教學中設計數學探究性問題的幾個案例

李瑛華

數學探究即數學的探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的過程.數學探究力即觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探究適當的數學結論或規律，給出解釋或證明的能力.數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力，有助于發展學生的創新意識和實踐能力.

但是在數學教學中不是任何內容都能有效地運用探究的方法去組織教學，探究性的問題質量直接關系到學生的學習效度和探究取向，教師應把握好時機，精選出一些富有挑戰性，能激發起學生探究興趣，且可使學生在探究之后能獲得成就感的數學問題來組織探究式的課堂教學.下面是我教學實踐中設計數學探究性問題的幾個案例：

例1:在平面幾何中，一個極為普通的結論：兩點之間距離最短，它在課本中是作為公理出現的，但這一公理在以后的推論過程中卻與物理學中的光學現象發生了聯系，其原因是：光線傳播時走最短路線.在幾何課本中有這樣一個實際問題：在鐵路a的同側有兩個工廠A、B，要在鐵路邊上建一貨場C，使得A、B兩廠到C的距離之和最小，求C點的位置.

在教師設計出這一問題的解之后，再從光學角度設計下列問題：設光線從A點出發，經鏡面a反射后到達B點，試做出光線的傳播路線圖.學生就會發現這兩個圖完全一樣，此時他們自然會提出諸如以下的問題并能夠積極地展開探索活動：

問題1:光線從A點射向鏡面a，反射光線與已知直線b：①平行；②垂直，試畫出光線傳播圖.

問題2:自己設置一些使光線隨意反射傳播的問題.

問題3:如果設太陽光線平行地射向地球，試設計一個太陽灶.（材料：平面鏡，玻璃刀，鋼絲架，玻璃膠等.）

學生的這一興趣能使課堂探究延續到課外，去動手搞些小制作，這又有利于提高他們的創造能力和動手能力.

【設計感悟】20世紀科學發展的一大特點就是交叉學科的不斷涌現，科學發展呈現出既綜合又分化的趨勢.數學作為工具學科，在中學課程中就與其他許多學科具有很大的關聯性.教師深刻挖掘數學內容與相關學科的這種聯系，選擇聯系較強的內容，設置探究情境，呈現給學生，就會引起他們極大的探究熱情，而且在探究這種問題的同時，對數學的內容和它的方法也能有較深刻的認識，學生在提高探究能力的同時，還可對相關學科的研究與學習也產生促進作用，真正起到數學的工具性學科的作用，但這些問題一般是隱藏在數學問題之中，因而需要教師在教學設計時做認真的挖掘和鉆研工作.

例2：在學習“圓和圓的位置關系”時設計了一個循序漸進的探究問題：

問題1：我們生活在豐富多彩的圖形世界里，圓與圓組成的圖形更是我們生活中常見的畫面.例如，自行車的兩個輪子、奧運會的會標、美麗的雙魚圖、天體中的“日環食”照片等，都反映了圓與圓的畫面.請問你在生活中還見過這樣的例子嗎？

本設計展現生活中圓與圓組成的圖形，并由學生舉出實際例子，豐富學生對客觀世界中兩個圓之間有著多種不同的位置關系的感知，為學生自主探索提供可能.

問題2：由于圓與圓大小異同的多種不同位置，構成了多姿多彩的畫面.你知道兩個圓有幾種不同的位置關系嗎？請你模仿直線與圓的位置關系，根據公共點多少的情況畫一畫看.

這里不直接給出兩圓的5種位置關系，而先讓學生畫一畫，實質上是創設活動意境，讓學生按公共點的個數把兩圓的位置關系分類，從而描述兩圓相離、相交、相切的位置關系.有利于各類學生主動參與教學活動，從而獲得不同色彩的“知識”.

問題3：試一試，你能不能講出兩圓共有幾種位置關系？

設計讓學生運用語言來表述數學知識，訓練學生的概括和表達能力，增進對數學知識的理解.最后讓學生閱讀課本兩圓位置關系定義，通過比較和對照得到綜合的規律.這樣學生對兩圓位置關系的印象將更深刻.

