運用系統(tǒng)論指導乘法口訣的教學

系統(tǒng)論認為，世界上一切客觀事物都處在一定的系統(tǒng)之中，一切研究對象都可以視為系統(tǒng)。系統(tǒng)是由相互聯(lián)系、相互作用的諸要素組成的有機整體。我們可以把乘法運算看作一個系統(tǒng)，它是由表內乘法、兩位數(shù)乘法、多位數(shù)乘法等元素組成。不論是兩位數(shù)乘法，還是多位數(shù)乘法，其運算方法的得出都是在表內乘法的基礎上，綜合運用乘法分配律的結果。因此，乘法分配律是這一系統(tǒng)結構的媒介。

一、如何優(yōu)化乘法口訣教學的整體結構?

表內乘法的教學，說到底就是乘法口訣的教學，但傳統(tǒng)教學比較忽視乘法表，這是不足之處。乘法表是個“寶藏”，具有整體的功能，我們應該給予極大的關注。

系統(tǒng)都是有結構的。結構是指系統(tǒng)中各要素相互聯(lián)系的方式與秩序。乘法口訣的結構有兩種表現(xiàn)形式：一是“小九九”，即2的乘法口訣有2句，3的乘法口訣有3句，4的乘法口訣有4句……9的乘法口訣有9句；二是“大九九”，即1至9的乘法口訣都是9句。人教版的新教材基本上是沿用傳統(tǒng)的“小九九”，所不同的只是把5的乘法口訣放到口訣教學的最前面。

對比“小九九”與“大九九”兩種結構形式，從表面上看，“小九九”只有45句口訣，能減輕學生記憶負擔，實則它有不少弊端。第一，它不易溝通兩類口訣之間的內在聯(lián)系。比如4的乘法口訣只有4句，8的乘法口訣有8句，這兩類口訣之間的聯(lián)系不甚明顯。采用“大九九”則不同，兩類口訣都有9句，8的乘法口訣中的積是相應的4的乘法口訣中之積的2倍。這樣，有利于學生理解記憶口訣，更重要的是有利于學生逐漸形成“事物相互聯(lián)系”的辯證唯物主義觀點，學會科學思維的方法。第二，它不利于除法計算。比如除數(shù)是4的除法，“小九九”中的4的乘法口訣只有4句，顯然不夠用，只好借助5至9的乘法口訣中含有4的口訣，即加一道工序“轉彎背口訣”來補救；而“大九九”則不同，直接有4的乘法口訣(9句)就夠了。第三，難點集中。開始學2、3的乘法口訣只有2—3句，易于理解和記憶，然而越往后學習越難，特別是6、7、8的乘法口訣句數(shù)又多，難于利用口算幫助記憶。而“大九九”則不同，能做到易的不易，難的不難，越是難學的口訣，復習的機會越多。這樣教學，把復習舊知與探索新知有機地結合起來，既能分散難點，又能使學生處于最近發(fā)展區(qū)，“跳一跳就摘到桃子”，讓成功感始終伴隨著學生學習的全過程。

系統(tǒng)的結構安排還有一個秩序問題。如何安排乘法口訣的順序呢?應根據(jù)學生的生活經(jīng)驗與認知水平。采取由易到難的方式進行安排。

綜上所述，為了優(yōu)化乘法口訣教學的整體結構，我們做了兩大調整：第一，改“小九九”為“大九九”；第二，先教1、2、5、9的乘法口訣，因為幾個9與幾個10的乘法口訣聯(lián)系緊密，易于口算記憶，再教3、4、6、7、8的乘法口訣。

二、如何講清乘法口訣的來源?

