁啾系數；k 為波數； z 為傳輸距離。這里假設時空坐標是在以脈沖群速度運動的參考系中測量的，將式（6）、式（7）和式（8）代入式（9）中，經過繁瑣的積分運算，得到脈沖光束在傳輸距離 z 處互相干函數的表達式

式中： a 和 η 均為體表達式為

（15） 當 t₁=t₂ ， r₁=r₂ 時，脈沖光束在介質中的平均強度 的表達式為

2分析與討論

接著討論STCMGCPC脈沖光束在靜止純水中的時空強度演化規律。假設水的折射率可表示為q（ω）=q_aω+q_b ，其中 q_a=β₂c ， q_b=c/j-2β₂ω₀c ，式中 ω 為介質中光的頻率， Ψ_c 為真空中光速，j 為脈沖的群速度[19]。 20^°C 、標準大氣壓下，水的折射率 q=c/j=1.359 1 ，其群速度色散系數 β₂= （20號 58.174ps²/km^[20] 。在隨后的計算中，脈沖和介質的參數設置為 δ=2mm ， σ=2mm ， T₀=4 ps，T_c=2 ps， ω₀=3.667 rad/fs（取 1]在水中傳輸時該波長激光束穿透力更強）。

圖1為不同空間光束階數 m 時，STCMGCPC脈沖光束的歸一化強度分布 I（x，y，t，z） 隨傳輸距離 z 和水平坐標 x 的變化規律，其中 m=0 、1、2或3， y，s，t，n 均為0， G=F=1 。結果顯示，空間光束階數 ?_m 在STCMGCPC脈沖光束的空間分裂中擔當著重要角色：當 m=0 時，脈沖光束在傳播時不存在光束分裂；當 m=1 時，在傳播距離 z 超過 30m 時，光束分裂成兩個子光束；對于更大的光束階數（如 m=2 和 m=3 ），光束分裂的起始點更靠近源平面 z=0 。圖2為不同時刻點 t 時，STCMGCPC脈沖光束的歸一化強度分布 I（x，y，t，z） 隨傳輸距離 z 和位置坐標 x 的變化規律，其中 t=2 、10、12或15ps， m=1 ，其他計算參數同圖1。比較圖2和圖1（b）可知，當 t 較大時，時空強度的分裂現象更為明顯。對該結果進行討論分析，將相關參數代入式（17），可得

圖1不同空間光束階數時，STCMGCPC脈沖光束時空強度隨傳播距離 z 和橫坐標 x 的變化 Fig.1Evolutionof spatiotemporalintensityof STCMGCPCpulsed beamasa functionof propagation distance z and horizontal coordinate x withdifferent spatial beam orders

圖2不同時刻STCMGCPC脈沖光束時空強度隨傳播距離 z 和橫坐標 x 的變化

Fig.2Evolution of spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beam as a function of propagation distance z and horizontal coordinate x with different time

從式（18）可知，時空強度 I（x，y，t，z） 是關于 y 軸對稱的兩個指數函數的疊加（含 x 部分）。當傳播距離 z 較短時，兩個指數函數基本相同，因此不能區分兩個光束。然而，當 z 足夠大時，兩個光束分別向 x 的正向橫向偏移，偏移大小為 。即當空間光束階數 m 增加時，式（18）中含 x 的指數函數中 z 的系數 就變大，光束會發生橫向偏移。

圖3為不同傳播距離 z 時，STCMGCPC脈沖光束在 x-y 平面中的歸一化時空強度 （20z ）的密度圖，其中 z=0 、30、40或 60m ， m= 1， （204號 t 均為0， G=F=4 。由圖可知，脈沖光束在水中傳輸時表現出自分裂特性，且隨著傳輸距離的增加，初始光束在遠場傳輸中逐漸演變成了4個子光束。圖4為空間光束階數 m=2 時，不同傳播距離 z 處STCMGCPC脈沖光束在x-y 平面中的歸一化時空強度 I（x，y，t，z） 密度圖，其中 z=0 、30、40或 60m ， t 均為0， G=F=4 。比較圖4和圖3可知，空間光束階數 m 越大，自分裂效應越顯著。該結果可以用式（18）進行解釋。當 ?_m 增大時，含 x 指數函數中 z 的系數 也增大，即在 x 方向上增大了橫向偏移，導致光束分裂加劇。

