４～６歲兒童書面數符號表征和理解能力發展的個案研究

[摘 要]通過測查、觀察、問卷與訪談的方法對8名個案兒童的書面數符號表征能力的發展進行中、大班兩年的跟蹤研究表明：個案兒童的書面數符號表征能力在兩年中有了不同程度的進步，但表現出較大的個別差異。兒童的書面數符號表征能力在兩年中表現出相對的穩定性，中班上學期的書面數符號表征能力得分高的兒童在大班末時得分仍然偏高。兒童的基數概念、書面數符號表征能力以及書面加減運算之間有著密切的聯系。高得分組與低得分組的兒童表現出明顯的個性差異，如在學習興趣、注意力、自控力與堅持性方面高得分組有明顯的優勢。高得分組與低得分組的兒童的家庭教育也表現出不同的特點。

[關鍵詞]兒童；書面數符號；能力；分組；發展

一

自20世紀80年代以來，我們在兒童語言文字讀寫能力的發展方面已有了相當的研究和了解，但在兒童如何學習數字符號及如何理解數符號系統的功能和結構方面知道的并不多。數學符號的學習對兒童數學能力發展的重要性也許不亞于早期的書和文字環境對兒童早期讀寫能力發展的重要性。數符號運用對個體思維和認知發展有重要影響。首先，它是兒童從具體數學思維向抽象數學思維轉化的標志。當兒童能閱讀和理解數的符號時，這種把數從具體事物參照體系中獨立出來的過程就趨于完善。其次，它提供了一種兒童和成人共享的認知模式，為兒童和成人的數交流提供了基礎。當兒童開始運用這些符號，它們很快成為兒童數學思維的一部分，并為兒童進一步的數學學習提供更寬泛的可能和前提。

符號系統的抽象程度越高，它的信息傳輸的效率也越高，但同時也意味著它對初學者的學習所帶來的挑戰也越大。被新皮亞杰理論稱為“中心數結構”、被芒恩稱為“數認知模式”的數學符號系統，就是這樣一個包含了幾方面特殊數知識的抽象網絡系統。它不僅包含了數詞、計數、書面數符號以及對數的表征等多方面的知識和技能，還有許多僅以數字組成的算術表達式。兒童在早期需要花相當長的時間學習如何理解與運用這些算術式。兒童很小就開始接觸口頭數數和用數詞來計數的練習，這種口頭形式的數符號系統的完全掌握要經過若干年的實踐。正是在這一基礎上，兒童有可能開始接觸和學習書面的數符號系統和算術表達式。英美的研究發現，盡管學前兒童在學習書面數符號方面具有很大潛力，不少兒童在初學書面數符號時會有較大困難。如兒童在具體數學問題和符號性算術表達式的轉換上有困難；有些兒童盡管能閱讀和書寫數符號，但往往不理解數的位置和數值的關系，有些兒童甚至到小學四五年級都頗感困難等等。另外，因為語言上的有利條件，亞洲兒童數數技能的發展早于美國兒童，在數的十進制系統和數值概念上的發展也早。米勒發現，與中國兒童相比，美國兒童在把數詞的名稱與阿拉伯數字匹配時會有困難。原因在于中文數詞名稱組成了清楚的十進位系統，而英文數字名稱則沒有。基于這些背景，我們試圖進行相關個案研究以期了解中國兒童書面數符號表征和理解的發展特征與西方兒童是否相同，或中國兒童在學習書面數符號時也是否遇到了和西方兒童相似的問題。

本研究是一個為期兩年的跟蹤研究的一個部分，跟蹤研究采用了量化與質的研究相結合的方法。個案研究的目的在于通過對個案比較深入和多方面的了解來對這一年齡兒童的書面數符號的發展線索進行描述與解釋，以幫助我們更加全面地了解兒童在這一方面的發展。研究的問題有：一是我國4～6歲學前兒童書面數符號表征和理解能力的發展特征是什么；二是4～6歲學前兒童書面數符號表征發展的個別差異情況如何；三是影響兒童書面數符號表征和理解能力發展的因素是什么。本研究采用了個別測查、觀察、家長問卷與訪談、教師訪談的方法。

