逐段線性函數(shù)

“我們知道一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖象是一條直線，但是在實際問題中自變量的取值通常有一定的范圍.例如，一盤蚊香長105cm，點燃時每小時燒掉15cm，蚊香點燃后的長度y（cm）與點燃時間t（h）之間存在函數(shù)關(guān)系y=105-15t.這里t的取值范圍是什么？函數(shù)的圖象還是一條直線嗎？”Z老師以這兩個設(shè)問開始了今天的數(shù)學(xué)講座.

小清說：t的取值范圍是0≤t≤7，函數(shù)的圖象是一條線段，如圖1.

Z老師說：對.下面我們來作函數(shù)y=|x+1|-|2x-1|-x的圖象.在函數(shù)的表達(dá)式中含有絕對值符號，該如何作出它的圖象呢？

W同學(xué)說：通過對x的取值的討論，化去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù).對于x+1來講，當(dāng)x≥-1時為|x+1|，當(dāng)x≤-1時為-（x+1）；對于|2x-1|來講，當(dāng)x≥1/2時為2x-1，當(dāng)x≤1/2時為1-2x. x的取值該分幾種情況來討論呢？是4種嗎？（W同學(xué)把話停住了.）

H同學(xué)說：我認(rèn)為應(yīng)分三種情況，即x≥1/2，-1≤x≤1/2，x≤-1.可利用數(shù)軸來幫助理解.見圖2.計算的結(jié)果是：當(dāng)x≥1/2時，y=-2x+2，圖象是一條射線；當(dāng)-1≤x≤1/2時，y=2x，圖象是一條線段；當(dāng)x≤-1時，y=-2，圖象是一條射線.在同一直角坐標(biāo)系中，這三部分組合成函數(shù)y=x+1-2x-1-x的圖象，如圖3.

小清說：函數(shù)的圖象是一條折線，我想只要找出四個點，就能作出.線段的兩個端點，又分別是兩條射線的端點，即（-1，-2），（1/2，1）算兩個，它們是折線的折斷點.再分別在兩條射線上各取一點，過這四個點就能畫出折線.作圖的過程可簡化為：①列表：②找點（-2，-2），（-1，-2），（1/2，1），（1，0）.③畫線.

Z老師說：你們分析得都很好.在本題中，絕對值符號中都是一次多項式，x的次數(shù)最高是一次，這樣的函數(shù)稱為逐段線性函數(shù).它的圖象是一條折線（證明略）.剛才小清又提供了畫折線的簡便方法，很實用.提出折線的折斷點，也很形象.作出了函數(shù)的圖象，引申出很多新問題.解方程x+1-2x-1=x，怎么辦？

S同學(xué)說：該方程就是x+1-2x-1-x=0，解就是函數(shù)y=|x+1|-|2x-1|-x當(dāng)y=0時x的值，圖象上表示為直線y=0（x軸）與折線交點的橫坐標(biāo)，是1和0.

Z老師說：利用上述結(jié)論，形數(shù)結(jié)合，常給解題帶來便捷.請看題：適合關(guān)系式3x-4+3x+2=6的整數(shù)x是.（1998年希望杯競賽題）

W同學(xué)說：我想先求出方程的解，進(jìn)而求得整數(shù)解.化簡方程得x-4/3

+|x+2/3|-2=0，作出函數(shù)y=|x-4/3|+|x+2/3|-2的圖象.找四個點（見右表），得圖4.由y=0得-2/3≤x≤4/3.所以，所求整數(shù)x為0和1.

Z老師說：請再看題：若x1，x2都滿足條件2x-1+2x+3=4，且x1＜x2，則x1-x2的取值范圍是.（2004年山東省競賽試題）

L同學(xué)說：與上題類似，原方程化簡得：|x-1/2|+|x+3/2|=2，找四個點，

作出函數(shù)y=|x-1/2|+|x+3/2|的圖象，得圖5.方程的解是折線與直線y=2的交點的橫坐標(biāo)，為-3/2≤x

≤1/2，于是有-3/2≤x1＜x2≤1/2，所以-2≤x1-x2＜0.

H同學(xué)問：L同學(xué)與W同學(xué)的解法不同，對不對呢？

Z老師說：兩種解法實質(zhì)是一致的.關(guān)鍵是弄清方程解的幾何意義.再看題：使方程x-1-x-2+2x-3=c恰好有兩個解的所有實數(shù)c為 .

小清說：這是解方程的逆向問題.先作出函數(shù)y=x-1-x-2+2x-3的圖象，確定5個點（見右表）.圖象如圖6.實數(shù)c使方程恰有兩個根，由于方程的解是直線y=c與折線的交點的橫坐標(biāo)，解的個數(shù)就是交點的個數(shù)，這說明直線y=c與折線有且只有兩個交點，顯見有兩種情況，即1＜c＜3或c＞3.（你看出來了嗎？）

Z老師說：這是一道極值題，x+1+x-2+x-3的最小值是1998年江蘇省競賽題）試問最小值在圖象上如何體現(xiàn)出來？

H同學(xué)說：就是圖象上最低點的縱坐標(biāo).因此，我作函數(shù)y=x+1+x-2

+x-3的圖象，找5個點（見右表），其中（-1，7），（2，4），（3，5）為折斷點，作出圖象如圖7.當(dāng)x=2時，y=4是最小值.但我有一個疑問，找5個點，畫個圖，從圖上看出的結(jié)果一定對嗎？

Z老師說：我們沒有對x的取值進(jìn)行討論，好像缺少嚴(yán)密的推理過程，使你產(chǎn)生疑問是可以理解的.但我們應(yīng)用的是問題的一般情況的結(jié)論，肯定是正確的.而“形數(shù)結(jié)合”是解題的一種重要策略，加上又是填空題，只要寫出正確的結(jié)果，這當(dāng)然是一種既省時又省力的好辦法.不過本題還有一種更簡便的解法，若數(shù)軸上的點X表示數(shù)x，點A表示數(shù)a，x-a表示點X到點A的距離.本題轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上有點A、B、C分別表示數(shù)-1，2，3，在數(shù)軸上找一點X，使該點到A、B、C三點的距離的和為最小，顯見B點作為X點即為所求.所以，所求結(jié)果就是線段AC的長，為4.

這是2000年江蘇省的一道競賽題：已知x+2+1-x=9-y-5-1+y，則x+y的最小值為，_______最大值為._________

W同學(xué)說：考慮函數(shù)z=x+2+1-x，選四個點，圖象見圖8，所以z≥3.再考慮函數(shù)z=9-y-5-1+y（注意：y表示自變量）.列表，圖象見圖9，所以z≤3.由已知條件x+2+1-x=9-y-5-1+y，得：x+2+1-x=3，9-y-5-1+y=3，于是-2≤x≤1，-1≤y≤5，所以x+y的最大值為1+5=6，最小值為-2+（-1）=-3.

小清說：老師，受你剛才的啟發(fā)，x+2+1-x=x+2+x-1，最小值為3，當(dāng)-2≤x≤1時取得.同理y-5+y+1的最小值為6，當(dāng)-1≤y≤5時取得.因此9-y-5-1+y的最大值是3，當(dāng)-1≤y≤5時取得.這樣也能得到上述結(jié)果.大家聽了都頻頻點頭，表示贊同.

Z老師說：今天討論的題中還有能用這種方法解決的嗎？請大家思考.

責(zé)任編輯/王寫之

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。