數(shù)學的挑戰(zhàn)

雷永生

我的老同學李浙生教授多年專攻數(shù)學哲學，在一九九二至一九九五年間連續(xù)出版了《數(shù)學科學與認識論》和《數(shù)學科學與辯證法》兩本專著。這是兩本非常有價值的書，可惜的是，前者系自費出版，印數(shù)極少；后者雖得到資助，但少得可憐，印數(shù)也極有限（作者出版這兩本書，不但沒有得到一分錢的稿酬，反而貼了不少錢），因而看到的人不多。不過，凡是看過這些書的人，不論是否同意作者的觀點，都認為其價值在于求實與創(chuàng)新，特別是提出了許多非常重要的問題，這些問題對于激活人們的思維，無異于一副清涼劑和興奮劑。

這兩本書用極為豐富的數(shù)學發(fā)展史的資料論證數(shù)學與流行的辯證法（由黑格爾為其奠定基礎）和認識論的關系，著力于說明現(xiàn)行的辯證法和認識論所講的規(guī)律不能包容數(shù)學發(fā)展的事實，數(shù)學的發(fā)展及人對數(shù)學的認識有其自己的特殊規(guī)律。

讓我們從書中隨便找?guī)讉€例子來看看吧：

十九世紀，英國數(shù)學家布爾創(chuàng)立了只問命題之真假（真命題取1值，假命題取0值）的二值邏輯。這看來是與辯證法所講的一分為二相符合的。但是，后來二十世紀的邏輯學家創(chuàng)立了三值邏輯（命題除了取1和0兩個值外，還可取1/2值）；二十世紀六十年代，數(shù)學家又創(chuàng)立了模糊數(shù)學和模糊邏輯，它們把命題可分成好多類。這樣，它們與辯證法就不一致了。如果說傳統(tǒng)的數(shù)學和邏輯是一分為二的，那么，模糊數(shù)學和模糊邏輯就是一分為多的。這種發(fā)展表明人類的認識更深入更細致更全面因而也更真實地體現(xiàn)了事物的本來面目。此其一。

概率論這一重要數(shù)學分支不是起源于生產斗爭、階級斗爭和科學實驗的實踐，而是起源于賭博，或者說是起源于對賭博的研究。萊布尼茲曾鼓勵數(shù)學家研究賭博問題，他說：“我希望有一位高明的數(shù)學家能寫一部大部頭著作來對各種各樣的賭博游戲作詳細的、很好的推理論證，這對于使發(fā)現(xiàn)的技術完善化是有很大用處的，人類心靈在賭博方面比在那些最嚴肅的事情上似乎顯得更精明。”萊布尼茲并不嗜賭，但他用數(shù)學眼光敏銳地看到賭博（以及所有的游戲）對于認識的意義，這是非常高明的。本書作者認為，“這一事實表明，游戲、娛樂活動也是認識的來源，也可形成理論”。我們反對賭博，但這并不妨礙我們對包括賭博在內的游戲活動進行深入的研究。在這里，我想到瑞士心理學家皮亞杰以“活動”概念來表述人的認識來源，看來是更為全面的一種概括。此其二。

數(shù)學是最形式化、符號化的科學，因而形式與內容的問題在這里表現(xiàn)得非常奇特：形式常常脫離內容而存在，而且數(shù)學越發(fā)展，它的形式就離內容越遠。這種現(xiàn)象的根源在于數(shù)學與經驗的關系。雖然早期數(shù)學對經驗有很強的依賴性，但它很快發(fā)展了自身的獨立性，當它依靠符號和演繹原則形成了自己的體系時，對經驗的依賴性就逐漸減少，獨立性愈來愈強，進而發(fā)展到這樣的程度：數(shù)學中許多問題的提出和解決，主要依靠邏輯的力量，以至完全變成形式化和符號化的科學。這種現(xiàn)象用傳統(tǒng)的辯證法關于形式與內容的原理是無法解釋的。此其三。

