掌握思維策略 提高解題能力

應用題結構的錯綜復雜和千變萬化，決定了應用題教學不能就題講題，只能借題教給學生一些數學思想方法，讓學生掌握一些分析、解答應用題時常用的思維策略與技巧，使學生能更快、更準確地把握應用題的數量關系，提高思維效率，發展解決問題的能力。本文介紹一些在分析應用題的數量關系時，常用的思維策略與技巧。

一、著眼關系詞語

應用題都是由條件和問題組成的，其中有些條件或問題能表示兩個數量之間的關系。如“紅花的朵數比白花多5朵”、“用去煤的噸數是總數的1/3”、“紅金魚與黃金魚一共有多少尾”等，抓住這些關系詞語，再結合其他條件，就能很快理清題中的數量關系，起到提綱挈領的作用。

例1一個瓶子里裝滿了油，連瓶重950克。倒出一半后重550克，瓶重多少克?

分析與解：對題目中“倒出一半后重550克”這一關鍵句要咬文嚼字。這句話是說，倒出的一半是油，剩下的重550克，它是瓶重與剩下油重的和。把這一句話理解正確了，再抓住“連瓶重950克”一起去思考，可求出半瓶油重950-550=400(克)，一瓶油重400×2=800(克)，即瓶重950-800=150(克)。

例2一艘輪船從甲港開往乙港，行了全程的1/3，離中點還有12千米，甲、乙兩港之間的路程是多少千米?

分析與解：對此題的“中點”一詞要咬文嚼字。中點就是全程1/2的地方，找出這個隱藏條件就不難解答，即可列式為：12÷(1/2-1/3)。

二、抓住對應關系

對應思想是一種重要的數學思想，尋找數量之間的對應關系是解答應用題的一種重要思維方法。在解答歸一應用題、歸總應用題、倍數應用題、分數與百分數應用題以及比例應用題時，不確定數量之間的對應關系是造成解答錯誤的重要原因之一。

例3金光小學有學生810人，其中女生占4/9，男生比女生多多少人?

分析與解：根據題意可列出下列對應關系：

總人數810人——單位“1”

女生人數4/9

男生人數——1-4/9

男生比女生多的人數——1－4/9-4/9

綜合算式：810×(1-4/9-4/9)

例4瓶內原來鹽占水的1/11，加進15克鹽后，鹽占水的1/8。瓶內原來有鹽水多少千克?

分析與解：本題的總量在變，但加鹽前后瓶內的水量不變，于是可把瓶內的水當作單位“1”。原來鹽占水的1/11，加進15克鹽后，鹽占水的1/8，這樣鹽占水的分率從1/11增加到1/8，即增加了(1/8-1/11)，而鹽量增加了15克，因此15克鹽就對應著(1/8-1/11)的分率差。據此，可先求出瓶內的水，再求出瓶內原來的鹽水。

三、運用直觀圖示

有些復合應用題的結構錯綜復雜，數量關系相互交叉，若借助直觀圖形將題目所述情境再現出來或用線段圖表示，就可以變抽象為具體，使數量關系直觀明了，解題思路也就豁然開朗了。

例5有一塊長30米、寬20米的麥田，如果長增加40米，寬增加20米，它的面積將增加多少平方米?

分析與解：由于小學生空間觀念差，此題容易出錯。教師如果引導學生運用平面圖將其具體情境加以再現，問題就清楚了。(如下圖) 例6李亮與李明在銀行里存款若干元，已知李亮的存款是李明的3倍少40元，如果李亮再存入220元，則李亮的存款是李明的5倍，李明原來存款多少元?分析與解：根據題意畫線段圖：李明存款數

從圖中可知，李明存款數的(5—3)倍是(220-40)元。

綜合算式：(220-40)÷(5—3)

四、揭示因果關系

應用題中數量的變化有時存在著一種因果依存關系，即一個量的變化是引起另一個量變化的原因，揭示數量變化的因果聯系往往能幫助我們找到解題思路。

例7一桶鹽水中，鹽占鹽水重量的1/20，加入10千克的水后，鹽占鹽水重量的1/22，這桶鹽水原來有多少千克?

