“代數式”教學案例

(本課選自人教版《數學》一年級上“數與代數”．)

一、重點、難點

1．在現實情境中理解字母表示數的意義．

2．了解代數式、單項式、多項式的概念．

3．能分析簡單問題的數量關系，并用代數式表示及解釋一些代數式的實際背景或幾何意義．

4．會求代數式的值．

二、教學過程

直知識重點一：

1．用字母表示數或者一些量，還能表示以前學過的運算律和計算公式．

2．已知兩個量之間的關系，通過用字母表示其中的一個量，則另一個量也能用這個字母表示出來．

3．體會字母表示數的意義，形成初步的符號感．

重要提示：

I．用字母表示數可以給我們研究問題帶來很大的方便，用字母表示數是代數的一個重要特點，是數學發展史上的一大進步．

2．在同一問題中，同一字母只能表示同一數量，不同的數量要用不同的字母表示．

3．用字母表示實際問題中某一數量時，字母的取值必須使這個問題有意義，并且符合實際．

[典型例題]

例1：用字母表示下面實際問題：

①行駛中的火車速度為v米／秒，汽車行駛的速度是火車速度的1/3，用V表示汽車速度；

②如圖4．1-1，圓環的面積是多少；

③如圖4．1-2，是用火柴擺出的三角形的圖案，當擺n個三角形時，需火柴多少根?

分析：

①如果是一個數，該題就是求v的1/3是多少，可表示為(1/3)v；

②分別用R，r把大圓和小圓的面積表示出來，用大圓的面積減去小圓的面積就是圓環的面積；

③由圖4．1-2可以發現，當第一個三角形擺完之后，每增加一個三角形就要增加2根火柴，所以擺n個三角形需[3+2(n-1)根火柴．

解：

①汽車的速度可表示為(1/3)v;

②圓環的面積為：πR²-πr²；

③擺成n個三角形需要火柴3+2(n-1)根．

反思：

1．用含有字母的式子表示實際問題時，我們必須弄清實際問題中的數量關系；

2．字母與字母，數與字母相乘可以把“x”寫成“·”或不寫，并把數字寫在前面，如1/3×v寫成(1/3)v，不寫成v(1/3)，同理2×(n-1)寫成2(n-1)．

例2：如圖4．1-3表示一圓形紙板，根據需求，需通過多次剪裁，把它剪成若干扇形面，剪裁過程如下：第1次剪裁，將圓形紙板等分成4個扇形；第2次剪裁，將上次得到的扇形面中的一個再等分成4個扇形；以后按第2次剪裁方法進行下去．

①請你在下面的圓中，畫出第2次剪裁后得到的7個扇形(要求畫圖準確)；

②請你通過剪裁和猜想，將第4次和第n次剪裁后得到扇形的總個數(S)填入下表：

①請你推斷，能不能按上述的剪裁方向，將原來的圓形紙板剪成33個扇形?為什么?

分析：

尋找規律應從特殊到一般，從個別例子中先找出其變化規律．

解：

①略(只要畫圖規范就可以)．

②填表得：

③由②得s=3n+l，當s=33時，3n+1=33，n=10(2/3)，因為n是自然數，所以不能將原來的扇形紙片剪成33片．

反思：

此題主要是抓住起始量與增加量的變化規律來解題的．請你推斷，能不能按上述的剪裁方向，將原來的圓形紙板剪成34個扇形?

