PBL主題拓展教學：完善學生數學思維結構的一種有效路徑

一、釋義：PBL主題拓展教學的內涵詮釋

PBL是Problem－Based Learning的縮寫，是指基于問題的學習。PBL主題拓展教學是指根據學生的年齡特征和認知經驗，圍繞有價值的教學主題，由教師精心設計問題或師生合作提出問題，并通過超級鏈接不斷拓展相關聯的未知領域，開闊學生的視野，使他們形成新見解。這一過程能充分調動學生的認知能力和思維能力，有助于學生把分散的、零碎的知識點統整起來，從而使他們的思維結構更加完善。PBL主題拓展教學有五大特性：

第一，主題的種子性。主題是種子，它的確立基本上決定了PBL主題拓展的深度和廣度，因而應依據學生的認知水平和生活經驗來確定，應凸顯其豐富的內涵和核心價值。

第二，問題的驅動性。美國教育家尼爾·博斯特曼說：“一旦你學會了提問，掌握了提出有意義的、恰當的和實質性的問題的方法，你就掌握了學習的技巧。”PBL主題拓展教學以一個或多個問題的解決為驅動力，促進學生主動參與學習，使問題真正成為他們研究和探索的出發點和歸宿。

第三，活動的互動性。PBL主題拓展教學關注學生的全身心投入，主張為學生提供廣闊的合作探究空間和必要的“腳手架”，并在問題解決的關鍵處給予點撥和引領，幫助學生在研究中提升能力、積累經驗，最終尋得解決問題的方法。

第四，內容的系統性。荷蘭教育家弗賴登塔爾說：“數學是系統化了的常識。”PBL主題拓展教學引導學生以主題為載體進行超級鏈接，將相關聯的內容串成鏈、織成網、結成塊、聚成球，由點到線、由線到面、由面到體地編織自己的數學系統和經驗系統，不斷形成自己系統化的數學思考和觀點。

第五，思維的延展性。德國數學家康托爾說：“數學的本質是自由的。”學生的思維在自由的狀態下才能自由地生長。以PBL主題拓展教學為中心進行思維的延展，可以是線性延展形成思維通道，可以是圓形延展形成結構化思考，也可以是球形發散形成立體化生長。

二、探源：PBL主題拓展教學的價值建構

教學觀念的全面開放。PBL主題拓展教學以問題驅動，以主題將課內外、各學科零散的、單一的素材統整起來，逐步構成“集成塊”；將與主題相關聯的知識進行超級鏈接、精細加工，并對其進行深度挖掘與深入理解，促進學生舉一反三、觸類旁通。

學習方式的全景融合。PBL主題拓展教學不但對教學內容進行系統化的融合與補充，還改變了課堂教學的面貌，呈現出開放與自由的特點。在PBL主題拓展教學中，課內外都成了學生研究與學習的場所，促使他們用數學的眼光去發現和研究課堂之外的數學問題，用課內學到的數學知識去解釋生活中的現象。

思維認知的全息編碼。PBL主題拓展教學的核心是發展學生的思維。它從主題出發，以問題節點為脈絡主動發散，形成縱橫交錯、有機互補的新主題，隨著一個個不同主題的拓展，每個主題之間又生長出新的問題節點，從而不斷補充學生原有的結構體系，逐步完善學生的認知結構和思維結構。

三、尋繹：PBL主題拓展教學的智性實踐

（一）構建PBL主題拓展教學的問題情境場域，激活學生數學思維的外部環境

1.找準核心問題，激發學生思維的內部需求。

核心問題是一節課中最重要的問題，它可以是一個或幾個，可以是教師精心設計或師生合作共同提出的。在教學時，可以通過核心問題推進教學過程不斷聚焦生成，激活學生個體不同的內在思維，再通過多維互動使拓展生成的資源圍繞主題逐漸條理化，從而使學生的思維結構更具豐富性、具體性、開放性。如教學蘇教版六上“長方體和正方體”后，可以設計PBL主題拓展課《一張白紙中的數學》：

教師引導學生提問：就這張白紙而言，從數學的角度，你可以提出哪些問題？

學生提出問題如下：這張白紙的周長是多少？重量是多少？長和寬的比是多少？厚度是多少？它能寫多少個字？把它做成長方體或正方體，容積是多少？……

師生合作梳理問題。這張白紙本身的問題有：長、寬、周長、面積、體積、厚度、重量、表面積……在生活中的問題有：它的成本是多少？它能寫多少個字？……在數學上的問題有：在它上面畫最大圓，面積是多少？把它折成長正方體，容積是多少？……