圖3不同傳播距離時，STCMGCPC脈沖光束在 x-y 平面上的歸一化時空強度密度圖 ?_m=1 ）Fig.3Density plots for the normalized spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beam in the x-y planeatsomepropagationdistances ?_m=1 ）

圖4不同傳播距離時，STCMGCPC脈沖光束在 x-y 平面上的歸一化時空強度的密度圖（ ）Fig.4Densityplots for the normalized spatiotemporal intensity ofSTCMGCPCpulsed beam in the x-y planeatsomepropagationdistances（ m=2 ）

圖5為不同時間光束階數 n 時，STCMGCPC脈沖光束的時空強度 作為傳播距離 z 和時間 t 的函數的演變規律，其中 n=0 、1、2或3， 均為0， G=F=4 。由圖5可知：當 ngt;0 時，光束在時間域表現出自分裂行為。隨著傳播距離 z 的增加，光束分裂成兩個子光束；當 n=0 時，即對應于傳統的高斯相關謝爾模型脈沖光束，其在傳輸時不存在自分裂。對該結果進行討論分析，將相關參數代入式（17），可得

從式（19）可知，時空強度 是關于坐標軸 t=0 對稱的兩個指數函數的疊加（含 t 部分）。當傳播距離 z 較短時，兩個指數函數基本相同，因此不能區分兩個光束。然而，當 z 足夠大時，兩個光束分別向 t 的正負方向橫向偏移，偏移大小為 。此外，當時間光束階數 n 增加時，式（19）中含 t 的指數函數中 就變大，即光束發生了橫向的偏移。

圖5不同光束階數時，STCMGCPC脈沖光束時空強度隨傳播距離 z 和時間坐標 t 的變化規律 Fig.5Evolution of spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beam as a function of propagation distance and time t with different beam orders

圖6為 n=0 、 G=F=1 ，不同啁啾系數s 時，STCMGCPC脈沖光束的時空強度 I（x，y，t， z ）作為傳播距離 z 和時間 t 的函數的變化規律，其中 s=0 ！ -0.4 、 -0.8 或 -1.2ps^-2 ， m 、 y 和x 均為0。從圖6可知，當 slt;0 時，光束表現出自聚焦行為，隨著啁啾系數 s 的減小，光束自聚焦的發生位置越接近光源，且自聚焦效應也越強。對該結果進行討論分析，式（17）可以表示為

圖6不同啁啾系數時，STCMGCPC脈沖光束時空強度隨傳播距離 z 和時間 ^t 的變化（ ， G=F=1 ））Fig.6Evolution of spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beam as a function of propagation distance z and time t withdifferentchirpcoefficients（ n=0 ， G=F=1 ）

對于指數部分有

式中

由式（22）可知， T²（z） 是 z 的二次函數，當

即 T²（z） 達到極小值時，此時可獲得一個光強極大值點。因此，當啁啾系數 slt;0 時，光束在傳播時會出現自聚焦現象。而且，隨著 |s| 的增大，z_min 會減小，因為由式（23）可知，對于較大的|s| ，可以省略 1/（2T₀²）+2/（fT_c²） 。式（23）可以表示為 z_min≈β₂/|s| ， |s| 增大， z_min 減小，即焦點位置向源平面移動。這里啁啾系數 s 在時間 ABCD 矩陣中對傳播的影響相當于一個透鏡，因此出現了自聚焦現象。

圖7為 n=1 、 G=F=4 ，不同啁啾系數 s 時，STCMGCPC脈沖光束的時空強度 z 隨傳播距離 z 和時間 t 的變化規律，其中 s= 0、 -0.4 、 -0.8 或 -1.2ps^-2 ， m 、 y 和 x 均為 0 。由圖7可知，當啁啾系數 slt;0 時，自聚焦和自分裂現象同時發生。由于自聚焦位置的移位，|s| 較大時出現了3個強度峰，見圖7（c）。

