利用ＴＩ創新探究課堂

　　數學課程標準明確指出：“教材為學生的學習活動提供基本線索，是實現課程目標、實施教學的重要資源?！庇需b于此，教師應該重新認識教材的功能，明確教材只是達到目的的材料，教學時應該根據教材提供的豐富教學資源進行再創造，而不是照本宣科成為教材的機械執行者。隨著教改的不斷深入，探究性學習越來越多被中學數學教師引入課堂。探究性學習的主要目的在于培養學生在數學上的創新精神，敢于質疑、提問、反思、推廣，初步經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，從而親身體驗數學探究的激情；和愉悅。復合函數的有關知識是高中數學學習的一個難點，對復合函數的值域與增減性的分析更讓高一學生感到困難。我以“復合函數的性質”為課題，利用TI圖形計算器輔助教學，進一步探索探究性學習的教學模式。
　　對于剛上高中不久的學生而言，如果僅僅通過教材上的幾道例題，用常規邏輯推理的方法給他們講解復合函數單調性的抽象規律．很多學生往往感到難以理解，最終只能死記硬背復合函數單調性的規律，結果常常是只知其然，不知其所以然，對自己不理解的知識勢必難以靈活運用。借助TI圖形計算器直觀展示函數圖像的功能，學生“眼見為實”，很容易發現和接受教材中提到的復合函數單調性“同增異減”的規律。在教學中，為了讓學生不僅僅停留在“發現”階段，我以復合函數單調性“同增異減”的一種情況“內增外減”為例讓學生對復合函數增減性規律給予嚴格證明，由感性認識上升到理性的邏輯分析，突出了數學學科的科學嚴謹性。
　　
　　一、教學準備
　　
　　在本節課之前，學生已經學習了函數的相關知識、指數函數與對數函數的定義及性質、復合函數的概念等三個方面的相關知識，為建立復合函數模型和研究復合函數性質做了知識上的鋪墊和準備工作。我校是TI圖形計算器實驗校，經過此前兩個多月的課堂實踐與培訓，每個學生已經初步掌握TI—VOYage 200圖形計算器的一些基本操作。
　　
　　二、教學目標
　　
　　1．借助復合函數這個載體，體會，實踐、歸納、總結函數的一般性質及研究的一般方法，探究并掌握復合函數單調性的一般規律。
　　2．培養學生觀察、猜想、從特殊到一般的歸納總結能力，提高學生用數形結合的思想解決問題的意識。
　　3.培養學生研究探索的精神和嚴謹的學習態度，引導學生面對新問題能借助各種工具和資料獲取信息并進行有效分析。
　　4．培養學生的協作意識，發揚團隊精神。
　　
　　三、教學重點、難點
　　
　　重點：以復合函數為背景，研究函數的一般性質和一般方法。
　　難點：復合函數單調性。
　　
　　四、教學設計
　　
　　1．問題引入
　　師：我們已經研究過指數函數和對數函數，這節課我們要來研究復合函數。
　　問題1：什么樣的函數是復合函數? (學生舉例)
　　復習復合函數的定義(幻燈片演示)：一般來講，如果函數y＝f(u)的定義域為M，值域為N，函數u=g(x)的定義域為P，值域為Q，若MIQ=S≠∮，則由y=f[g(x)]所確定的函數y叫做x的復合函數。通常把g(x)稱做內函數，把f(u)稱作外函數，u稱作中間變量。
　　[設計意圖]這一環節通過讓學生自己舉出復合函數的具體實例，使學生直觀感受復合函數的形式特征，并復習復合函數的概念．
　　問題2：對于一個函數我們通常要研究它的哪些方面呢? (定義域、值域、單調性、奇傭性、反函數等。)
　　師：這節課我們就來研究幾個具體的復合函數，探索，歸納復合函數的相關性質及研究這些性質的一般方法。
　　[設計意圖] 提出問題并明確所要研究的具體問題．
　　問題3：選擇什么樣的函數作為研究對象呢?
