從一道探索題折射學生的思維和創新能力

曾炳文

義務教育階段的《數學課程標準》明確規定學生在數學學習中的各種目標，其中之一是要求學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點。下面以本人課堂教學中的一道探索題為例加以闡述。以折射出同學們的發散思維能力和創新能力，從而發映我們要追求的課堂教學景觀。

例：觀察下列正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓點，每個圖案中圓點的總數是S。

n=2，S=4n=3，S=8n=4，S=12……

按此規律推斷出S與n的關系式。

此問題一在課堂上展現，立即引起同學廣泛的興趣。同學們躍躍欲試，紛紛想發表自己的見解。在經過小組合作、思考、討論后，各小組選派一位同學發言。同學A說，S=4n-4，理由是：正方形每條邊上的圓點個數有n個，那么4條邊上共有4n個圓點，扣除4個頂點重復計算各一次，結果有(4n-4)個。他的敏捷思維和流暢的表達得到大家的一致贊許。緊接著同學B說，S=4(n-1)。隨后她自信地走上講臺，在黑板上刷刷地把每個正方形的圓點分成四個部分(如圖(1)所示)。

她發現每部分的圓點數比每條邊的圓點數少1個且數目相同，結果總數為S=4(n-1)。在同學B的啟示下，學生的思維火花得到充分綻放。緊接著，同學C也上臺說，S=2n+2(n-2)，并在黑板上畫出示意圖(如圖(2)所示)。

他的理由是：上、下兩條邊中每條邊各有n個圓點，共2n個。中間每行有2個點，且行數比n少2，結果有2(n-2)個，所以總數S=2n+2(n-2)個。同學D說，正方形是中心對稱圖形，被圖中虛線分開的兩部分的圓點數一樣(如圖(3)所示)，且每部分均為n+(n-2)，所以總數為S=2[n(n-2)]。

同學E說，正方形也是一個軸對稱圖形，能否從軸對稱角度來考慮，經過幾分鐘的思考，他說，S=2[1+2(n-2)]+2(如圖(4)所示)

理由是：被圖中虛線分開的每部分圓點數是1+2(n-2)，根據圖形對稱性，再加上虛線上的兩個點，所得總點數S=2[1+2(n-2)]+2。至此，同學的積極性已發揮得淋漓盡致，大家都在積極思考與眾不同的解法。忽然同學F說，老師我還有一種想法，如果把正方形里面的空洞按規律放上圓點，讓行、列的圓點數一樣，則每個正方形的圓點個數為n²個，而放上的中間正方形的圓點個數為(n-2)²個，所以結果S=n²-(n-2)²。這時，全班同學報以熱烈的掌聲。這位同學臉上也露出了自豪的微笑。

正當大家為同學F叫好的時候，也許是受課堂熱烈氣氛的感染，班上一位平時比較靦腆的同學舉了手說，老師，我發現S是4的倍數，只要把數據分析一下可以看出，當n=2時，S=4=4×2-4；

當n=3時，S=8=4×3-4；

當n=4時，S=12=4×4-4；

不難發現，S=4n-4。

由此可見，課堂良好的氛圍對同學潛移默化的影響是多么大啊!

這時有的同學說，老師，怎么它們的結果的書寫表達式不一樣呢?在老師的適當引導下，同學們明白經過適當的化簡、整理，結果都可以寫成S=4n-4，正好驗證一句成語一殊途同歸。

本節探討的是“歸納—猜想”型題目。這種題目的命題形式是：結合幾個具體的、特殊的數、式或圖形，要求找出其中的變化規律，從而猜想出一般性的結論。它的解題基本思路是：從特殊向一般的轉化。它的具體做法是：(1)歸納：通過對幾個特例的分析，尋找規律并加以歸納；(2)猜想：猜想符合規律的一般性結論；(3)驗證：驗證或證明結論是正確的。

通過本節課的教學，我深深地體會到，只要課堂上盡可能多地提供學生自主、寬松的學習時空和合作交流的學習機會，課堂必然會煥發出生機勃勃的活力。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索與交流的學習活動中，使學生享有廣闊的思維空間，從而迸發出創新的火花。