圖8為 m=0 、 n=0 ，不同傳播距離 z 時，STCMGCPC脈沖光束在 x-t 平面上歸一化時空強度 I（x，y，t，z） 的密度圖，其中 z=0 、20、30或 40m ， m 、 n 和 y 均為0， s=-0.4ps^-2 、 G= F=4 。由圖8可知，當 z=0 時，在 x-t 平面上存在一個橢圓形的強度分布。隨著傳播距離 z 的增加，橢圓形強度分布變為圓形，然后再次由圓形變為橢圓形強度分布。并且可以看到，隨著傳播距離 z 的不斷增加，強度分布進一步發生變化。圖9為 m=1，n=1 ，不同傳播距離 z 時，STCMGCPC脈沖光束在 x-t 平面上歸一化時空強度 I（x，y，t，z） 的密度圖，其中 z=0 、20、30或 40m ， y=0 ， s=-0.4ps^-2 ， G=F=4 。由圖9可知，光束首先在時間坐標 t 上分裂，然后在位置坐標 x 上分裂。在遠場，光束在 x-t 平面上分裂成4個子光束點。可以發現，當傳播距離 z=40m 時，自分裂現象更為明顯。通過圖8與圖9的對比可知，光束的 m 和 n 參量對x-t 平面的時空強度分布起著重要的決定作用。

圖7不同啁啾系數時，STCMGCPC脈沖光束時空強度隨傳播距離 z 和時間 ^t 的變化（ n=1 ， G=F=4 ））Fig.7Evolution of spatiotemporal intensity of STCMGCPCpulsed beam as a function of propagation distance z and time t withdifferentchirpcoefficients（ n=1 ， G=F=4 ）

圖8不同傳播距離時，STCMGCPC脈沖光束在 _x-t 平面上的歸一化時空強度密度圖（ ?_m=0 ， n=0 ））Fig. 8 Density plots for the normalized spatiotemporal intensity of STCMGCPC pulsed beam in the _x-t planeat some propagation distances（ ?_m=0 ， ）

圖9不同傳播距離時，STCMGCPC脈沖光束在 _x-t 平面上的歸一化時空強度密度圖（ m=1 ， n=1 ）Fig.9Density plots for the normalized spatiotemporal intensity ofSTCMGCPCpulsed beam in the x- -t planeat somepropagationdistances（ m=1 ， n=1 ）

圖10給出了不同空間光束階數 m 和時間光束階數 n 時，STCMGCPC脈沖光束在 平面上的歸一化時空強度 I（x，y，t，z） 密度圖，其中m=n=0 、1、2或3， z=50m ， Δs=-0.4ps^-2 ， y= 0。結果表明：當 m=n=0 時，遠場不發生光束分裂；當 m=n=1 時，初始光束開始分別在時間坐標 t 和位置坐標 x 上分裂成兩個子光束；隨著光束階數的增加，光束的分裂現象更加明顯。

圖10不同光束階數時，STCMGCPC脈沖光束時空強度隨時間坐標 ^t 和位置坐標 x 的密度圖Fig.10Densityplots of the spatiotemporal intensityofSTCMGCPCpulsedbeamsversus timecoordinate tandpositioncoordinate x fordifferentbeam orders

3結論

本文提出了一種新的時空余弦多高斯關聯部分相干（STCMGCPC）脈沖光束，并獲得了STCMGCPC脈沖光束在ABCD光學系統中通過衍射色散介質傳播時的時空強度解析表達式，并重點分析了光束在靜止純水中的時空強度演化特性。研究發現，該脈沖光束展現出時空自分裂與自聚焦共存的特殊現象，具體表現為：當光束階數為0時，脈沖光束保持完整傳輸而不發生分裂；當階數非零時，光束會分裂為兩個子光束，且階數越大，分裂效應愈加顯著，分裂起始位置越接近源平面。脈沖啁啾 s=0 時不發生自聚焦；隨著 s 減小，自聚焦現象逐漸顯現，且 s 越小，自聚焦位置越靠近源平面。這里 s 參數在色散介質中的作用類似于透鏡在衍射介質中的效應。從物理機制上看，這種時空自分裂現象源于光束特殊的時空相干態結構。本研究結果具有普適性，可推廣應用于其他色散介質或ABCD光學系統。

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（編輯：李曉莉）