數：宛若人生

柯　耳

擺在我面前的是一本很破很舊的書：《數，科學的語言》，我讀她已經十多遍了，每次都給我無窮的思索和掩飾不住的喜悅。我有一種強烈的沖動，想把她推薦給所有想對數學有所了解的人。

該書作者丹齊克在數學界和數學哲學界都是一位名不見經傳的人物。本書的標題“數，科學的語言”也很容易使人誤認為是專談“自然科學”的，從而令人文學者望而卻步。可是我覺得這本書是用數來詮釋人生，所以書名改為“數，人生的語言”或許更恰當些。

從“譯者的話”看，蘇仲湘先生曾帶著極大的熱情研讀過該書，從中得到的智性上的歡娛或許更甚于我。他認為該書“脈絡清明，條理詳晰，抑且目光四射，取材廣博，兼引文史，莊諧互出?！薄皟热萆鷦訌V博，深淺咸宜，專家們可以從中擷取豐富的材料，青少年和一般讀者可從中得到對數學乃至文化發展的了解，實可有助于窮搜原委，開闊眼界，豐富學養，剖析學理，有助于學習的探求和發展?！北疚脑噲D對貫穿這本書的數與人生的主題作一概要的評述。

人是萬物的尺度

人類在進化的蒙昧時期有一種感知層次上的數覺的才能：當在一個小的集合里邊，增加或者減少一個東西，盡管他未曾直接知道增減，也能夠辨認到其中有所變化。據動物學家觀測，有幾種昆蟲和鳥也有這種“數覺”。但實驗表明，不管是動物還是人，數覺能力都是非常有限的。

那么是什么使我們贏得了用數來表達我們的宇宙的驚人成就呢?丹齊克認為，經歷了一連串漫長的特殊的環境，人類在極為有限的數覺之外，學會了另一種技巧來給他幫忙，這技巧就是計數。正是計數，才使具體的不同質的表達多寡的概念結合為統一的抽象的數概念。前者是原始人的特點，后者則是數學發展的前提。

用什么來計數呢?依據語言學家的研究，數學語言的結構，幾乎是普遍一致的。無論什么地方，人的十根手指都留下了不可磨滅的印跡。我們的十根手指毫無疑義地影響了我們數制基底的“選擇”。除了十進制外，還有其他兩種相當普遍的基底，它們的特征相當普遍地表明了我們計數方法的擬人化性質，這就是五進制和二十進制。五進制起源于慣用一只手計數的民族，二十進制則起源于計數時手指腳趾并用的原始部族。

然而，從現代數學的觀點來看，十進制無論如何都不是一個很好的選擇，如果讓一群專家來選擇基底的話。實用家可能堅持要用有最多因數的數，如十二，大博物學家畢封就曾經提議舉世公用十二進制。數學家則堅持要用質數，例如七或十一之類作基底，如數學家拉格朗日宣稱：用質數作基底有絕大好處!可是，從文化史的觀點來看，改變數制的基底，即使可行，也是極不受歡迎的。計數這一人類精神生活的最重要方面之一，是起源于人類自身。設想要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關節”的禿拳，那么我們會采用什么進制呢?

確定性與不確定性

人的命運可以說從第一位舊石器時代的戰士偶然地被石塊絆倒時起就被說開了。一方面很多宗教都宣揚人的命運前定；另一方面，唯意志論者強調自由意志的作用，好像人的命運完全由自己所把握。當你我處在人生的十字路口，面臨多種選擇時只能選擇其中一條路，所以經常有人感嘆：“假如我當初……”然而由于時間的不可逆性，這種“假如”是根本不存在的，因為每個人的人生只有—條軌跡。這一條道路是上帝決定的還是你自己決定的呢?爭論是無止境的。但是我們從可預見性來看，人的命運的確定性和不確定性并存。數，非常準確地刻畫了我們人類所處的狀態。

自然數序列乃是算術的基礎。算術以其法則的極大普遍性和簡單性，使得最笨的人也能領悟，其道理就在于機械性。丹齊克引用芝諾的話，“說過一遍的話可以永遠重復”，以說明自然數序列的哲學基礎：“當一個動作一旦可能，我們的心靈就能夠設想這個動作的無限次重復。”這就是對將來確定性的把握。