教師以“提出關于一張白紙的數學問題”為該課的核心任務，立刻激活了學生對一張白紙的生活和學習經驗，使他們提出了很多問題。教師及時引導學生對這些問題進行梳理與分類，從而整理出白紙本身及其在生活中和數學上存在的三類問題，促使學生生成的問題資源條理化。這樣，既尊重學生的內在需求，又生成了課堂學習的焦點，徹底激活了學生系統化探究知識的內在需求。

2.聚焦主題脈絡，搭建學生思維的立體平臺。

PBL主題拓展教學以主題為核心建構教學的主干脈絡，一節課可以圍繞一個主題，由幾個不同形式的活動模塊組成，使學生在豐富多彩的活動中自主、合作學習，體驗、感悟和探究主題內容，展示、交流和分享學習成果，從而完善思維結構。如教學蘇教版六下“圓錐的體積”后，可以結合課后習題設計PBL主題拓展課《探索三角板的奧秘》：

提問：可以研究三角板的哪些方面？

模塊一：研究三角板的角。利用三角板的角能畫出多少度的角？你能發現什么規律？

模塊二：研究三角板的邊。三角板的斜邊與直角邊或斜邊上的高有關系嗎？有怎樣的關系？怎樣證明？

模塊三：研究兩塊三角板的聯系。兩塊三角板之間有怎樣的聯系就能確定它們是一對三角板？

模塊四：將兩塊一樣的三角板的兩條相同邊重合拼在一起，能拼出幾種不同的四邊形？

模塊五：將一塊三角板沿其中一條邊進行旋轉，能形成什么圖形？怎樣旋轉形成的圖形體積最大？

教師聚焦學生熟悉的三角板，深度挖掘它的角、邊、面、配對奧秘等有趣的數學元素，激活學生頭腦中的關聯思維，為學生參與課堂教學活動搭建立體平臺，并充分利用各種平臺完善學生的思維結構。

（二）構建PBL主題拓展教學的探究發生場域，催生學生數學思維的動力機制

1.探究路徑多元化，拓寬學生思維的視域。

在PBL主題拓展教學中，面對學生認知和能力“最近發展區”的問題，教師注重引導學生從不同的角度、用不同的思維方式對問題進行探究；強調通過小組討論和全班交流，使學生共享問題探究方法的多元路徑，不斷拓寬學生思維的視域。如教學蘇教版四下“三角形、平行四邊形和梯形”后，可以設計PBL主題拓展課《圖形中的規律》：

問題：像這樣圍100個正方形，需要多少根小棒？

化大為小：從圍2個正方形開始研究，圍2個正方形需要的小棒根數用算式怎樣表示？并說說算式的含義。

回顧：要知道圍2個正方形需要的小棒根數，可以正著想——起點4根多3，起點1根多3多3，也可以反著想——從總根數中去掉重疊的1根。（如圖1）

（圖1）

多維度探究：選擇一種研究方向，合作探究圍100個正方形需要的小棒根數。

教師引導學生化大為小，先從圍2個正方形開始探究，學生借助直觀材料動手操作，并在分享中獲取多元路徑的探索方法，接著自主選擇一種方法進行有序探究，找出規律后順利解決問題。學生在基于實踐的多元路徑的數學活動中進行深度探究，在一定程度上拓寬了思維的視域。

2.探究過程高效化，提升學生思維的經驗。

在PBL主題拓展教學中，學生是探究的主體，教師將主動權還給學生，但學生由于其自身能力和經驗的不足，有時花費很多時間仍探究不出頭緒，抑或探究仍處于淺層水平。因而教師要在學生遇到困難時及時給予點撥，在關鍵處及時進行引領，幫助學生進行自主化且高效化的數學探究，不斷提升學生思維的經驗。如教學蘇教版六下“圓柱的體積”后，可以設計PBL主題拓展課《巧算圓柱體積》：

問題：用兩張同樣大的長方形紙卷成圓柱體，怎樣卷體積比較大？

學生探究：賦值法，假設長 18.84（6π），寬6.28（2π），計算得出沿長邊卷和沿短邊卷形成的圓柱的體積分別為18π2和6π2，所以沿長邊卷體積大。

教師點撥：回顧圓柱體積推導過程，除了可以用底面積乘高的方法計算體積，能否找出別的方法？

推導：如圖2所示，倒下后的近似長方體的底面積是圓柱側面積的一半，高是圓柱的半徑，所以，圓柱的體積＝側面積的一半×半徑。

（圖2）

運用結論：用同樣大的兩張紙卷成圓柱，側面積相等，側面積的一半就相等，而沿長邊卷的圓柱半徑長，所以沿長邊卷體積大。

學生基于經驗用常規方法“底面積×高”分別計算出了兩個圓柱的體積，結果正確但計算過程比較煩瑣。在教師的引導和點撥下，他們接著探究出圓柱體積計算的另一種方法——“圓柱側面積的一半乘半徑”，很容易就解決了較復雜的數學問題。

