“探索多邊形內(nèi)角和”課堂實錄及評析

[課堂教學(xué)]

師：請同學(xué)們看這樣的一個問題：一個四邊形的桌面，用鋸鋸掉一個角，還剩幾個角?

生：(不經(jīng)過四邊形的頂點)鋸掉一個角還剩五個角．

生：如果經(jīng)過四邊形的一個頂點鋸掉一個角還剩四個角．

生：沿著四邊形的對角線鋸掉一個角還剩三個角．

師：(演示課件，展示學(xué)生說的情況)同學(xué)們的思維很敏銳．那么，在每種情況下，這些角的和是多少?

生：三角形的內(nèi)角和為180°，所以剩三個角時這三個角的和等于180°；四邊形的內(nèi)角和為360°，所以剩四個角時這四個角的和為360°；剩五個角時這五個角的和為540°．

師：如果在五邊形的桌面上再鋸掉一個角，得到六邊形的桌面，這些角的和是多少?那么，繼續(xù)鋸下去呢……本節(jié)課我們就來研究多邊形的內(nèi)角和．

[評析]把學(xué)生的注意力自然引入研究的方向．學(xué)生竊竊私語，情緒興奮，這為課題的研究成功做了精神上的準(zhǔn)備．

師：把剛才的這些桌面抽象出幾何圖形，像這樣的圖形叫多邊形．

師：你能不能結(jié)合這些圖形說一說什么是多邊形?

生：由一些線段首尾順次相接所組成的圖形叫多邊形．

生：由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接所組成的圖形叫多邊形．

生：在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接所組成的圖形叫多邊形． 師：經(jīng)過同學(xué)們相互補充我們得到了多邊形定義．(屏幕打出定義．)

師：我們認(rèn)識了什么是多邊形，那么我們就來了解一下多邊形的相關(guān)元素．請同學(xué)們拿出練習(xí)本畫一個六邊形．(學(xué)生畫六邊形，教師巡視．)

師：這個就是六邊形ABCDEF(如下圖)，請同學(xué)們與四邊形類比，說說六邊形有哪些相關(guān)元素．

生：六邊形有邊AB、BC、CD、DE、EF、FA；

生：六邊形有頂點點A、點B、點C、點D、點E、點F．

生：六邊形有內(nèi)角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F．

生：還有外角，就是多邊形的角的一邊與另一邊的延長線所組成的角．

師：連接AC就是六邊形的一條對角線，你能說說什么是對角線嗎?

生：就是連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段．

師：同學(xué)們都知道三角形的內(nèi)角和為180°，那么多邊形的內(nèi)角和是多少度呢?我們現(xiàn)在就從四邊形開始研究．

活動一：利用四邊形學(xué)具探索四邊形內(nèi)角和

(要求：先獨立思考再小組合作交流完成．)

(師巡視，了解學(xué)生探索進程并適當(dāng)點拔．)

(生思考后交流，把不同的方案在黑板上加以展示．)

師：同學(xué)們抬頭，黑板上展示了5個小組的作品，現(xiàn)在就讓我們聽一聽他們是怎樣想的和做的!

生：我們小組是連接四邊形的一條對角線(如圖1)，把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是180°，所以兩個三角形的內(nèi)角和是360°，所以四邊形內(nèi)角和為360°．

師：很好的一種方法，這是哪個小組的作品?

生：我們小組是在四邊形內(nèi)任取一點O(如圖2)，分別連接AO、BO、CO、DO這樣就把四邊形轉(zhuǎn)化成四個三角形，這四個三角形的內(nèi)角和為720°，但是多算了一個周角，要減去360°，這樣就得到四邊形內(nèi)角和為360°．

生：我們小組的辦法是連接四邊形的一條對角線AC(如圖3)，再在對角線上取一點O，連接DO，也可以求出四邊形內(nèi)角和為360°．

生：我們不同于他們的方法，我們是在AB邊上取一點O(如圖4)，連接CO、DO則形成三個三角形內(nèi)角和為540°，再減去一個平角就得到四邊形內(nèi)角和360°．

師：經(jīng)過同學(xué)們的創(chuàng)造之后我們都得到了相同的結(jié)論，那就是四邊形內(nèi)角和為360°(板書)，看到同學(xué)們這么多的作品，你更喜歡哪一個?

