《數理邏輯引論》

康宏逵

盡管今天的數理邏輯博大精深，它的第一課仍是古典的狹謂詞演算。這部引論在教學上所要達到的目標也不是別的，就是想貢獻作者執教四十年的經驗，來幫助讀者切切實實上好這第一課。

全書分為三篇。第二篇講古典狹謂詞演算，第一篇講它的子系統命題演算。兩篇布局相仿。每篇以一章作引子，通過典型命題和推理的邏輯分析，自然地得出將在演算的語義學里占中心位置的“重言式”和“普遍有效式”概念。只是當人們對直觀的語義背景有了足夠的領悟，才著手建立作為一形式系統的演算。目前有好些教材只給演算作個大而化之的交代就算了事，這里相反，不憚其煩地解釋了每一公理和變形規則，證明了幾乎一切常見的定理，引進了種種簡化演算的語法規則，如求否定規則、對偶規則、置換定理、演繹定理。只是當人們對演算的細部有了足夠的知識，才轉向現代邏輯研究中更為重要的一步——從總體上討論演算的元邏輯性質，主要是一致性、完全性、可判定性。由于元邏輯常用范式作工具，有關范式預先詳加紹介。

有等詞的狹謂詞演算見于第二篇末章。同一章還論及摹狀詞，論及各種摹狀詞理論的優劣。這為讀者提供了一個機會去熟悉一種有趣的有示范作用的算子。

從前兩篇還可以找到古典邏輯的不同系統和非古典邏輯的兩個例子(多值邏輯、模態邏輯)的描述，然而是畫龍點睛式的。引論的力量不在多而在精。本書對狹謂詞演算的論述始終指向一個系統，務求完整深入。這就是希爾伯特－阿克曼系統。該系統不采用公理模式，變形規則較多較復雜，但也因此不使模糊或轉移難點而使初學者產生“顯而易見”的錯覺。想徹底掌握狹謂詞演算的精致技巧，由此入手倒是大有益的。

作者嚴格表述了他選定的系統，有的地方遠比通常的更嚴格，定義置換規則的添入、謂詞變項代入規則的精確化便是如此。另一方面，他決不過分追求數學上的優雅。書中公式有實例，技巧有動機，證明有指導思想，讀了知其所以然。一些歷來費解的問題，如命題演算的算術解釋何以能證明一公理的獨立性、狹謂詞演算代入規則何以有許多限制、哥德爾完全性定理的證明中全能賦值系何以存在，作者的分析是很精彩、很有啟發性的，而在我們所知道的其他教材里，這類有用的注解多半付諸闕如或者語焉不詳。

本書有論有史。第三篇是十七世紀中葉至二十世紀三十年代的數理邏輯簡史，從古典邏輯演算的萌芽講到集合論、證明論、遞歸論等分支的早期工作，把讀者的視線引向一個新天地。

按作者的分期，數理邏輯先后經歷“初始”、“奠基”和“發展”三個階段。第三篇分章敘述前兩個階段，第二階段尤詳，包括：集合論的創建、公理方法的發展、邏輯演算的建立、證明論的提出及其后果。關于表意語言的出現、數學方法在形式邏輯中的應用、圍繞實無窮而進行的爭論、集合論悖論的發現和消除、分析的一致性問題的提出、希爾伯特方案的受挫、哥德爾的劃時代貢獻等等，均有引人入勝的概述。全篇涉及邏輯學家數十人。另有一頗詳的歷史文獻目錄，附于書末。

在我國，數理邏輯史研究才邁第一步。作者將多年查考史料史書所得的初步結果匯為簡史，是非常可喜的事。他寫的不是年表，不是發明權登記冊，也不是已知事實與陳說的匯編。我們看到，一些新鮮的史實被記載下來了。一些有大影響的觀念、方法、學說的演化線索相當清楚地整理出來了，不盡與流行的說法相符。一些大學者、大學派的學術思想也盡可能明確地作了評價，但并非重述一些不加分析的議論。例如，談到布勞威爾學派，作者認為，直覺主義與構造主義必須分開，與構造邏輯和構造數學更不可混為一談。又如，作者指出希爾伯特的數學思想可疑與錯誤之處雖多，卻不是什么“形式主義”。凡此種種都表現作者的尊重事實和公正。作者自己顯然是一個唯物主義者和實無窮論者——請看書中給與康托爾、哥德爾的唯物傾向和超窮思想的高度評價。可是，他深信保衛科學和保衛哲學應當是歷史研究中兩個互輔的方面。

要發展健全的數理哲學，先得正視數學基礎中一系列尖銳而深刻的哲學問題。本書從歷史角度把問題擺出來了，這就是一個功績。

(《數理邏輯引論》，王憲鈞著，北京大學出版社一九八二年六月第一版，1.75元)