〔美國歷屆數(shù)學(xué)競賽題選〕（之一）答案

1.一個畢達哥拉斯定理的推廣如下:三角形中對著最長的一邊的角是銳角、直角、還是鈍角，分別視該邊的平方是小于、等于、還是大于其他兩邊的平方和而定。對已知三角形而言，列出一個表如下:

可見唯有Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ是直角三角形。答案:D

2.設(shè)直角三角形兩股分別長為a2-b2和2ab，銳角α為對著2ab邊的角。根據(jù)畢達哥拉斯定理，其斜邊h之平方為h2=(2ab)2+(a2-b2)2=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2從圖形和正弦的定義得知有sinx=2ab/(a2+b2)

3.設(shè)P和Q分別為AD同BF和EC的交點，以∠P表示∠FPQ，∠Q表示∠EQP。那么由于四邊形EFPQ的角度的和是360°，而△DPB和△AQC的角度和各為180°，于是有三個方程式∠F+∠P+∠Q+∠E=360°∠B+(180°-∠P)+∠D=180°∠C+(180°-∠Q)+∠A=180°從這些方程式的和的兩邊各減去360°，所求的和數(shù)是∠A+∠B+∠C+∠D十∠E+∠F=360°=90n°所以n等于4，即選擇項(C)。