生：我很喜歡第一種方法(圖1)，它不但簡潔，而且很好地把四邊形問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的三角形問題!

生：我挺喜歡第二種辦法(圖2)，它非常好算，不易錯，我想在邊數(shù)很多的時候可能這種方法更便捷!

師：說得很好!那同學(xué)們想一想，在這個過程中我們是怎樣求得四邊形的內(nèi)角和為360°的呢?

生：我們是把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形，再由三角形內(nèi)角和為180°，求出四邊形內(nèi)角和為360°，從而使問題得到解決!

生：在這里大家的想法都集中體現(xiàn)了把未知轉(zhuǎn)化為已知，把沒學(xué)過的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識來解決!

[評析]在教師的有效引導(dǎo)下，尋求探索四邊形內(nèi)角和的方法，學(xué)生思維活躍．隨著學(xué)生觀察的視角不同，思維的角度不同，分類的方法不同，教師用帶有提示性的問題調(diào)整了學(xué)生思考問題的方向，使教學(xué)時間得到了有效的控制和合理的使用，給學(xué)生以莫大的動力．小組合作學(xué)習(xí)的方式，使學(xué)生在協(xié)作交流中愉快地學(xué)習(xí)，為后面更多的合作打下良好的基礎(chǔ)．增強了師生間、生生間的相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)、相互補充，使小組合作學(xué)習(xí)的這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的有效性得以凸現(xiàn)．

師：同學(xué)們達成共識，在研究四邊形內(nèi)角和時，我們都是把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題，由三角形內(nèi)角和180°求得四邊形內(nèi)角和360°．在四邊形內(nèi)角和的探究中大家表現(xiàn)不錯，研究很有成效．接下來我們就來看一看五邊形的內(nèi)角和為多少度呢?

活動二：利用五邊形學(xué)具探索五邊形內(nèi)角和

(要求：獨立思考，自主完成．)

師：還有其他情況嗎?那好，我們來看看他們的作品！(生陸續(xù)將自己的發(fā)現(xiàn)展示在黑板上．)

生：我是把五邊形分割成兩個四邊形(如圖5)，之后通過剛才學(xué)過的四邊形內(nèi)角和為360°來求得五邊形內(nèi)角和為540°．

生：我是用剛才學(xué)過的知識，四邊形內(nèi)角和為360°，把五邊形分割成四邊形和一個三角形(如圖6)，有四邊形內(nèi)角和為360°加上三角形內(nèi)角和180°，就求出五邊形內(nèi)角和為540°．

師：好!學(xué)以致用．大家看一下這兩種方法(如圖7、8)，它實質(zhì)上和求四邊形內(nèi)角和的某些作法是完全一樣的．這個辦法(如圖2)，要減去中間的一個周角，那大家想一想，五邊形中有沒有這種辦法呢?大家可以課下思考!通過剛才的探究大家知道四邊形內(nèi)角和為360°．五邊形內(nèi)角和為540°，那么通過這兩個活動你有哪些體會和想法呢?

生：因為四邊形內(nèi)角和為360°，五邊形內(nèi)角和為540°，我發(fā)現(xiàn)每增加一個角，多邊形的內(nèi)角和就增加180°．

生：不論是四邊形內(nèi)角和的求法，還是五邊形內(nèi)角和的探索，在這里大家都是把四邊形、五邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題加以解決在我們生活中也是一樣，可以把復(fù)雜的問題簡單化處理，這樣可能會給我們帶來方便!

生：我覺得他給我們總結(jié)了一種研究問題的方法和解決問題的策略，便于我們對未知領(lǐng)域的研究!

生：在這些方法中大體可以分成兩類：一類是把四邊形、五邊形問題都轉(zhuǎn)化成三角形．這些方法中不同的是，這個連接對角線的方法用不用減掉180°，如果從一邊上連接各頂點，則要從所得到的三角形內(nèi)角和中減掉180°；如果從中間找一點時就需要從所得到的三角形內(nèi)角和中減掉360°；第二類是把五邊形問題轉(zhuǎn)化成剛剛學(xué)過的三角形問題加以解決!