被試為上海兩所幼兒園的各一個班級的兒童，共8名，一所幼兒園4名。對8名兒童進行了中、大班2年的跟蹤研究。被試選擇根據第一次書面數符號表征測查與數概念測查的結果而定，即中班初期在兩個班各選取測查得分最高的與最低的各2名兒童作為被試。

兒童在2年4個學期中計參加了8次(5種)測查。中班第一學期2次：“書面數符號表征測查”及考察基數概念水平的“按數取物測查”；中班第二學期2次：智力測查與“書面數符號表征測查”；大班第一學期一次：“書面數符號表征測查”；大班第二學期2次：“書面數符號表征測查”，“書面加減運算”與“書面加減運算題符號表征”。每一被試每次測查時間約20～30分鐘。

書面數符號表征測查是在修斯同類測查的基礎上修改而成的，分三個部分：實物—符號，要求兒童把出示紐扣的數量寫在紙上；符號—實物，要求兒童根據出示卡片上的數字取出相應數量的紐扣；數字認讀，認讀卡片上的阿拉伯數字。第一次測查中的每個部分的表征數量為1-15；第二次測查中的數量為1-20；第三次測查中的數量為1-40；第四次測查中的數量為1-150；前三次的測查運用了紐扣作為實物，而在第四次測查中，由于涉及的數量較大，為便于兒童數數和縮短擺放紐扣的時間，改用福祿貝爾教學材料(J2)中的一個木珠盒以及另加50顆紐扣。

在“按數取物”的測查中，主試請兒童從一個放有40個紐扣的盒子中依次拿出數量為5，10，15，20，25和30的紐扣。

在書面加減運算測查中，每個兒童完成有12道加法與12道減法組成的100以內書面加減運算測查。主試對兒童說揀會做的做，不會做的題目可以不做。兒童在完成加法題以后做減法題時如沒有注意到兩邊題目加減符號的差異時，主試給予提醒。

書面加減運算題符號表征能力測查是在斯托拉德(Stallard，1982，引自Hughes，1998)的測查的基礎上修訂而成的，”分成兩個部分：一是符號—實物。這一部分內容即斯托拉德的測查，由15張卡片組成，每一張卡片上分別寫有阿拉伯數字或加減運算題。主試先拿出一個放有20顆紐扣(紅藍色各半)的小塑料盒和一個小玩具熊放在桌子上，隨機出示一張卡片，對兒童提問。二是實物—符號。從上述的15張卡片中拿出其中的8道加減運算題作為測試題。主試先根據題目表現出在原有的紐扣集合中添加或拿走紐扣的行動過程，請兒童用筆把算式寫出來，所有被試的題目順序均相同。

每個兒童在數符號表征測查中每做對一個題目得一分，這樣測查1中滿分為45分(測查2為60分，測查3為120分，測查4為450分)；在加減運算測查中，每做對一個題目得1分，滿分為24分；同樣，在加減運算題符號表征測查中，也是每做對一個題目得1分，滿分為23分。

觀察時間從中班第一學期中至大班上學期末。每個被試每周觀察1-2次，每次0．5-1個小時。觀察內容為數學課、珠心算、活動區活動或游戲。課堂觀察記錄包括教師的語言行為及被試兒童的行為表現，其他活動與游戲時的觀察記錄以兒童的行為為主，加上教師及其他兒童與觀察被試的交往行為。在大班下學期，所有的家長完成了一份家長問卷。問卷的內容包括：家庭基本情況、家庭物質環境、家長一兒童互動、家長教育觀等。對兩個班級的5位教師各進行了一次訪談，內容為對本班個案兒童各方面發展特別是數學能力發展及對影響兒童數學能力發展的因素的看法。對所有家長進行一次訪談的計劃由于各種原因未能全部兌現，最終對4位家長進行了訪談。內容是有關對兒童發展的評價及對孩子在家的數學教育的情況。教師與家長訪談均在征得本人同意后錄音，后把錄音逐字轉化為書面文字。對訪談與觀察記錄資料采用質的研究方法進行了登錄、編碼與概括成文的處理。