分析與解：題中鹽的重量沒有改變，以鹽的重量為1份，鹽水原來的總重量為20份，后來的鹽水總重量為22份，為什么會增加2份呢?是因為增加了10千克水，由此可求出1份鹽水的重量。

綜合算式：10÷(22-20)×20

五、合理運用假設

指通過合理假設具體條件，使抽象數量關系具體化的思想方法。

例8一個學生上山每分鐘行40米，到山頂后又以每分鐘60米速度按原路返回出發點，求這個學生往返的平均速度。

分析與解：這類問題數量關系比較抽象，學生一時難以找到解答思路，如果引導學生合理假設具體路程，數量關系就具體化了。

解：設從山腳到山頂的路程為120米。

120×2÷(120/40+120/60)=48(米)

六、巧用集合圖形

指通過畫集合圖的方法展現數量關系的思維方法。

例9四年級甲班有38個學生，其中有26人參加羽毛球小組，有18人參加足球小組，有8人兩個小組都參加，那么有多少人兩個小組都不參加?(粵港澳小學數學奧林匹克邀請賽試題)

分析與解：我們可以借助韋恩圖來幫助分析題意。如右圖，長方形表示甲班人數，左邊的圓表示參加羽毛球小組的人數，右邊的圓表示參加足球小組的人數，兩個圓重疊的部分表示兩個小組都參加的人數。由圖可見：兩個小組都不參加的人數=全班人數一至少參加一項的人數，至少參加一項的人數=參加羽毛球小組的人數+參加足球小組的人數一兩個小組都參加的人數。

列式為：38-(26+18-8)=2(人)

七、轉換思維角度

對于某些應用題，我們可以將題目中的已知條件轉換角度，從而使問題得以解決。

例10有三段布一共長96米，已知第一段布的長是第二段布的1/3，是第三段布的1/4。求這三段布各長多少米?

分析與解：將已知條件“第一段布的長是第二段布的1/3，是第三段布的1/4”轉化成“第二段布的長是第一段布的3倍，第三段布的長是第一段布的4倍”，由此可得這三段布的長度。

第一段布的長度是：96÷(1+3+4)=12(米)

第二段布的長度是：12×3=36(米)

第三段布的長度是：12×4=48(米)

八、找準等量關系

有些應用題用算術方法解答要進行逆向思考，給解題增加了難度。這時可采用方程解答，在思維過程中以字母代替未知數，讓未知數與已知數一起參加運算，這樣可以變逆向思維為順向思維，給解題帶來了方便。 列方程解應用題的關鍵是找準等量關系，那么，怎樣找等量關系呢?

1．根據關系句找等量關系。

例11 李明家今年養白兔25只，比養黑兔只數的3倍少8只，養黑兔多少只?

分析與解：設養黑兔x只。

根據“(養白兔只數)比養黑兔只數的3倍少8只”，得3x-8=250

2．運用常量關系或計算公式找等量關系。

例12 A、B兩城相距2590千米，兩架飛機同時從兩城相向飛行，1小時后相遇，甲機每小時飛行650千米，乙機每小時飛行多少千米?

分析與解：設乙機每小時飛行x千米。

根據“速度和×時間=路程”，得(650+x)×2=2590。

3．抓住某一常量找等量關系。

例13一件工作，甲乙兩人合做8小時完成，若由甲獨做要14小時完成。現由甲做了若干小時后，再由乙接著干，完成這件工作共用18小時，問甲乙兩人各做了幾小時?

分析與解：根據“甲、乙兩人合做8小時完成”可知甲、乙兩人每小時共1/8，又根據“甲獨做14小時完成”可知甲每小時做1/14，這樣可求出乙的工作效率為1/8-1/14=3/56。設甲做了x小時，則乙做了(18-x)小時。根據兩人的工作量之和為單位“1”，可列方程為：1/14+(1//-1/14)×(18-x)=1。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。