自從黑格爾提出歷史的與邏輯的相統(tǒng)一的原則以來，人們已經習慣于將認識的歷史與認識的邏輯看作是完全統(tǒng)一的。但是，這種觀點在數(shù)學發(fā)展史上卻是不適用的。在數(shù)學史上，認識的歷史與認識的邏輯不一致的現(xiàn)象俯拾皆是。以微積分為例，它的認識邏輯順序是：實數(shù)理論——極限理論——微積分運算；而它的歷史發(fā)現(xiàn)的順序卻是：微積分運算——極限理論——實數(shù)理論，兩者正好相反。其實，這種現(xiàn)象也并非只在數(shù)學中存在，這種現(xiàn)象說明了科學發(fā)展史的復雜性，也表明了人類認識的發(fā)展的豐富性，對這種現(xiàn)象，僅只用幾個抽象的公式、規(guī)律是難以概括的。此其四。

函數(shù)概念、曲線概念和幾何學的發(fā)展表明否定之否定規(guī)律沒有普遍性。最初，數(shù)學家用曲線表示函數(shù)，而十八世紀的數(shù)學家把函數(shù)作為解析表達式；十九世紀的數(shù)學家則認為，函數(shù)是變量之間的關系。就函數(shù)概念的發(fā)展來說，如果把十八世紀以前的將函數(shù)作為曲線的觀點作為正題，那么，十八世紀數(shù)學家將函數(shù)作為解析表達式的觀點就是反題，就是十八世紀以前的函數(shù)觀點的否定。而十九世紀數(shù)學家把函數(shù)看作變量之間的對應關系，則應是否定之否定。然而，在十九世紀的函數(shù)觀點里，既沒有前兩種觀點的融合，也沒有向第一種觀點的回歸，因為這種觀點既是對把函數(shù)作為解析表達式的否定，也是對把函數(shù)作為曲線的觀點的否定。此其五。

舉例至此為止，復述書的內容究竟不是本文的任務。在這里我要向讀者坦述的是我讀過這兩本專著后的感想。

多少年來，在我們這里也曾不斷地鼓噪過“反對教條主義”，但總給人以滑稽的感覺，因為常常是以新教條反對舊教條，所以結果總是舊教條被壓下去，而新教條則大行其道（現(xiàn)在有人甚至把“實踐是檢驗真理的唯一標準”也當作教條）。其源蓋出于把某種理論、原理絕對化，將其封為放之四海而皆準的絕對真理。就像我們的哲學教科書所說的：這里所講的辯證法和認識論的諸原理是關于整個世界，包括客觀世界和主觀世界的普遍規(guī)律。同時它還告訴我們：真理只有一個，除了這里所講的以外，都是錯誤的、資產階級的甚至封建主義的謬誤。既然真理就在這里，我們就地膜拜吧，于是，這些原理也就成了教條。

其實，古今中外，從來沒有這樣的絕對真理。凡是具有科學精神的人都是非常小心地對待自己的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的，都努力尋找自己的理論的邊界即適用范圍，絕不愿夸大它的界限和意義，更不愿將它變成教條。只有那些具有科學野心甚至政治野心的人，才不知天高地厚地賦予自己的理論以絕對性。波普的“證偽”理論奠基于科學真理的相對性之上，認為不能證偽的理論就不是真理，而可以證偽的理論都是相對的。這就從根本上克服了教條主義，因為不論對任何理論都得去研究它的適用范圍。現(xiàn)在，李浙生教授的專著實際上就是從數(shù)學方面證偽了流行的認識論和辯證法，這表面上看似貶低了它們，實際上則是將其放置在更合理的地位上，并且避免了陷入教條主義的危險，這豈不是好事？如果還有人怒氣沖沖地不允許對他們的認識論和辯證法進行證偽的話，那我們只能悄悄地告訴他們：這樣不好，這有使你們的理論變成非真理的危險。