（三）構建PBL主題拓展多元建構場域，實現學生數學思維的融通跨越

1.縱向拉伸，實現思維由淺入深的建構。

縱向拉伸就是將單元內、單元間甚至跨年級的同類知識內容，按其內在的邏輯關系由簡單到復雜地串成一個知識結構鏈，使學生對知識間的縱向關聯有清晰的認知與把握，并在頭腦中構建起更加精致的知識框架。如教學蘇教版五上“公頃和平方千米”后，可以結合課后習題進行如下PBL主題拓展教學：

習題：按從小到大的順序說說已經學過的面積單位，并說說兩個相鄰單位之間的進率。

學生自主整理形成表格，并生成核心問題：為什么公頃和平方米之間的進率是10000，而兩個相鄰面積單位之間的進率是100？

超鏈接：邊長為10米的正方形的面積是1公畝。

學生自主建構面積單位線性圖（如圖3）：

（圖3）

教師站在整體、系統的高度把握、審視和智慧地處理教材，引導學生自主生成核心問題，并不斷拓展與面積單位相關聯的領域，幫助學生根據知識點的銜接關系在頭腦中形成了一套完整的知識體系，發展并完善了學生的認知系統和數學思維。

2.橫向貫通，實現思維由此及彼的勾連。

橫向貫通就是把與某一知識點具有內在同類特征的相關內容整合成一個知識整體，重在突出知識結構間的橫向關聯性，豐富學生對類結構特征知識內涵的認識和把握，提升學生分類、比較、概括、抽象的能力，從而實現其數學思維由此及彼的勾連。如教學蘇教版五上“平行四邊形的面積”時，可以設計如下PBL主題拓展教學：

回顧：同學們學習過哪些圖形的面積計算方法？它們的計算方法有什么共同之處？

聚焦：長（正）方形的面積＝每行單位面積個數×行數。

提問：能用這個公式求平行四邊形的面積嗎？學生操作形成如下圖4所示的新圖式：

（圖4）

聯系：每行單位面積個數是平行四邊形的底，行數是平行四邊形的高，所以，平行四邊形的面積＝每行單位面積個數×行數＝底×高。

拓展：用這種研究方法研究其他圖形的面積。

常規教學重視面積計算公式的獲得與應用，卻常常忽略度量本質的體現。因此，教師設計上述PBL主題拓展教學，先讓學生初步感受二維圖形的面積是由每行單位面積的個數和行數這兩個維度的量相乘得出的，再讓學生用方格紙上的單位面積度量平行四邊形，不但繼續滲透度量的本質，更以平行四邊形為紐帶，橫向貫通平面圖形面積的計算方法——“每行單位面積個數×行數”，建構其背后共通的思維方式。

3.縱橫融通，實現思維由內而外的生長。

縱橫融通既要關注知識間的縱向拉伸，又要關注知識間的橫向貫通，還要打破橫向和縱向知識的界限，超越原有單元和年段的界限，把視野拓展到整個年級甚至各學段的教學中，形成主次分明、有機滲透、縱橫交織的知識網絡，實現數學思維由內而外的生長。如教學蘇教版五上“多邊形的面積”單元后，可以結合復習內容開展如下PBL主題拓展教學：

提問：我們已經學習了六種平面圖形，它們都有各自的面積公式，你能用其中一種圖形的面積公式代表其他五種圖形的面積公式嗎？

鏈接（如圖5）：長方形和平行四邊形可以看作上底和下底是a的梯形；正方形可以看作上底、下底和高是a的梯形；三角形可以看成上底是0的梯形，因而梯形的面積公式可以代表其他五種圖形的面積公式。

（圖5）

教師打破傳統的結網模式，在轉化六種平面圖形的面積公式上下功夫，學生只要掌握梯形的面積公式，便能順藤摸瓜得出其他五種平面圖形的面積公式，這樣的知識網絡更有利于學生迅速提取和應用，使學生體驗到歸納推理和演繹推理的獨特價值，真正實現知識之間的自然貫通與數學思維的多維生長。

總之，PBL主題拓展教學有助于改進學生的學習方式，充分發展學生的智慧品質，又能讓學生在活動過程中不斷完善思維結構。

注：本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。