話說抽屜原理

《晏子春秋》里有一個“二桃殺三士”的故事，大意是：

齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。

這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻上一計：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。

三名勇士都認為自己的功勞很大，應該單獨吃一個桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準備要吃桃子，古冶子說出了自己更大的功勞。公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實不如古冶子大，感到羞愧難當，趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實在丟人，是好漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴；為了維護自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個伙伴都為此而死了，我獨自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。

晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費吹灰之力，便達到了他預定的目的，可說是善于運用權謀。漢朝的一位無名氏在一首詩中曾不無諷刺的寫道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國務晏子！”

值得指出的是，在晏子的權謀之中，包含了一個重要的數學原理——抽屜原理。

什么叫抽屜原理？簡單地說就是：把多于ｍ個物品放到ｍ個抽屜里，至少有一個抽屜里的物品不止一個。更一般地說，把m×n＋1個物品放到m個抽屜里，總有一個抽屜里的物品至少有n＋1個。例如，把7（3×2＋1）本書放到三個抽屜里，不管你怎么放，總有一個抽屜里至少有3（2＋1）本書。在“二桃殺三士”的故事中，把兩個桃子看作兩個抽屜，把三名勇士放進去，至少有兩名勇士在同一個抽屜里，即有兩人必須合吃一個桃子。如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個桃子的羞恥，那么悲劇的結局就無法避免。

抽屜原理雖然簡單，但在數學中卻有廣泛而深刻的運用。十九世紀德國數學家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來建立有理數的理論，以后逐漸地應用到引數論、集合論、組合論等數學分支中，所以現在抽屜原理又稱為狄里克雷原理。

1947年，匈牙利數學家把這一原理引進到中學生數學競賽中，當年匈牙利全國數學競賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個人中，一定可以找到三個互相認識的人，或者三個互不認識的人。”

這個問題乍看起來，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個問題是十分簡單的：

我們用A、B、C、D、E、F代表六個人，從中隨便找一個，例如A吧，把其余五個人放到“與A認識”和“與A不認識”兩個“抽屜”里去，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有三個人。不妨假定在“與A認識”的抽屜里有三個人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認識，那么我們就找到了三個互不認識的人；如果B、C、D三人中有兩個互相認識，例如B與C認識，那么，A、B、C就是三個互相認識的人。不管哪種情況，本題的結論都是成立的。

由于這個試題的形式新穎，解法巧妙，很快就在全世界廣泛流傳，使不少人知道了這一原理。其實，抽屜原理不僅在數學中有用，在現實生活中也到處在起作用，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用。

在我國古代文獻中，有不少成功地運用抽屜原理來分析問題的例子。例如宋代費袞的《梁谿漫志》中，就曾運用抽屜原理來批駁“算命”一類迷信活動的謬論。他寫道：“近世士大夫多喜譚命，往往自能推步。予嘗見人言日者閱人命，蓋未始見年、月、日、時同者；縱有一二，必倡言于人以為異。嘗略計之，若生時無同者，則一時生一人，一日生十二人，以歲記之，則有四千三百二十人；以一甲子計之，止（只）有二十五萬九千二百人而已。今只從一大郡計，其戶口之數尚不減數十萬，況舉天下之大，自五公大人以至小民何啻億兆？雖明于數者有不能歷算，則生時同者必不為少矣。其間五公大人始生之時則必有庶民同時而生者，又何貴賤貧富之不同也？”

費袞指出：把一個人出生的年、月、日、時（八字）作算命的根據，把“八字”作為“抽屜”，不同的抽屜只有12×360×60＝259200個。以天下之人為“物品”，其數“何啻億兆”，進入同一抽屜的人必然千千萬萬，因而結論是“生時同者必不為少矣”。既然“八字”相同，“又何貴賤貧富之不同也？”

清代錢大昕的《潛研堂文集》、阮葵生的《茶余客話》、陳其元的《庸閑齋筆記》中都有類似的文字。然而，令人不無遺憾的是：我國學者雖然很早就會用抽屜原理來分析具體問題，但是在古代文獻中并未發(fā)現關于抽屜原理的概括性文字，沒有人將它抽象為一條普遍的原理。最后還不得不將這一原理冠以數百年后西方學者狄里克雷的名字。

“悟已往之不鑒，知來者之可追?！蔽覈且粋€有十三億人口的發(fā)展中國家，我們辦什么事情都難免要受到抽屜原理的制約，我們的各級領導，在施政決策的時候，是絕對不能對這一原理掉以輕心的。