[評析]這一探究活動是從學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)上展開聯(lián)想和嘗試的．在探究過程中，滲透了類比思想方法，從探究四邊形的內(nèi)角和遷移到探究五邊形的內(nèi)角和，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力．在探究五邊形的內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)過程中，學(xué)生得出了不同的驗證方法，充分展示了學(xué)生自主構(gòu)建新知識的過程．讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、猜想的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方式．這種模擬數(shù)學(xué)家的活動，讓學(xué)生參與知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生動手實踐，積極探索科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生獨立鉆研、相互交流、共同協(xié)作的科學(xué)態(tài)度．進一步激發(fā)了學(xué)生的成就感，讓學(xué)生充分體驗到探索創(chuàng)新所帶來的成功喜悅-給學(xué)生的思考創(chuàng)造了更廣闊的空間，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)，在實踐中探究、體驗發(fā)現(xiàn)的快樂．

師：大家說得客觀準(zhǔn)確!在剛才的探究過程中體現(xiàn)了把四邊形、五邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形和四邊形的問題加以解決．同學(xué)們已經(jīng)知道了四邊形、五邊形的內(nèi)角和，那么多邊形的內(nèi)角和又為多少呢?

活動三：探索n邊形內(nèi)角和，并試著說明理由

師：這是哪個小組的創(chuàng)作?

(n-2)180°．

生：我們小組達成共識，認(rèn)為n邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°．我看到三角形內(nèi)角和180°=180°×1，四邊形內(nèi)角和360°＝180°×1，五邊形內(nèi)角和540°＝180°×3，能看出來它們都是180°的倍數(shù)，并且都是邊數(shù)減去2，所以多邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°．

師：很好!這個呢?

180°·n-360°．

生：我們小組認(rèn)為，n邊形內(nèi)角和為180°·n-360°。在n邊形的內(nèi)部任意取一點，連接這點與各頂點，把n邊形分成了n個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于這n個三角形的內(nèi)角和減去以O(shè)為頂點的周角的度數(shù)，即180°·n-360°．

師：有創(chuàng)意!這個是哪個小組的?

(n-2)·180°

生：我認(rèn)為n邊形內(nèi)角和為180°·(n-2)，過n邊形的一個頂點做所有對角線，把n邊形分成了n-2個三角形．這n-2個三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，即(n-2)·180°．

師：精彩!讓我們來看看這個怍品!

180°·(n-1)-180°

生：我們小組認(rèn)為n邊形內(nèi)角和為180°·(n－1)－180°．在n邊形的邊上任意取一點，連接這點與各頂點，把n邊形分成了n-1個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于這n－1個三角形的內(nèi)角和減去以P為頂點的平角的度數(shù)，即180°·(n－1)－180°。

師：有補充嗎?

生：大家看一下剛才各組同學(xué)得到的結(jié)論：(n-2)·180°、180°·n-360°、180°·(n-1)－180°，我們會發(fā)現(xiàn)，如果把各個結(jié)論稍做整理就會得出，各種不同的形式都可以歸納為(n-2)·180°!(全體同學(xué)報以熱烈掌聲．)

師：同學(xué)們求n邊形內(nèi)角和的方法可以說是百花齊放，總結(jié)得準(zhǔn)確到位，令老師佩服！同學(xué)們看一下，哪種表達方式更好一些呢?

生：我非常喜歡(n-2)·180°這種求n邊形內(nèi)角和的方法，因為這樣計算起來很方便!

生：我也很喜歡這個式子，他揭示n邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)規(guī)律，便于我們把握!

師：同學(xué)們說得很精彩!這樣我們就得到了n邊形內(nèi)角和的計算公式．n邊形內(nèi)角和為：(n-2)·180°．

師：同學(xué)們經(jīng)過猜想，又驗證了它的正確性，我們將來可以對為什么n邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°進行嚴(yán)格的理論證明．那大家知道六邊形內(nèi)角和是多少度嗎?

生：(齊聲回答)720°．

師：怎么算得呢?

生：(6-2)×180°＝720°．

師：若一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，你知道這是幾邊形嗎?

生：十二邊形！

[評析]讓學(xué)生在自主探索和合作交流過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思想方法并獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，使學(xué)生創(chuàng)造潛能無論在知識能力還是在情感態(tài)度和價值觀等方面都得到充分的挖掘．學(xué)生站在自己的角度，用自己認(rèn)為最好的方式去設(shè)計、去創(chuàng)造、去尋求解決問題的最佳途徑．

師：隨著這個問題的解決，我們本節(jié)課也接近了尾聲，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲呢?

