反思與實踐同行

一

“圓的認識”，這是小學里常被老師選作公開課執教的教學內容。從各類報刊或網絡中，我們可以搜索到近百份關于這一節課的教學設計。如何教學“半徑、直徑”這兩個概念，在設計教學方案前我思考了3個問題。

第一：成人頭腦中建構的“半徑、直徑”概念是什么?對教學有什么啟示?反思我們成人頭腦中建構的概念，也許對我們的教學不無啟發。

第二：學生現在在哪里?學生應走向哪里?這兩個問題是關于學生學習起點的確定、課堂教學目標的擬定。

第三：傳統教學設計的特點是什么?教學時有哪些不足?

二

課堂教學時，我在學生初步會用圓規畫圓之后，組織學生將圓規兩腳之間的距離確定為3厘米，并在紙上畫下這個圓，認識了圓心。后繼課堂教學實錄如下：

師：我們已經找到了圓心。如果問你，這是一個多大的圓?那怎么說?

(問題的設計，引導學生用自己的語言表述。學生從他們已有的認知出發，應該能說出“半徑”或“直徑”這兩個詞來。至于學生先說“半徑”還是“直徑”，我想這里無先后順序之區別，跟隨學生的發言相機處理。)

生：量它的直徑就知道了。

師：他剛才說了一個詞，是——

生：直徑。

(教師板書：直徑。)

師：那什么叫直徑呢?

生：從一個點向中心引一條直線。

生：從一個邊緣畫到它的對面。

生：把圓對折形成的一條線。

師：看來，現在讓我們用語言來表述什么是直徑，不容易說清楚。如果用筆畫，大家能畫出來嗎?大家試一試，在圓里畫一條直徑。

學生試畫直徑。

師：誰愿意到前面來展示一下你畫的直徑?

一位學生展示畫的直徑，并作介紹：從圓的一端到另一端，而且通過圓心。

師：直徑是一條——

生：直線?……線段!

(當學生說出“直徑是一條直線”時，我選擇了沉默、等待，片刻的停頓，引發學生大腦內部發生認知沖突，繼而在他們自己意識到錯誤的基礎上改變自己的想法，重建觀念。教師追問，促進學生對“直徑是線段”的理解更為深刻。)

師：為什么不說是直線呢?

生：直線是無限長的，而線段的長度是有限的。

師：直徑是線段。我們來找一找它的兩個端點在哪兒?一個端點在——圓上，另一個端點——也在圓上，而且——通過圓心。

師：你知道這條直徑長多少嗎?

生：6厘米。

師：是不是呢?大家用直尺量一量。

學生操作。

師：這是一個直徑為——6厘米的圓。這個圓多大呀?還可以怎么說呢?

生：這是一個半徑為3厘米的圓。

師：他的發言中說了一個詞——半徑。大家能畫一條半徑嗎?

學生操作畫半徑，并展示、介紹所畫的半徑。

師：半徑是一條——線段，它的一端在——圓心，另一端在圓上。這條半徑長多少?你是怎么知道的?

生：6除以2等于3，半徑的長是直徑的一半。

生：我用尺量，半徑是3厘米。

(由于“直徑”的教學處理較為詳細，這里教學“半徑”的處理與教學“直徑”大致相同。學生具有學習“直徑”的經驗支持，比較順暢地建構了對“半徑”的理解。)

師：謝謝你的動手操作，驗證了剛才一位同學發言中談到的半徑與直徑長度之間的關系。我們動手、動口、動腦，認識了圓的——圓心、半徑、直徑。接下來，我們搞一個小比賽。請大家拿好鉛筆、直尺，同桌中左邊的同學畫半徑，右邊的同學畫直徑，在相同的時間內，比一比，看誰畫得多!準備好了嗎?開始!

學生畫直徑、半徑。大約40秒鐘后教師叫“停”。學生匯報：畫半徑的最多畫了11條；畫直徑的，最多畫了7條。

師：誰快呀?

生：直徑。

生：半徑。

生：兩條半徑才能等于一條直徑，就是說，他最多畫了7條直徑，把它化為半徑的話，應該乘以2，那就有14條半徑了。那畫半徑的只畫了11條，差了3條。

師：你的意思我明白了。就是他畫了7條直徑，一條直徑可以看作兩條半徑，那如果算半徑的話，就畫了14條。是畫直徑的贏了，對嗎?

生：對!

(原先設想是比賽結果視課堂教學實際情形而定，誰輸誰贏是次要的．關鍵是引導學生借助這一活動領悟圓的半徑和直徑有無數條。實際教學時，好勝的學生“糾纏”于畫直徑的“贏”了，但他的解釋卻帶來了意外的收獲。學生不僅體會到半徑和直徑有無數條，還鞏固了半徑和直徑的屬性、位置的認識。)

師：這樣的想法有道理，很有意思。誰贏誰輸不太重要，大家有沒有回頭反思一下，如果沒有時間限制，你能畫多少條半徑?直徑呢?

生：無數條。

師：那也就是說，一個圓的半徑有多少條?直徑呢?

生：無數條。

師：它們的長度呢?

