ＧＭ（１，１）背景值重構(gòu)模型在體育中的應(yīng)用研究

摘要：由對(duì)GM(1，1)模型計(jì)算步驟的探討，找出影響該模型預(yù)測(cè)精度的原因，通過(guò)改變其背景值的構(gòu)造方法，提高了GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度。并通過(guò)對(duì)NBA球員的平均工資預(yù)測(cè)，證明了此種方法在體育領(lǐng)域高增長(zhǎng)指數(shù)序列建模過(guò)程中，有著比傳統(tǒng)的GM(1，1)模型更好的實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞： GM(1，1)模型；背景值；預(yù)測(cè)精度；NBA；球員工資

中圖分類號(hào)： G80-32文章編號(hào)：1009-783X(2006)05-0127-02文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

GM(1，1)模型由于需要數(shù)據(jù)少和短期預(yù)測(cè)精度高等特點(diǎn)，被認(rèn)為是灰色理論的核心模型［1］，在成績(jī)預(yù)測(cè)中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，并且取得了不錯(cuò)的效果。但是，GM(1，1)模型本身又存在著很多缺點(diǎn)，例如該模型對(duì)增長(zhǎng)或下降幅度較小且發(fā)展較為平滑的數(shù)據(jù)應(yīng)用效果較好，但對(duì)數(shù)值變化較快的數(shù)列進(jìn)行預(yù)測(cè)，精度便會(huì)明顯下降，不能達(dá)到令人滿意的效果。而在體育某些領(lǐng)域，諸如體育產(chǎn)業(yè)、體育消費(fèi)等近些年發(fā)展迅速，年增長(zhǎng)呈現(xiàn)出百分之幾十甚至百分之幾百的增長(zhǎng)速度，因此，應(yīng)用傳統(tǒng)的GM(1，1)模型加以預(yù)測(cè)，其精度便會(huì)不盡如人意。自鄧聚龍創(chuàng)立灰色預(yù)測(cè)模型以來(lái)，理論研究不斷進(jìn)展，預(yù)測(cè)精度也不斷提高，這些必將可以對(duì)在體育領(lǐng)域的應(yīng)用有所啟示。本文旨在通過(guò)重新構(gòu)造GM(1，1)模型的背景值，來(lái)彌補(bǔ)GM(1，1)模型對(duì)高增長(zhǎng)數(shù)列預(yù)測(cè)精度不高的不足，方法簡(jiǎn)單，并形成程序化，容易被廣大體育工作者接受。

1影響GM(1，1)模型精度因素探討

GM(1，1)模型是用灰色微分?jǐn)M合法建立的單變量一階常系數(shù)微分方程預(yù)測(cè)模型，具體步驟如下［2］：設(shè)原始序列X(0)=｛X(0)(1)，X(0)(2)，Λ，X(0)(N)｝

做1-AGO，得到生成數(shù)列：

X(1)=｛X(1)(1)，X(1)(2)，Λ，X(1)(N)｝

其中X(1)(k)=∑ki=1X(0)(i)

建立白化微分方程：

dx(1)／dt+ax(1)=b

記=a

b

GM(1，1)模型的差分形式（稱灰微分方程）是：

X(0)(k)+ax(1)(k)=b，k=2，3，Λ，N

按最小二乘法求解，得辨識(shí)參數(shù)：

=(BTB)-1BTYN

B=-z(1)(2)1

-z(1)(3)1

MM

-z(1)(N)1

其中背景值：

z(1)(k+1)=12(x(1)(k)+x(1)(k+1))k=1，2，Λ，N-1(1)

原方程的離散相應(yīng)式：

(1)(k+1)=(x(0)(1)-b／a)·e-ak+b／a

還原后有原始數(shù)據(jù)的擬合值為：

(1)(k+1)=(1)(k+1)-(1)(k)

由上述計(jì)算過(guò)程可以看出，擬合預(yù)測(cè)精度取決于常數(shù)a和b，而a和b的求解依賴于背景值z(mì)(1)(k+1)的構(gòu)造形式。因此，背景值z(mì)(1)(k+1)的值成為影響?yīng)獹M(1，1)模型精度的關(guān)鍵因素。原來(lái)的背景值是由（1）式給出的，當(dāng)時(shí)間間隔很小，序數(shù)數(shù)據(jù)變化平緩（低增長(zhǎng)指數(shù)情況）時(shí)，這樣構(gòu)造的背景值是合適的，模型偏差較小。但當(dāng)序列數(shù)據(jù)變化急劇（高增長(zhǎng)指數(shù)情況）時(shí)，這樣構(gòu)造出來(lái)的背景值往往產(chǎn)生較大的滯后誤差，模型偏差較大，因而在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用。