二

(一)兒童的家庭背景

根據問卷、訪談資料，8位兒童的家庭背景與家庭教育情況大致如下：

兒童A1生活在一個5口之家，外婆外公對其照料較多。父母文化水平不高。家庭收入、家庭教育物質環境中等水平。有一位美術家教。父母、外祖父母平時較注重對她的教育，經常在家練習拼音、英語、寫字、算術、珠心算，有書面數符號方面的訓練，但教育的方法較單一、刻板。兒童A2生活在一個5口之家，平時與外婆外公住在一起并由他們照料，父母另住，定期來看望。父母文化水平與家庭收入不詳，家庭教育物質環境中上水平。外祖父母較注意對孩子的家庭教育，經常給他講故事，做數學游戲，經常跟他談數方面包括書面數符號的知識。兒童A3父母離異，與祖母、父親同住。由于父親常出差，祖母負責照料。父親大學文化，家庭收入中上，家庭教育物質環境中等水平。祖母對其要求較嚴，注重對其進行教育，經常給她讀書、講故事，在生活中談論數，但并不經常有意識地教她數學方面的知識。兒童A4與父母生活在一個3口之家。父母均是本科以上學歷，家庭收入、家庭教育物質環境中上水平。父母不溺愛孩子，較注重對孩子獨立性的培養，并注意在生活中通過解決問題向孩子進行數學教育包括對書面數符號的認識。兒童B1與父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中等，家庭教育物質環境中下水平。因父老來得女，對其較寵愛，許多事情父母會包辦。家長經常隨意讓她不來幼兒園，對孩子的學習與發展不是很重視。兒童B2的父母均在外地工作，與姑姑、姑夫生活在一起。姑姑、姑夫與父母的文化水平不高。家庭收入、家庭教育物質環境中下水平。姑姑、姑夫對他主要是以生活照顧為主，對他的約束和教育方面考慮較少。教師認為，他在大班一年中取得了較大進步，主要原因在于他媽媽為了他的教育曾留在上海一段時間專門陪伴他。兒童B3與父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中等，家庭教育物質環境中下水平。父母工作較忙，她兩歲就入托兒所，集體生活養成了她的大膽獨立的個性，家里的事大都讓她自己干，從不包辦。父母比較注重對她的藝術方面的訓練及興趣的培養。兒童B4與父母、祖父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中下，家庭教育物質環境中等水平。父母很重視對他的教育，尤其是早期智力投資，除了購買許多兒童雜志、書籍外，還盡量帶他到處參觀游玩，擴大眼界，培養了他在數學方面良好的興趣。

(二)兒童在幼兒園數學學習中的表現及個性特征

根據幼兒園的觀察與教師、家長的訪談，8位兒童各方面的發展狀況如下：

兒童A1對數學學習有興趣，參與態度較積極，但注意力很容易分散，自控力與堅持性不夠，與同伴交往不多；對數學課堂學習內容掌握不充分，做數學題的準確率低，經常不能獨立完成數學題。個性文靜、聽話、膽子小。教師與家長一致認為，她的數學發展水平一般，但兩年中在性格、參與集體活動以及能力方面進步較快。兒童A2對數學學習的興趣一般，易受環境與材料的影響，參與態度不積極，注意力很容易分散，自控力與堅持性不夠，與同伴關系欠佳，經常招惹是非；在一般數學活動中，基本可以完成任務。個性生性好動、調皮，教師與家長一致認為，他的數學發展水平一般。兒童A3對數學學習有較高興趣，參與態度積極、認真，注意力大多數情況下很集中，自控力、堅持性較好，與同伴的交流與合作不多；對數學課堂學習內容掌握出色，接受能力較強，做數學題的準確率高。個性文靜、膽子小，性格不夠開朗，動作較慢，做事有條理，個人的自理能力較強。教師與家長一致認為，她的數學能力發展水平較好。兒童A4對數學學習興趣一般，參與態度認真用心，注意力很集中，自控力、堅持性較好，主動與同伴的交流與合作不多；對數學課堂學習內容掌握較好，接受能力較強，做數學題細心、準確率較高但速度較慢。個性乖巧、內向、文靜，遵守規則，自理能力強，愛好音樂、體育活動，擅長表演。教師與家長一致認為，她的數學發展水平較好。兒童B1對數學學習沒有興趣，參與態度不積極，情緒低落，注意力很容易分散，堅持性不夠，與同伴交往中有退縮行為；對數學課堂學習內容掌握不充分，思維反應較慢，經常不能完成數學課的一般任務。個性較內向，自理能力、交往能力及各方面的發展不如其他兒童。教師認為，她的數學能力發展水平較差。兒童B2對數學學習興趣不大，參與態度不夠積極，注意力很容易分散，自控力與自我約束能力差，與同伴的關系欠佳；對數學課堂學習內容的掌握經常不充分，學習效果取決于興趣、參與的質量和活動的方式，做數學題有一定的準確率。個性生性頑皮，好動，行為習慣較差。教師認為，他的數學發展水平較差，但在大班一年中取得了較大進步。兒童B3對數學學習有興趣，但易受活動材料的影響，參與態度積極和投入，注意力很集中，善于與同伴交流；對數學課堂學習內容掌握較好，記憶與歸納能力較強。個性大膽、自信、獨立、好勝心強，自理能力、交往能力、語言表達能力較強，做事有條理，易敏感，不太能承受挫敗。教師認為，她的數學能力發展水平中上。兒童B4對數學學習有較高興趣，喜歡有挑戰性的學習內容，參與態度積極、投入，注意力很集中，自控力、堅持性很好，獨立性較強，與同伴的交流不多；對數學課堂學習內容掌握出色，接受能力較強，邏輯推理能力較強，做數學題的準確率高。個性自信、好學，愛探究，愛思考，膽子較小，不善于自我表現。教師與家長一致認為，他的數學發展水平優秀。