生：分別相等。

(以上游戲活動，重在讓學生通過體悟初步建立“難以言說、只能意會”的無限觀念，并通過反思，實現“自反抽象”。)

三

從以上課堂教學片斷的實錄可以看出，在教師的組織、引導下，學生用“自己的理解”建立對半徑、直徑的認識。教學效果如何呢?在上完這節課后，我組織全班學生各自獨立完成了一份練習：

1．用自己的語言描述半徑、直徑。

2．畫圖。

(1)用圓規畫一個半徑為2厘米的圓，并用字母O、r分別標出它的圓心、半徑。

(2)用圓規畫一個直徑為3厘米的圓，并用字母O、d分別標出它的圓心、直徑。

3．判斷。

(1)從圓心到圓上任意一點的距離都相等。( )

(2)兩端都在圓上的線段，叫做直徑。( )

(3)畫一個直徑為4厘米的圓，圓規兩腳間的距離應是4厘米。( )

(4)直徑3厘米的圓比半徑2厘米的圓大。( )

學生練習完成情況如下表：

由以上練習后的統計可以看出：這節課的教學效果比較好。一節課的教學效果如何，影響著我的教學實驗性探索的信心。說實話，做教師，頭腦中總是給自己繃緊著一根弦：教學實驗、教學探索，不能以犧牲教學質量為代價。

就此，引發我對概念教學的兩點思考。

思考之一：小學生獲得怎樣的數學概念?

由前面的分析與實踐可見，小學生獲得的不是那幾句條文式的數學定義，而是豐富的、鮮活的數學概念意象。在概念學習中，學生僅憑單純機械記憶概念的形式定義是不行的。

心理學的現代研究表明：數學概念的心理表征在大多數情況下并非是相應的形式定義，而是一種由多種成分組成的復合物；而且，與形式定義的各個明顯特征，如明確性、一義性、不變性、抽象性等相比，人們關于數學概念的心理表征又具有一些不同的特征。正因為此，人們提出要明確區分“概念定義”與“概念意象”。

所謂“概念意象”，就是指與所說的概念直接相聯系的各種心理成分的總和，包括相應的心智圖像、對其性質及相關過程的記憶等。

數學教學，就是對概念的認識不斷完善的過程，教師和學生通過不斷地構建，尋求達成一致，而這種一致又是建立在豐富的概念意象的基礎之上，即實現概念意象與概念定義的整合。形式定義由于概念意象的補充而變得豐富和生動起來，從而就不再是一種空洞的定義。學生對概念形式定義的理解要以概念意象作支撐，概念意象的建立要把握概念定義中的本質屬性，所獲得的概念定義做到嚴密性與描述性統一，表現為學生能用自己的數學理解表述概念。

思考之二：小學生怎樣獲得數學概念?

已有的研究表明，小學生數學概念的獲得有兩種方式：概念的形成和同化。概念的形成是指學生依靠直接經驗，從大量的具體例子出發，以感覺、知覺和表象為基礎，通過分析綜合、抽象概括，從個別到一般，從具體到抽象，逐步地把握一類事物的本質。而當學生學習新概念時，利用認知結構中已有的概念與新概念建立聯系，從而掌握新概念的本質屬性，這種獲得概念的方法稱作“概念的同化”。一般地說，低年級兒童在學習數學概念時，“概念的形成”用得多一些。

由以上教學案例可以探析學生數學概念獲得的機制。一些數學概念的建構過程，可被看作是相關樸素觀念的澄清過程，即學生對教學前概念向概念改造、提升的過程。所謂教學前概念，就是指學生在教學新概念之前就已持有的概念。學生的這些教學前概念包括了對一些數學問題和現象的自己的看法和理解。他們在自己已有的知識經驗基礎之上，通過與他人的交流活動，澄清自己模糊混沌的認識。教師在課堂教學過程中要以對話的方式，即時了解對學生來說哪些是“教學前概念”，哪些是新學概念，以及這些概念之間是什么關系，且相關到什么程度。特別對教師來說，要“懸置”對學生已有認識的判斷，即不要主觀臆斷學生已經知道了什么。盡管課前可對此作預設與估計，但那是一種假設，教師必須依照課堂教學中實際發生的情形適時調整自己的“想法”。繼而，教師要引導學生用清晰的語言來說明或描述“教學前概念”與“新概念”之間的關系。這一過程，即是教師促進學生對概念建立和理解的過程。

思考，有時是定向的、專題性的，有時又是漫游式的、難以預設的。我在以上對概念教學專題思考的過程中又萌發、生成了以下的思考。

思考之三：如何認識數學概念教學中“文化繼承”與“自主建構”之間的關系?

本課教學中所展現的學生在課前通過各種途徑獲得了有關半徑、直徑的認識也應被視為文化繼承的行為，只是這樣的文化繼承行為不是由教師有意識、有組織地進行的。課堂教學中，通過有計劃、有組織的行動，完善、提升學生的認識，高效率、有質量地完成“文化繼承”。而這樣的文化繼承，又必須通過學生自主的意義建構而得以實現。學生對概念的建構過程，主要是一個“意義賦予”的過程，也即將新的概念或結論納入到學習者已有的認知框架之中。學習，是文化繼承行為，學生的學習生活具有社會性質，學習活動主要是通過個體間的互動得以實現的，而并非是純粹的個人行為，是一個在不同的個體之間(包括學生與學生之間、學生與教師之間)進行表述、交流、批評與反思以及不斷改進的過程。由此，我們可把握文化繼承與自主建構之間的關系。文化繼承，通過學生的自主建構得以實現，而自主建構將文化繼承提升到更高水平、更高層次。

(作者簡介：賁友林，男，1973年生，大學學歷，教齡15年，小學高級教師，南京師范大學附屬小學)

責任編輯：王偉

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。