另一方面，質數序列是數論的基石。數論是數學中所有部門里面最最難的一門，其所以難，是因為它含有更多的實驗科學的氣味。數論中很多問題，如哥德巴赫猜想，至今仍在向許多最偉大的數學家的能力挑戰。質數的序列，我們已經證明是無限的，然而若干世紀以來，人們千方百計企圖找出一個適用于所有質數的普遍的數學公式，以便對質數有一個確定的把握，然而各種嘗試都失敗了。我們已經找到的最大質數是2756839－1，然而我們要想找到下一個質數卻不知何時。它不像我們對偶數的尋找，當我們說第n個偶數是2n，那么我們一定知道下一個偶數是2n＋2，對于偶數的序列我們可以心滿意足地說：“我們全都知道了?！睂ふ屹|數倒像我們對明天所作的判斷一樣?！懊魈鞎鎏?，是一種假設；也就是說，我們不知道它是否會出來”(維特根斯坦)。人的命運若說是早已注定的，但我們現在并不能預見將來怎么樣；然而若你說它是不確定的，由于人生的不可逆性，好像早就確定了下來，但這種確定并不是我們自己所能把握的，正像全部質數序列超出我們人類把握的能力一樣。

從微觀上看，這種確定性和不確定性表現在有理數和無理數的小數表示上。有理數等價于無限循環小數。通過把有理數化為小數，我們就得到有理數的循環性，序列的確定性。然而無理數是無限不循環小數。沒有一個無理數的小數表示實質上能被我們準確掌握住的，它意味著不確定性。圓周率的小數表示仍然是數學的一個研究領域，我們只能算到哪兒說哪兒。

持決定論的人認為一切都是必然的，沒有偶然性，“任何一個被我們稱之為偶然性的東西，其惟一的原因都是由于我們缺乏完備的知識”(斯賓諾莎)。在數學上，人們確實曾經嘗試用確定的、有限的方法來把握全部質數序列和無理數，然而一次次我們失敗了。用康托爾的話說，我們對無理數的把握要用到無限算法。黑格爾用“惡無限”來表達對偶然性的厭惡，“總有新鮮的血液不斷循環，這樣下去真會使人發癲”。

然而我們確確實實知道，今天與昨天不一樣，有很多事情是先前未預見到的，也就是說偶然性占據了我們的生活。

丹齊克從狄德金分劃對實數的刻劃為此作了一個非常巧妙的解說。狄德金公理：“若將直線上的所有點分為兩組，使第一組上各點都在第二組各點之左，則有且僅有一點能產生此種分劃法，而使所有各點分為兩組，并使直線截為兩段。”這條公理恰是我們賦予時間以基本性質的一個巧妙解說。我們的直覺能教我們用心理的動作將所有的時間劃分為兩組，即過去與將來，二者互不相容，總括起來則包括了整個的時間永恒。現刻就是分離一切過去和一切未來的分劃：過去的每一瞬間都曾經當過—次現刻。未來的每瞬間轉眼又將是一次現刻，所以每一瞬間本身又都可以作這樣的一個分劃法。然而有理數分劃所產生的有理數和無理數分劃所產生的無理數卻有一個根本的區別。產生有理數分劃的數本身是屬于兩組中的一組，猶如一位政治家分裂一政黨，自己參加了右翼或者左翼；產生無理數分劃的數則完全是黨外的：猶如一個爭論使政黨分裂，爭論本身卻既不屬于左翼，也不屬于右翼。有理數的特點在于它屬于一組，而無理數的特點則恰在于它不屬于任何一組。將它們賦予時間，則有理數說明現在或者是過去產生的結果和延續，或者是將來產生的原因和開始；而無理數卻意味著現在既不屬于過去也不屬于將來，即現在既不是過去的結果也不是將來的原因。丹齊克說：“還有一層，雖然看來是荒謬的，然而在狄德金所用的意義上，現刻則是真正的無理數。因為作為分劃，它既不屬于過去，也不屬于未來。所以在一種以純粹時間為基礎的算術，又如果這種算術是可能的話，則在這種算術里，無理數才是當然之事，而我們邏輯性所努力尋求的原將是致力于建立有理數的存在?！?/p>

人生的確定性與不確定性像一塊金幣的兩面一樣是嵌鑲在一起的!

