習題變式中常出現的錯誤

在現階段的中學數學教學中，許多教師為了能更好地訓練學生的思維能力，合理利用教學資源，科學設置問題等目的，都會對教材上的例題和練習題進行適當的改編，也就是習題變式．這樣不僅能豐富教學資源，提高教學質量，同時也有利于教師的自身成長，是一舉兩得的好做法．但是因為一些主觀或客觀的原因導致所編制出來的習題在某些方面有缺陷，不能很好地應用于教學活動中，甚至有一些問題是錯誤的，根本不能使用本文將對數學命題存在的誤區進行粗略探討，以期拋磚引玉，希望能對數學教師編制習題提供一些借鑒．

一、變式中的條件出現問題

1．條件不充分或過剩

例1：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADC交AB于E，連結CE，求證：CE平分∠DCB．

根據題目中現有的條件無法證明CE平分∠DCB．只要在條件中添加CD=AD+BC即可．

例2：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=AD+BC，E是AB的中點，DE平分∠ADC交AB于E，連結CE，求證：CE平分∠DCB．

辨析：題目的條件中“CD=AD+BC”和“E是AB的中點”有其中一個即可，原題的條件過剩．

2．件錯誤，自相矛盾

例3：一個長方體的主對角線長為8，三棱長之和為14，求它的全面積．

誤解：設長方體的一個頂點上的三條棱長為x，y，z，

二、變式中的結論出現問題

1．結論與條件相悖

例4：直線的一條內角平分線，點A(1，2)，B(－1，1)是兩個頂點，求頂點C的坐標．

解：點A(1，2)，B(-1，1)不滿足2x+y-1=0，所以直線2x+y-1=0，是∠ACB的平分線，設A(1，2)關于直線2x+y-1=0的對稱點是A’(a，b)，則A’在直線BC上．求得A’(－7/5，4/5)，直線BC的方程為x-2y+3=0．

辨析：上述解法沒有錯誤，但求得的直線BC的方程x+2y-3=0剛好與∠ACB的平分線2x+y-1=0互相垂直，即此時A，D，C三點共線，這與題設ABC相矛盾．修正方法：調整A點(或B點)的坐標或改∠ACB的平分線的方程．

2．結論是錯誤的或不能由條件得出

例5：已知△ABC，中AD是BC邊的中線，E是AD中點，連結BE并延長交AC于F．求證：AE：EC=1：3．

辨析：作DG∥BE交AC于G，可證得EG=GC，AE=EG；即AE=EG=GC，可得AE：EC：1：2，原題給出的結論是錯的．

三、忽視隱含的內容

例6：如圖，已知正方形ABCD中，AB=4，P是BC上的一點，若△ABP～△PCD，求BP：PC．

辨析：設BP=x，若△ABP～△PCD，則AB：CP：BP：CD，即4：(4－x)＝x：4，x²-4x+16=0，△=b²-4ac=16-64<0，此方程無實根．這道題是無法求解的，因為出題人沒有考慮到該題的特殊情況，△ABP～△PCD是不成立的，可改為△ABP～△DCP．

四、變式中出現錯誤

1．賦值不當

得出結果，但對于原有的式子中的分母而言，x=1使分母為零，分式無意義。可將x的取值改為x=4等其他使分母不為零的值。

2．選擇值編擬不當

例8：△ABC的三個內角A，B，C．若cosA>sinB，則∠C是( )．

(A)銳角 (B)直角 (C)鈍角

(D)銳角，直角，鈍角，都有可能

解：由cosA>sinB，可知A為銳角，又cmA>sin-B→cosA>sin(π/2-B)及余弦函數在(0，π/2)上的單調性，得A<π/2-B→A+B<π/2，故選C．

辨析：命題者的意圖是通過上面解法選C，但上面解法是錯誤的．因為π/2-B不一定是銳角，也可能是負角時，C為銳角；當B為銳角時，C為鈍角；C不可能是直角．修正方法：改“∠C…”為“△ABC的形狀是…”，選擇值的形式也相應修改．

五、變式不夠嚴密，容易產生歧義

1．概念不清

例9：如果函數y=3x²-(2m+6)x+m+3中，y>0，求實數m的取值范圍．

誤解：由題設可知△<0，從而-3

辨析：“y>0”與“y值恒為正值”不能混為一談，y>0是指y能取到大于0的一切實數，而“y值恒為正值”是指x取一切實數，y的每一個取值都必須是正數，至于y是否取到了大于0的一切實數則不一定，實際上

無論m取何值，函數值的范圍都不會為y>0．

2．容易產生歧義

例10：某電腦公司計劃銷售“創新”牌電腦，該電腦的市售價為每臺2880元，成本價是市價的75％，該公司經過技術改造后，提高了電腦的性能，決定了一個新價，以便按新價8折銷售后，可以獲得銷售的28％的利潤．

(1)新價是多少?折價后的售價是多少?

(2)為使公司按新價讓利后獲利總額不低于50萬元，則該公司今年應銷售多少臺這種電腦?

辨析：該題列式并不難，關鍵是對“銷售價”的理解，到底是原來的售價還是“按新價8折銷售后”的售價?事實上學生大多理解為后者，從而該題解答大部分判為。分，為什么不明確地說明是原來的銷售價呢?這對提高學生的數學素養又有什么作用呢?編題題意應該清楚明白，不能含糊，不能玩文字游戲。

3．解法不合常理的試題

例11：每天早晨，張明要做完幾件事：起床穿衣8分鐘，刷牙洗臉5分鐘，煮稀飯13分鐘，吃早點7分鐘，聽廣播15分鐘，整理房間6分鐘，做完這些事再上學，請問張明從起床到上學至少需要( )分鐘．

(A)20分鐘 (D)24分針

(C)26分鐘 (D)28分鐘

辨析：這是個合理安排計劃問題。一般認為：起床穿衣(8分鐘)→煮稀飯(13分鐘)→吃早點(7分鐘)，其他活動如刷牙、洗臉、聽廣播、整理房間可以兼做，一共需要8+13+7=28(分鐘)．但是這份試卷的標準答案卻是這樣的：“起床、刷牙、吃早點、整理房間必備，其他可以兼做”．即：起床穿衣(8分鐘)→刷牙洗臉(5分鐘)→吃早點(7分鐘)→整理房間(6分鐘)，一共是8+5+7+6=26(分鐘)．煮稀飯安排在什么時間進行?如果在起床穿衣之后煮稀飯，時間要花去8＋13=21分鐘，吃早點時間只有5分鐘，不能滿足題設要求．如果起床就洗米、煮稀飯，總的時間控制在26分鐘是可以辦到的，但不穿衣服就做事顯然不合情理，在夏天不穿衣服就煮稀飯尚且可以辦到，在冬天能行嗎?所以這樣解答欠合理．

數學習題的設計是教師從學生的實際出發對教材的深入研究的再創造。這種創造對發展學生的能力，培養學生的綜合素質有著巨大的推動作用．尤其是在新課改的大潮中，新教材為教師提供更廣闊的空間，教師已經成為真正意義上的課程資源創造者．在新教材中可以作為創設教學情境的問題原型比比皆是，只要教師有認真鉆研、積極思考的精神，以現代教學理念和現代教學技術為指導，做一個教學的有心人，就一定能夠創造一片自己的天空．

編輯／張燁

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