　　①構成復合函數的函數應該是我們熟悉的簡單函數。
　?、谥恍柽x擇兩層的復合函數即可。
　　根據這兩個原則，我們從剛才同學們舉的例子中選取四個復合函數進行具體而深入的研究。
　　明確了研究對象，學生可以利用圖形計算器開始自己的研究了。研究過程中教師注意引導學生體會研究復合函數與研究簡單函數有什么相同和不同之處，研究復合函數主要采用什么方法、需要注意什么問題等。
　　[設計意圖]由于復合函數的形式多種多樣，為了更好地實現教學目標，在選擇函數時，給予學生適當的指導，以便學生能夠獨立探究。
　　2．學生研究
　　此環節以學生為主體，由學生自主設計復合函數，通過具體實驗研究函數的性質，開填寫實驗報告(表1)。既然本環節是讓學生通過實驗發現、總結規律，就要為他們提供較為稄足的時間做大量、充分的實驗、才能發現研究復合函數性質的一般方法與規律。教學中，我讓每兩個學生組成一個研究小組，每一個小組至少設計并研究三個復合函數的性質。教師在此過程中走到學生中間答疑，或給予適當的指導。時間控制在20分鐘以內。
　　
　　3．交流成果
　　這一環節由學生展示自己的研究成果。教師用投影儀將學生利用TI圖形計算器做出的函數圖像展示到大屏幕上，并板書學生的研究成果，以便學生進一步發現復合函數性質的一般規律(圖1、圖2)。
　　
　　[設計思路]這個環節由學生自主探究復合函數的性質。學生的研究方法可以是各異的：很多學生會利用圖形計算器畫出函數圖像進行直觀的分析和研究，有些邏輯思維能力較強的學生可能舍直接通過解析式進行研究，之后利用圖形計算器進行驗證。
　　教師小結：
　　(1)定義域、值域等性質
　?、偻ǔＳ脫Q元的方法研究復合函數值域問題。
　?、谘芯亢瘮党Ｓ脭敌谓Y合的方法。
　　(2)復合函數單調性的規律
　　①總結復合函數單調性規律：同增異減。
　?、谧⒁馔鈱雍瘮翟诙x域上的單調性不一致時，如何利用外層函數的單調性確定復合函數的單調區間。
　?、垡⒁夂瘮档膯握{區間是函數定義域的某個區間。
　　[設計意圖]歸納復合函數單調性的規律，體現歸納、猜想、證明的思路，培養學生從特殊到一般的猜想、歸納能力。
　　師：復合函數單調性的規律是通過圖像觀察再結合解析式分析得到的，能否進行嚴格的證明?以上規律，你能給予證明嗎?以表2第3行為例(由學生說明之后，幻燈片演示)。
　　
　　求證：若函數u=g(x)在區間A上是增函數，且在A上的值域為B，函數y=f(u)在區間B上是減函數，則復合函數)y=f[g(x)]在區間A上為減函數。
　　證明：設x，為區間A任意兩個變量，且x＜x
　　∵u=g(x)在區間A上是增函數
　　∴g(x)＜g(x)，且g(x)、g(x)∈B
　　又∵函數y=f(u)在區間B上是減函數
　　∴f[g(x)＞f[g(x)]
　　即：y=f[g(x)]函數在區間A上為減函數。
　　[設計意圖]利用函數單調性的定義證明復合函數的單調性，從感性認識上升到理性分析論證，培養學生科學嚴謹的治學態度。
　　4．歸納總結
　　通過前面三個環節的實踐，學生總結出研究復合函數性質的一般方法：換元法和復合函數增減性的一般規律：“同增異減”，并給予證明。板書如下：
　　
　　5.課堂練習
　　課堂練習要注重落實，利用前面總結山的研究復合函數性質的一般方法和規律解決具體問題。
　　(1)復合函數奇偶性與內、外層函數奇偶性的關系，并對結論進行證明。
　　(2)已知函數y=log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數，那么a的取值范圍是_______．______。
　　
　　五、教學細節
　　
　　1．在學生設計函數模型的過程中，教師對學生選擇的復合函數模型給予適當的意見和建議，使得學生設計的函數模型更具有代表性、多樣性、可操作性。同時，在研究復合函數性質時，一些邏輯思維能力較強的學生采用了直接進行邏輯分析函數性質的方法，之后再利用TI進行檢驗，這種方法也應鼓勵。
　　2．在交流研究成果這一環節中，一個學生展示了他研究函數y=log(x+1)²的性質時得到的結論：定義域：(-∞，-1)∪(-1，+∞)，值域：