關于曲線構圖的一點探討

焦莉萍

摘 要 本文通過例題引出在曲線構圖時需要注意的問題并加以總結，隨之用典型題目予以強調應用，以期提高學生利用導數知識解決問題的能力。

關鍵詞 導數應用 曲線構圖 能力提高

中圖分類號：J211 文獻標識碼：A

數學不僅有數的一面，也有“形”的一面。美國著名數學家克萊茵曾指出：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”數學具有廣泛的應用性，其它學科和日常生活都可以找到應用數學解決問題的例子。通過函數圖形來掌握函數的性態也顯得格外重要。隨著現代計算機的發展，很多軟件都可以做到輸入解析式后，立刻顯示出函數圖象來。但是，如何識別機器作圖中的誤差、掌握圖形上的關鍵點、選擇作圖的范圍等問題，并進行人工干預，仍需要我們能運用微分學的方法描繪出函數的圖形。本文就導數在曲線構圖方面的應用做出一點探討，以期提高學生利用導數知識解決問題的能力。值得注意的是，在作圖過程中，除了微分學知識的應用外，還需要應用初等數學的知識及一些基本常識來輔助。

例1 畫出（） = 的圖形。

解：（1）所給函數的定義域為（，+），（） = = 3（）（），得 （）的駐點為 = 。易得， （）在（，1）和（1，）上單調遞減，在（）上單調遞增，且 （）在 = 處取得極小值，在 = 處取得極大值2。可以首先在坐標系內描出點（），（1，2），注意在 = ？處 （）的切線為水平，描繪出 = ？兩點附近函數的單調性。

（2）考慮無限遠端問題，即→時 （）的取值問題，這是一類很容易忽略的問題。→ ， （） = ≈，則有→時， （）→+；→+時， （）→。記為 （） = +， （+） = 。

（3）考察（），對在（1）、（2）里勾畫出的圖形加以修飾。由（） = 得， （）在（，0）上為凹函數，在（0，+）上為凸函數，且點（0，0）為 （）的拐點。

綜上，可以作出 （）= 的圖形（圖1）。①

例2 描繪函數 （）= 的圖形。

解：（1）所給函數 （）= 的定義域為（），（），（） = ≠0。 = 為 （）的間斷點，且 （） = ， （） = +。 = 為函數的鉛直漸近線。

（2）考察函數在無限遠端的取值。 （）= = ，→時， （）→1。即 = 1為函數的水平漸近線。

（3）討論在（），（）內函數的極值問題。由（） = >0≠0（≠），可知 （）在（）和（）內分別單調遞增。

（4）最后利用（）在（）和（）內的符號進一步考察函數的形態。 由（） = （≠），得（）時，（）>0， （）= 是凹的；（）時，（）<0， （）= 是凸的。

綜上，可以作出 （）= 的圖形（圖2）。

根據以上兩個例題，我們可以得出描繪函數圖形的步驟如下：（1）描出特殊點：）間斷點；）無限遠端的點；）圖形與坐標軸的交點。（2）求出（），得到可能的極值點（包括駐點和不可導點），并計算出相應的極值。（3）判斷（）在以可能極值點為端點的區間內的符號，據此判定函數在相應區間上的凹凸性，求出拐點。（4）綜合以上信息，作出圖形。

現在，應用以上知識解決問題：作出 （） = （>0）的圖形。

解：（1）描點。）易知 = 1為 （）的間斷點，且 （）= ， （）= ；）考慮無限遠端，左端 = 0，右端 （）= ；） （0） = 0。

（2）（）= ，令（）= 0，得 = ，且 （）= 。（0，1）和（1，）時，（）<0；（1，+）時，（）>0。點（）為駐點。在本題中，值得注意的是，（） = = ，則有（） = 0，即 = 0也是函數的一個駐點，作圖時需要加以注意。

（3）考慮（）的符號，最終確定函數的圖形。 求出（） = ，令（） = 0，得 = 。（0，1）和（，+）時，（）<0， （） = （>0）是凸的；（1，）時，（）>0， （） = （>0）是凹的。

綜上所述，作出 （） = （>0）的圖形（圖3）。