知識重點二：

1．用字母列代數式，表示數量關系，解決應用問題．

2．用實際背景或幾何意義解釋代數式．

3．用具體數字代替代數式里的字母，求出代數式的值．

重要提示：

1．在書寫代數式時，需要注意數字與字母，字母與字母，數字或數字與括號相乘時，乘號通常簡寫作“·”，或者省略不寫，如4×a可以寫作4·a或4a，一般把數寫在字母的前面，數字與數字相乘一般仍用“×”號．

2．在實際問題中出現除法運算時，如果運算結果是和的形式時，要把整個代數式用括號括起來再寫單位，如溫度由2℃上升t℃后是(2+t)℃．

3．在代數式中出現除法運算時，一般要按照分數的寫法來寫，如：三角形的底是a，高是h，則面積是：ah/2或1/2ah．

4．代數式含有加、減、乘、除、乘方、開方等運算符號，不含有等號或不等號的式子叫代數式，單獨的一個字母或一個數也是代數式．

5．代數式與公式不同，公式是等式，但不是代數式，代數式是不含“=”號的．

[典型例題]

例1：甲、乙兩地之間公路全長200千米，一輛汽車從甲地到乙地每小時行a千米，用代數式表示：

①該汽車從甲地到乙地需要行多少小時?

②如果該汽車每小時多行10千米，則汽車從甲地到乙地需要多少小時?

③每小時多行10千米后，該汽車從甲地到乙地比原來少用多少小時?

分析：

本題從路程、速度、時間之間的關系：時間=(路程／速度)入手．

解：

①該汽車從甲地到乙地需要行200/a小時；

②如果每小時多行10千米，需要行200/(a+10)小時；

③每小時多行10千米后，比原來少用(200/a-200/(a+10))小時．

例2：某電影院有20排坐位，已知第一排有18個坐位，后面一排比前面一排多2個坐位，請寫出第n排的坐位數，并求出第19排的坐位數．

分析：

將排數與對應的坐位數列表，然后從中找出規律，最后得到坐位數與排數之間的數量關系．

第一排為[18+2(1－1)]個坐位；第二排為[18+2(2－1)]個坐位；第三排為[18+2(3－1)]個坐位……由此可知坐位數與排數之間的關系．

解：

第n排坐位數是[18+2(n-1)]個坐位，將n＝19代入18+2(n－1)中，得18+2(19－1)＝54．

答：第19排的坐位數是54個．

反思：

尋找規律，正確地把握各個數量間的關系，就能正確地列出代數式，用字母表示數之后有些數量之間的關系用代數式表示，更具有普遍意義了．

直知識重點三：

1．求代數式的值的方法——代入法．

2．利用代數式求值推斷代數式所反映的規律．

3．解釋代數式的值的實際意義．

重要提示：

1．代數式的值是由其所含的字母取值所確定的，并隨字母取值的變化而變化，字母取不同的值，代數式的值可能不同，也可能相同．

2．求出代數式的值后，可以根據值的變化趨勢進行預測，推斷代數式所反映的規律．

3．有多個字母時，應注意字母的對應規律．

4．注意括號和乘號在原來省略的地方要添上點．

[典型例題]

例1．填表觀察代數式的值隨字母變化的規律．

分析：

先把a取的值分別代入2a²中，求出2a²的值．再通過觀察，探索代數式的值隨a值變化的變化規律．

解：

填表如下：

通過觀察表格可以發現，當a<0時，隨著a值的逐漸增大，2a²的值逐漸減少；當a>0時，隨著a值逐漸增大，2a2的值也逐漸增大．

反思：

要注意比較字母取值之間的變化，同時也要比較代數式值的變化，如此方能找出規律．

例2：北京時間與莫斯科時間的時差為5小時，

①若用x表示莫斯科時間，怎樣用關于x的代數式表示同一時刻的北京時間?

②2001年7月13日莫斯科時間17：08，國際奧委員會主席薩馬蘭奇宣布北京獲得2008年夏季奧運會的主辦權，問此時北京時間為幾時?