生：我知道了多邊形的相關(guān)元素及如何求多邊形的內(nèi)角和．

生：我學(xué)會了把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題來解決．

生：我學(xué)會了從四邊形、五邊形內(nèi)角和的證明方法出發(fā)去研究n邊形的內(nèi)角和．

生：我也學(xué)會了應(yīng)該從多個角度考慮同一問題，可以得到很多意外的發(fā)現(xiàn)．

師：同學(xué)們很善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，我們通過三角形內(nèi)角和180°，把四邊形、五邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形，求得了它們的內(nèi)角和，進而總結(jié)歸納出n邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°，這里集中體現(xiàn)了我們同學(xué)的聰明才智和團隊的戰(zhàn)斗力，也希望同學(xué)們繼續(xù)創(chuàng)造更多的輝煌，邁向更大的成功!(邊說邊演示．)

作業(yè)：一個多邊形去掉一個內(nèi)角后形成的多邊形內(nèi)角和為1800°，你能求出原多邊形的邊數(shù)嗎?

[評析]引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、反思、梳理知識網(wǎng)絡(luò)，體會數(shù)學(xué)思考過程和方法．學(xué)生的思維激活了，視野開闊了，在一定程度上培養(yǎng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和自信心．而給學(xué)生留有思考空間這一教學(xué)過程又把研究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘?qū)W生的潛能。

[課后總評]

一、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

本節(jié)課教師把“探索多邊形的內(nèi)角和”這個教學(xué)過程設(shè)計成學(xué)生對知識再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，使整個教學(xué)過程成為學(xué)生內(nèi)心體驗參與的過程，學(xué)生主動構(gòu)建知識的過程，問題解決的過程．定理的引入從一般到特殊，讓全體學(xué)生參與實驗操作、觀察猜測、探索結(jié)論過程．在教學(xué)過程中讓學(xué)生大膽聯(lián)想、暢所欲言，符合現(xiàn)代教育理論中的“要把學(xué)生學(xué)習(xí)知識當(dāng)作認(rèn)識事物的過程來教學(xué)”的觀點．

二、教學(xué)資源合理地開發(fā)，使教學(xué)活動素材更為有效

本節(jié)課充分體現(xiàn)了教師對學(xué)生已有生活經(jīng)驗的了解，從而把設(shè)置的一個個問題變得開放、新鮮有趣師生是課程資源的開拓者，師生是新課堂的建設(shè)者，課堂是師生合作探究的研究室．拓展了課堂的時空范圍，培養(yǎng)了學(xué)生收集、處理數(shù)學(xué)信息的能力．

師生進行教學(xué)活動的目的是進行交流，獲得發(fā)展教師學(xué)生必須正確審視教材，努力成為教材建設(shè)的參與者，教學(xué)資源的開發(fā)者，使教學(xué)活動素材更為有效．對培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性大有裨益．

三、探究活動成為熱點

課堂設(shè)計以活動為主線，學(xué)生學(xué)習(xí)圍繞活動展開，學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵點，探索解決問題的方法，體驗知識的形成過程．學(xué)生有了充足的思考時間，討論起來方向明確，針對性強，活動比較充分，效果較好．

探究是靈魂，學(xué)生自主探究，自主發(fā)現(xiàn)，自主反思，教師和學(xué)生一起討論、總結(jié)、反思．學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中探究，過程是快樂的，收獲是豐碩的．

四、體現(xiàn)學(xué)生主體地位

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，以學(xué)生發(fā)展為本是課改的指導(dǎo)思想．本節(jié)課讓學(xué)生充分動手操作，既有獨立思考，又有分組討論交流．學(xué)生參與定理的發(fā)現(xiàn)、探究、驗證過程，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力，啟迪了學(xué)生的探索靈感，同時體現(xiàn)了教學(xué)的針對性、活動性、開發(fā)性、合作性，即教師創(chuàng)造了一個激發(fā)學(xué)生積極思維，解決問題的學(xué)習(xí)氛圍．

編輯／張燁

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