約束與自由

我們的數學教科書給人的印象是：數學家們幾乎理所當然地從自然數到無理數，又從無理數到超限數。然而丹齊克向我們揭示：數的進化充滿了蒙昧和偏見，健全的判斷經常因效忠于傳統而被淹沒，理性長期屈服于習俗。

縱觀數的進化史，從自然數是“自自然然的數”，到畢達哥拉斯的“萬物皆數”中的數，指的是“有理的”數。畢達哥拉斯學派的一個成員希波蘇斯發現等腰直角三角形的斜邊無法用直角邊度量從而發現了另一種數——“無理取鬧的”數，據說希波蘇斯就因為這一發現被扔到大海里，因為他在宇宙間搞出了這樣—個東西否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。經過若干世紀，人們慢慢接受了無理數，并被認為是實在的一部分，于是把有理數和無理數稱為“實實在在的”數。再后來發現*.1的平方根不是實數，于是取了一個諢名“虛無縹緲的”數，好像數學家在選用這個術語時就自認這種數量的虛幻性了。

到十九世紀，大多數數學家如柯西、高斯等都認為無限只不過是言語上的一個比喻，而決不是數學的對象。然而康托爾經過多年的深思熟慮，將無限劃分為幾個層次，創立了超限數理論。

康托爾說過一句令那些想開拓新的數學領域的人激動不已的名言：“數學的精髓在于它的自由?！睌祵W是真正自由的嗎?自從有數學始，數學家群體正像一般的社會群體一樣總是分裂為保守派和自由派，當我們用3去減2，求2、*.1的平方根，將無限作為完成的整體時，我們都面臨著“可能與不可能”的激烈交鋒。現在我們知道，可能性與不可能性僅有相對的意義，不可能性幾乎永遠是某種限制產生的結果，這種限制通常被傳統神圣化了，以致好像其本性就是如此，一旦除去限制，不可能性就消失了。但是我們每次從不可能到可能的同時又設置了新的不可能性障礙。被認為最富有革命精神的超限數理論打破了“整體大于部分”的信條，但它仍保留了一條最重要的原則：一一對應。

這種限制和自由存在于人類生活的方方面面，從法律到道德，既有一定的限制又有一定的自由。美國詩人弗羅斯特寫道：

一個人堅持認為，

有的東西就是不愛墻壁，

另一個人則堅持

圍墻完好，鄰居和睦。

盡管這兩種說法似乎正好針鋒相對，但這兩者卻都是千真萬確的，人的生活中不能沒有墻壁——對于他們的自由的限制。但同時他們又反對所有的約束，一旦取消了約束，他們就感到快活!

數是我們的尺度

通過除去限制，我們從自然數得到整數、有理數、無理數、虛數，再從有限數到超限數。那么這些數是不是客觀實在的呢?丹齊克認為，除去一切形而上學廢話，除去哲學的行話，“我們稱作客觀實在的東西，歸根結底，就是許多能思維的生物所共有的東西，就是一切能思維的生物所能夠共有的東西”。

對于古希臘普通數學家不能理解的無理數，現在是有文化的人智力的一部分。僅僅一百年前，康托爾創立超限數時還是孤軍奮戰，其阻力曾使康托爾精神崩潰，然而康托爾的無限理論現在已被作為正統數學的基礎，連伽利略、柯西、高斯這些大數學家也不能理解的東西，我們數學系的大學生可以與人津津有味地談論無限的幾個層次了，好像是真的一樣，如果有人持異議的話，恐怕他不能搞這一行了。

今日的實在不過是昨日的幻象，然而它并不是素來如此熟悉的。在某個時代，它也教人迷茫不安，直到后來我們給它一種更為原始的幻象為止，這最后的一種又是曾經經過若干世紀的習慣才變成具體的。丹齊克由此得出他的實用主義哲學，幻象之能存留著，在于它可以幫助我們組織、整理和支配我們的經驗，因而對于人類的生存大有裨益。能夠保持和促進人類的生存的就可以繁榮生長，從而贏得實在性的權利。

這種觀念使我終于理解了科學革命的本質：“一個新的科學真理并不是靠使它的對手信服，并使他們領悟而獲勝的，不如說是因為它的對手終于死了，而熟悉這個真理的新的一代成長起來?！睌祵W家魏爾和波利亞就曾經為數學分析中的一個定理的實在性打賭，其標準就是幾十年后接受該定理的數學家的人數的多寡。

為什么我們要倡導學術自由呢?因為我們要允許新的觀念有一個可能由少數人接受變多數人接受的機會，這樣人類才會不斷進步。所以客觀實在不過是一個民主的選擇罷了。當你因為你視為紅的卻被我視為綠的就宣稱我是一個色盲時，如果不采取服從多數的方法，你又怎能證明你的判斷是真的呢?數，變成了我們的尺度!

當我得出這么—種哲學的時候，又有誰否認我不是因為太熟悉了《數，科學的語言》呢!

《數、科學的語言》【美】T.丹齊克著，蘇仲湘譯，商務印書館一九八五年四月第一版，1.55元。