對一道課本例題的探究

課本例題蘊含著豐富的內(nèi)容，我們不能簡單地一解了之.下面以義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》九年級的一道例題為例，談談如何進行深入的探究，以獲取更多的收益.

已知：如圖1，△ABC的3個頂點都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，△ABE與△ACD相似嗎?為什么?

分析：要確定△ABE與△ACD是否相似，我們應根據(jù)問題的條件，仔細地觀察所給的圖形．不難發(fā)現(xiàn)：由于AE是⊙O的直徑，所以它所對的圓周角∠ABE是一個直角，因此，∠ABE與△ACD中的∠ADC相等.∠AEB與∠ACD都是弧AB所對的圓周角，這兩個角也相等.根據(jù)“有一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，這兩個三角形相似”可以知道：△ABE與△ADC相似.(解略)

反思：(1)例題中所給出的△ABC恰好是一個銳角三角形，如果是一個鈍角三角形或直角三角形(如圖2，3)，其他條件不變，△ABE與△ACD還相似嗎?

(2)要說明圓中的三角形相似，往往是借助于圖形中隱含的圓周角、圓心角之間的關系；對本題的解答，我們要靈活地抓住它的基本圖形，這樣在解決其他問題時，也能夠觸類旁通，舉一反三.

(3)本題中，既然△ABE與△ADC相似，根據(jù)相似三角形的性質可知：這兩個三角形的對應邊成比例，那么這兩個三角形的邊存在著怎樣的關系呢?我們不妨試著做一做：

∵△ABE∽△ADC，

∴AB/AK=AE/AC，

∴ AB·AC=AD·AE.

實際上，無論圓的內(nèi)接三角形是什么形狀，在本題條件下的△ABE與△ACD都能夠相似，也存在著AB

·AC=AD·AE的關系.

拓展：三角形的任意兩邊之積等于第三邊上的高與這個三角形外接圓的直徑的乘積.

應用：運用這個結論，可以使有的問題解答思路簡潔、明快.

例1已知：如圖4，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是△ABC的高，AC=6，AB

=8，⊙O的半徑為6.求高AD的長.

分析：⊙O的半徑為6，則⊙O的直徑為12.根據(jù)“三角形的任意兩邊之積等于第三邊上的高與這個三角形外接圓的直徑的乘積”，只需要過點A作出一條直徑就可以建立相似三角形，使問題得以解決.

解答：作直徑AE，連接BE.

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ABE=90°(直徑所對的圓周角是直角).

∵∠ADC=90°，

∴∠ABE=∠ADC.

又∵∠AEB=∠ACD(同弧所對的圓周角相等)，

∴△ABE∽△ADC，

∴AB/AK=AE/AC，

∴AB·AC=AD·AE.

∵⊙O的半徑為6，

∴⊙O的直徑AE為12．

∴12AD=6×8.即：AD=4.

說明：應用這個拓展結論解題時，有必要再進行一次證明．

例2 已知：如圖5，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．

(1) 求證：AC·BC=BE·CD.

(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長.

分析：(1)只需要證明△ADC

∽△ECB就可以了；(2)由(1)知：要求直徑BE的長，關鍵在于分別求出AC、BC、CD的長．

解答：

(1)證明：連接CE.

∵BE是⊙O的直徑，

∴∠BCE=90°(直徑所對的圓周角是直角)．

∵∠ADC=90°，

∴∠BCE=∠ADC．

又∵∠BAC=∠BEC（同弧所對的圓周角相等），

∴△ADC∽△ECB.

∴AC/BE=CD/BC，

∴AC·BC=BE·CD.

(2)解：∵∠ADC=90°，

責任編輯/王寫之

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。