解：

①根據北京時間與莫斯科時間的時差為5小時，則同一時刻的北京時間是：x+5．

②x=17(2/15)代入代數式x+5，得x+5＝17(2/15)+5=22(2/15)．

答：國際奧委會主席薩馬蘭奇宣布北京獲得2008年夏季奧運會主辦權的北京時間為22(2/15)時，即22：08．

注意：

代數式與代數式的值，這兩個概念之間既有聯系，又有區別，不能混淆．代數式反映的是一般的數量關系，如，本例的代數式“x+5”，反映的是莫斯科時間與北京時間的一般關系，不論莫斯科時間x為多少，北京時間總是x+5．而代數式的值反映的是特例，如本例中當x＝17(2/15)時，北京時間為22(2/15)．可能有同學會想，為什么不能得出莫斯科時間與北京時間的時差為7呢?但我們知道北京位于莫斯科的東面，也就是北京人比莫斯科人在一天中早見到日出，所以北京的時間應當早于同一時刻的莫斯科時間，所以北京與莫斯科的時差為5小時．

例3：電腦設計了這樣一個程序，如圖所示，請問當輸入的數值為3時，最后輸出結果是多少?

分析：

輸入n時，應計算與28的大小關系，如果n²-n>28．則直接輸出結果；若不成立，則將n²-n的值當做n再代入n²-n計算，直至n²-n>28時再輸出結果．

解：

因為n=3時，n²-n=6<28，所以把n²-n=6看作n，再次從輸入端代人(俗稱回代)，所以n=6時，n²-n=30>28，所以輸出結果為30．

反思：

回代這個過程的理解是比較難的，對于知識面要求較廣，如果見過數值轉換機或計算機程序設計的，可能對于理解上有所幫助．所以在平時的學習中要注意與實際生活相聯系，要樹立生活即學習，學習即生活的觀念．

附：[模擬試題]

(答題時間：20分鐘)

一、選擇題

1．某班共有x個學生，其中女生人數占45％，那么男生人數是( )．

A．45％x B．(1－45％)x

C．x/45％ D．x/1-45％

2．x²+3的值是( )．

A．大于3 B．等于3

C．大于或等于3 D．小于3

3．代數式“a－b²”的意義表述正確的是( )．

A．a與b的平方差 B．a與b的差的平方

C．a與b的平方的差 D．a減去b的平方差

4．三個連續偶數，最大的一個為2n+2，那么最小的偶數可表示為( )．

A．2n－1 B．2n－2

C．2n－4 D．2n+4

二、填空題

1．如圖．正方形的邊長為a，那么陰影部分的面積為(結果保留)_______．

2．一個三角形的一條邊長為a，這邊上的高線長為6，則這個三角形的面積為_____．

3．現有甲種糖果a千克，售價每于克m元；乙種糖果b千克，售價每千克n元，若將這兩種糖果混在一起出售，則售價應為每千克_____元．

4．用語言敘述下列代數式的意義：

(1)某商品的價格是x元，則(1/2)x可以解釋為_________；

(2)(a+b)(a-b)可以解釋為______；

(3)8a³可以解釋為________；

(4)m/5可以解釋為________．

三、解答題

1．如果用c表示攝氏溫度，f表示華氏溫度，則c與f之間的關系是c＝5/9(f-32)，分別求出當f=68，98．6時，c的值．

2．如圖：AB為墻，現用20米的籬笆圍成長方形的養雞場，設養雞場的長為x米．

(1)用x的代數式表示長方形的面積．

(2)當x=10時，求面積．

3．23=2×10+3．

865=8×10²+6×10+5．

類似的5984=____×10³+___×10²___×10+___．若某二位數的個位數字為a，十位數字為h，百位數字為c，則此三位數可表示為________．

4．你見過拉面嗎?你喜歡吃拉面嗎?拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了很多很細的面條，如下圖所示：

(1)這樣捏合到第n次后拉出的面條數是__________．

(2)這樣捏合到第_____次后可拉出128根細面條．

[試題答案]

一、1．B；2．C；3．C；4．B

二、1．a²(π/4)a²；2．3a；3．am+bn/a+b；4．略．

三、1．當f=68時，c=20；f=98．6時，c=37．

2．(1)S_長方形=20-x/2·x；(2)當x=10時，S=50．

3．5984=5×10³+9×10²+8×10+4；100c+10b+a．

4．(1)2ⁿ；(2)7．

(作者單位：山東省臨清職教中心)

編輯／張燁

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