傳統(tǒng)講解乘法口訣的來源的教學模式是：直觀圖形——抽象成加法算式——改寫成乘法算式——編寫乘法口訣。這樣教學有便于學生理解的一面，但問題在于過于繁瑣、呆板，既浪費了學生的寶貴時間，又不利于提高教學效率，更不利于發(fā)展學生的思維能力和增強學生的學習興趣。

究竟該如何講解乘法口訣的來源呢?我們是從宏觀上構思和微觀上設計兩方面進行思考與教學的。宏觀上構思總的指導思想是：1．乘法表與乘法口訣都是記憶表內乘法的工具，教學中應使兩者密切配合，同時并重，相互促進。2應把復習舊知與探索新知有機結合。3．應使接受式學習與探究式學習相輔相成。4．教學中逐步提升學生的思維水平，即由動作思維、形象思維逐步過渡到抽象思維。微觀上設計是指圍繞總體思路，訂出切實可行的具體教學安排，并根據(jù)各類乘法口訣的不同特點，讓教學有不同的側重點。如1的乘法口訣，重點是改分散教學為集中教學(一次教完)，從而總結出“一幾得幾”的規(guī)律；2的乘法口訣著重利用對子數(shù)(兩個相同加數(shù))之和，編寫和記憶口訣等等。

下面，簡單介紹5與6的乘法口訣教學實施過程。

5的乘法口訣教學時，教師可先請5個學生合排成橫隊，再讓第一個學生伸出一只手。

師：這里有多少個手指?(5個手指)對!有5個手指，我們就說1個5，寫成乘法算式就是1×5＝5或5×1=5。

接著讓兩個學生都伸出自己的雙手。

師：他們一共有多少個手指?為什么?有幾個57

生₁：他們一共有20個手指，因為1個人有10個手指，2個人就有20個手指，有4個5。

又讓3個學生都伸出雙手。

師：他們共有多少個手指?有幾個57

師：5×5=?我要請一個小朋友來當小老師，按算式指揮他們(臺上的學生)伸出手，并說出計算的結果。5×9呢?

師：如何認識這個乘法表呢?其中有一個因數(shù)5是不變的，另一個因數(shù)分別是1、2、3……9，下面的空格填相應的積。現(xiàn)在請同學們填寫表中的積。

(引導學生聯(lián)系數(shù)手指的經(jīng)歷去想相應的積)

師：如何記住這些乘法的計算結果呢?我們的祖先早就用歌訣(即乘法口訣)的形式來幫助記憶，這是我國的“國寶”。這節(jié)課，我們就來學習5的乘法口訣。(板書課題)

師：根據(jù)這個乘法表，應該怎樣編寫乘法口訣呢?如1×5=5，可以編成一五得五；2×5=10，可編成二五一十。會編了嗎?先自己編一編，再同桌交流，看誰編得好。

學生匯報自己所編的口訣。教師整理并板書口訣。

師：計算下圖中的蘋果總數(shù)，你可以用哪些方法?用了哪句口訣? 引導學生說出四種算法：5+5+5+5=20，4+4+4+4+4=20，4×5=20，5×4=20。都用了同一句口訣，即四五二十。

師：五七三十五這旬口訣，能解決哪些算式的計算?

師：既然口訣的作用這樣大，誰能想出好辦法記住這些口訣呢?比如五九( )?怎樣記?

生₂：我是用手指記的：9個5就想到是4個人和1只手的手指總數(shù)，因此得五九四十五。

生₃：也可以想成10個5得50，再減1個5，得45。

這樣教學的側重點是以手指作為記憶5的乘法口訣的工具，學生易于理解，便于記憶，從而感受到乘法口訣易學，進而激發(fā)學生學好乘法口訣的信心與興趣。

教學6的乘法口訣時，教師可先復習一六得六、二六十二、三六十八……五六三十的口訣，并讓學生發(fā)現(xiàn)：每一句口訣中的積都是前一句口訣中的積再加6。再教學六六的乘法口訣時，引導學生推導出：因為5個6相加得30，再加1個6得36，所以六六三十六。類似地教學六七四十二、六八四十八的口訣，然后讓學生填寫下表。

根據(jù)已填好的上表，引導學生觀察、思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：6的乘法口訣中的積是3的乘法口訣中相應積的2倍。

這樣教學的側重點是把復習舊知與探究新知有機結合，既能溝通同一類口訣之間的聯(lián)系，又能溝通不同類口訣之間的聯(lián)系，還能培養(yǎng)學生觀察、比較、探索、推理、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。

三、如何熟記乘法口訣?