問題4：畫外離的兩圓，把其中一個圓的半徑逐漸變大，這時又有什么現象發生？這些現象之間有相互的聯系嗎？

通過這個問題的探究，讓學生進一步感知圖形的位置關系與數量關系互相依賴，從數量關系刻畫出位置關系的一種簡明的符號語言，并得到兩圓5種位置關系的判定和性質.最后再讓學生結合課本中的內容，把探究結果綜合，使知識系統化.

【設計感悟】數學具有極強的邏輯嚴密性，這一特點決定了數學問題解決有其獨特的思維方法.一種數學思想或方法往往會滲透到不同的數學內容中去，這就使這些不同的數學內容之間以這種思想或方法為紐帶建立了縱向聯系，而在這種縱向聯系中體現了數學的美的特征，因而掌握數學思想方法，對數學問題進行探索就具有極大的魅力，而這種縱向聯系也需要教師帶領學生去進行揭示、探索，因而事先去挖掘這些聯系，就成為探究課選材的一個視角.數學各不同分支之間方法的互用就是一種很普遍的數學事實.如用幾何方法解決代數問題等.

例3：根據以下幾種構成方式，是否能發現一些其他的判定方式呢？

把對平行四邊形5個判定定理列出，并對其結構進行分析，發現前4個判定定理在結構上的特點是：在條件上包含單一的四邊形元素，而且包括了這種元素的全部，這些元素所滿足的條件也相同.如“兩組對邊分別相等”所包括的元素是四邊形的對邊，而且兩組都包括，且兩組對邊所滿足的條件也相同，都是相等.第五個判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”在結構上與前面 4個定理不同，但又有聯系，它只包括了一組對邊，但這組對邊卻要求同時滿足兩個條件：相等和平行.它似乎可以被看作是從前面兩個定理的條件中各取一個.（從兩組對邊分別平行中取一組對邊平行：從兩組對邊分別相等中取一組對邊相等）復合而成，因此，問題情境就已經明確地展現出來了.學生就可用類比拓廣的方式展開探究發現的過程.

【設計感悟】長期以來，在數學教學中，問題解決在教學中得到了足夠的重視，但其實更具挑戰勝，更具魅力的還在于問題的提出，即通過觀察、歸納、類比、一般化或特殊化等方法，依據已有結論，提出新的數學問題，再去利用演繹的方法證明或證偽.在中學數學中蘊含著許多可以拓廣或推廣的問題，可用來讓學生在探究中提出問題.

例4：若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是____（只需寫出一個可能的值）．

本題為策略開放題，過程需學生自己設計．由于四面體的棱長未一一給出，首先需探求和設計符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結論．本題只要求寫出一個可能的值，所以，我們可以盡量構造相對簡單、易求值的圖形．如：底面為邊長為1的正三角形，側棱長均為2．不難算得，此時體積為 .作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形．由于三角形的兩邊之長大于第三邊，所以，組成四面體各個面的三角形中，或者只有一邊長為1，或者3邊長全為1．如果這些三角形中，有一個邊長為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側棱長，共四種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊長為2；三邊長全為2．簡單的考察不難知道，只有最后一種情況是可能的．如果這些三角形中，不存在邊長為1的正三角形，則只可能有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組相對棱的長度為1，其余棱長全為2；只有一條棱長為1，其余棱長全為2．綜上，共3種情況．如圖：

【設計感悟】長期以來，我們的數學教學都在設計和解決那些條件完備且有惟一正確的標準答案的數學問題.這就很容易造成一種錯覺：數學問題就是有惟一正確答案的問題，誤導了學生，也阻礙了其積極參與的熱情.而數學開放題具有題目條件不完備，解題策略多樣化和結論的不確定等特點.開放性問題的引入，給數學教育注入活力，使學生對數學的本質產生一種新的領悟.由于這種多變性，使得學生對數學問題的探究充滿激情，能夠極大地發揮他們的主體作用.在選編開放性問題時，要取材于學生所熟悉的背景問題之中.在引導學生積極探索之后，可以及時地導出一般的結論或據此提出新的問題，以提高學生的概括能力和遷移能力.

（作者單位：山東省寧陽市第4中學）

編輯/張燁

E-mail:hit790205@163.com