2背景值的重新構(gòu)造方法

由上述分析，背景值的構(gòu)造決定了擬合精度的高低。因此需要采用新的構(gòu)造背景值的方法，以求更加逼近實(shí)際值。由（1）式可以看出，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的背景值是由梯形abcd的面積擬合而成的，由此啟發(fā)，用區(qū)間［k，k+1］上x(chóng)(1)(t)與橫坐標(biāo)軸所圍實(shí)際面積作為背景值z(mì)(1)(k+1)應(yīng)更合適些。為了提高背景值的擬合精度，現(xiàn)將區(qū)間［k，k+1］等分為n個(gè)小區(qū)間，用這n個(gè)小區(qū)間的面積和近似做實(shí)際面積（圖1）。在對(duì)區(qū)間的劃分過(guò)程中，總存在一個(gè)n，使得這n個(gè)小區(qū)間的面積和等于實(shí)際面積［3］。

圖 1

基于以上思想，n個(gè)小區(qū)間的面積和經(jīng)計(jì)算：

Sn=z(1)n(k+1)=12n［(n+1)x(1)(k)+(n-1)x(1)(k+1)］，n=2，3，Λ(3)

故將此作為背景值的構(gòu)造公式。

對(duì)于等分?jǐn)?shù)n，可以由經(jīng)驗(yàn)公式（3）得出

n=∑Ni=2Ri1N-1+(N-1)

Ri=x(1)(i)／x(1)(i-1)，i=2，3，Λ，N(3)

式中：N為序列長(zhǎng)度（原始建模數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)）。

3實(shí)例分析

表 11978—1996年NBA運(yùn)動(dòng)員平均工資增長(zhǎng)一覽表

年份1980198219841986198819901992工資(千美元)1702122753755107501070增長(zhǎng)幅度(%)24.7129.7236.3636.0047.0642.67

考察美國(guó)NBA球員1980—1992年的平均工資（表1）。可以看出，在18年間，由于職業(yè)體育和體育消費(fèi)業(yè)的迅速發(fā)展，球員的工資也隨之迅速增長(zhǎng)，平均增長(zhǎng)率為36%，最高甚至達(dá)到47.06%，屬高增長(zhǎng)序列。利用前5個(gè)數(shù)據(jù)作為原始建模數(shù)據(jù)，分別利用傳統(tǒng)的GM(1，1)模型和改進(jìn)背景值的GM(1，1)模型進(jìn)行建模，來(lái)預(yù)測(cè)1992年球員的平均工資。

將原數(shù)據(jù)進(jìn)行1-AGO處理后代入（3）式，計(jì)算n值為6.535。再將其代入（2）得背景值的計(jì)算公式：113.07［7.535x(1)(k)+5.535x(1)(k+1)］，此時(shí)便有：

B=-259.781

-498.461

-815.811

-1247.981

-1859.621，

=(BTB)-1BTYN=-0.336132

109.66978

由此背景值得到的灰色預(yù)測(cè)模型為：x(1)(k+1)=496.27e0.336132-326.27

重新構(gòu)造背景值的GM(1，1)模型以及傳統(tǒng)的GM(1，1)模型建模得到的擬合值、擬合精度和預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)精度如表2所示。

表 2

年份1980198219841986198819901992原值1702122753755107501070GM(1，1)170192.41267.03370.60514.32713.80990.64精度(%)100.0090.7697.1098.8399.1595.1792.58改進(jìn)后170198.27277.49378.35523.50760.641064.54精度(%)100.0093.5299.0999.1197.3598.5899.49

4結(jié)束語(yǔ)

1由上例可以看出：原始建模數(shù)據(jù)的平均擬合精度，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型為96.20%，而重新構(gòu)造背景值后的GM(1，1)模型的平均擬合精度為97.52%；對(duì)1992年的預(yù)測(cè)值，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度為92.58%，而改進(jìn)后的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度高達(dá)99.49%。

2重新構(gòu)造背景值后的GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的建立，使得高增長(zhǎng)指數(shù)序列的數(shù)據(jù)在預(yù)測(cè)精度上有了不小的提高。該方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單明了，并且形成程序化，適用于許多體育領(lǐng)域，值得推廣。

參考文獻(xiàn)：

［1］邵桂華，孫慶祝，孫晉海.GM(1，1)模型群及其在體育中的應(yīng)用研究［J］.山東體育科技，1996，18(2)：73-77

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[3]譚冠軍.GM(1，1)模型的背景值為構(gòu)造方法和應(yīng)用(1)[J]，系統(tǒng)工程理論實(shí)踐.2000，20(4):98-103.

注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文