表內乘法是乘除法的重要基礎，需要每個學生熟練掌握這一計算技能。如何熟記乘法口訣呢?多渠道、多形式的練習，是熟記口訣行之有效的重要途徑。但單純、枯燥的計算與練習，會使學生感到乏味、厭倦，因此練習中應多一些思維含量，增加一些趣味性、挑戰(zhàn)性、人文性和實用性。

1．充分發(fā)揮意義識記的功能，熟記乘法口訣。

意義識記是指要對識記的材料進行理解，就必須通過積極的智力活動，使新材料轉化為已有知識的組成部分。只有理解了的知識，才能記得準、記得牢、用得活，即使暫時忘記了，也可以用推理的方法喚起記憶。為了幫助學生理解、記憶口訣，我們著重抓以下四點：

(1)運用聯(lián)想記。如2的乘法口訣，可以聯(lián)想到相應“對子數(shù)”的和去記憶。

(2)按照規(guī)律記。如1的乘法口訣的規(guī)律是：1個幾就是幾，即一幾得幾。

(3)溝通聯(lián)系記。如8的乘法口訣忘記了，就可根據(jù)相應的4的乘法口訣中的積的2倍去記。

(4)利用手指記。手指是人人都有的天生計算工具。5的乘法口訣可用手指記憶，如5個7是多少可以想成3個人與1只手的手指總數(shù)，就可順利得出五七三十五。 值得注意的是：低年級學生機械識記占優(yōu)勢。練習中，教師應充分利用這一特點，常用誦記口訣的方法讓學生記憶。我們反對讀口訣時，像“小和尚念經(jīng)，有口無心”，我們主張邊讀、邊想、邊記。誦記口訣形式要多樣，且生動有趣。

2．通過各種形式的練習，熟記乘法口訣。

(1)利用乘法表計算與口訣計算同時并重。練習時還應注意：難記的口訣多練，易記的口訣少練，易混淆的口訣對比練。

(2)重視填空練習。填空練習有三種形式：口訣填空、求算式中的未知因數(shù)和根據(jù)不等式求未知因數(shù)。這樣練習有很多好處：①通過變式練習，熟記乘法口訣；②為除法(包括有余數(shù)除法)求商打好基礎；③有利于培養(yǎng)學生逆向思維能力以及思維的靈活性。

(3)花樣翻新，寓教于樂。根據(jù)學生的心理特征，采用他們喜聞樂見的游戲或競賽形式進行練習，如“開火車”、“對口令”、“找朋友”、“奪紅旗”、“個人奪冠賽”、“找算式得數(shù)的家”、“澆開數(shù)學花”等。這樣能使學生在玩中學，在學中獲得成功的喜悅，培養(yǎng)學生的合作意識與競爭意識。

(4)在練習中開發(fā)學生的智力。練習的主要目的之一就是開發(fā)學生的智力，因此教師應精心設計練習題，以此促進學生智力的發(fā)展。

例如，可以設計多結果的填空題：

這樣練習，既能從不同角度鞏固乘法口訣，又能為分解質因數(shù)作孕伏，還能培養(yǎng)學生思維的有序性。

3．在實際應用中熟記乘法口訣。

數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，也是一種普遍適用的技術。因此，教師應引導學生把所學的數(shù)學知識應用到生活中去，解決身邊的實際問題，培養(yǎng)學生的應用意識與能力，體驗數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用價值。

在5的乘法口訣的教學中。我們設計了如下一些練習題：

(1)這學期初，同學們競選班干部時，得票情況如下：

吳置瑤 李懷遠 潘雅琳

正正正 正正正正 正正正正正

他們各得了多少票?

(2)一個星期上5天課，在5個星期內上了多少天課?休息了多少天?5個星期共有多少天?

(3)唐代著名詩人李白寫了這樣一首詩：

靜夜思

床前明月光。

疑是地上霜。

舉頭望明月，

低頭思故鄉(xiāng)。

小明將這首詩(包括詩的題目)抄了兩次，他一共抄了多少字?

教學實踐使我們深深體會到：充分挖掘現(xiàn)實生活的教學資源進行練習，對于鞏固知識技能，提升思維水平，提高精神品位，感知數(shù)學的價值，增強學習興趣與積極情感，都有著不可忽視的作用。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。