(三)兒童書面數符號表征能力在兩年中的發展

(備注：得分一欄最高分中上＝45，中下＝60，大上＝120，大下＝450，表征數量一欄最高分中上＝15，中下＝20，大上＝40，大下＝150)

表2列出了兒童在每學期一次的書面數符號表征測查中的得分情況?？梢钥闯?，兒童在中班上學期的第一次書面數符號表征測查結果表明，8個兒童中的6個兒童盡管不會運用阿拉伯數字符號來表征物體的數量，但他們都創造性地運用了不同的非數字符號來表征物體的數量。當向兒童出示紐扣，要求把紐扣數量寫下來時，兒童的反應可歸為修斯(Hughes，1998)提出的四種水平：一是隨意性反應(Idiosyncratic)，符號與數量無任何關系，如涂鴉、畫畫或想像性文字；二是圖像式反應(Pictographic)，符號既反映數量也反映實物特征，如形狀、顏色或大小等；三是圖符式反應(Iconic)，符號只反映數量，不反映物體特征，如豎線、數點等；四是符號式反應(Symbolie)，即使用阿拉伯數字。非數字符號表征的方式在中班下學期很快向符號方式轉換，在大班上學期時完全消失。從表征的數量來看，大部分兒童也有了一個飛躍的發展，有的兒童從最初的一點不會運用符號表征，到2年后能用符號表征100以上的物體的數量。8人中兒童B1的進步非常緩慢。數概念發展好的兒童在書面數符號表征能力方面與數概念發展差的兒童之間的差異比較明顯，且這種差異在2年中始終存在。隨著年齡的推移，四個原先較差的兒童在2年中的進步也有大有小，但總的來說，8個個案中兒童在中班第一次的書面數符號表征得分不理想的，在兩年后大班末的測查中得分還是相對較低?？雌饋碓诘诙?、三次的測查分數上兩個組得分差距逐步拉小，而事實上，高得分組兒童的分數受到了測查分數上限的影響，否則數概念發展好的兒童與差的兒童之間的得分差距還要大。另外，兒童的書面數符號的表征能力有很大的個別差異，這種差異在中班上學期的第一次測查就表現出來。

(四)兒童的書面數符號表征能力與其他測查得分之間的關系

根據統計分析結果，兒童的書面數符號表征能力與他們在其他幾項測查中的得分有顯著正相關。表2、表3的個案得分數據也表明，在第一次書面數符號表征測查中得分較高的兒童不僅在后來的幾次書面數符號表征測查中得分較高，他們在基數概念、智商測查、書面加減運算以及書面加減運算符號表征的得分上相對也高，但書面數符號表征測查中得分相差不多的兒童在書面加減運算以及書面加減運算符號表征的得分上卻可能不同。這是因為加減運算除了要求對數符號的表征與理解的技能以外，還要求有運算的技能。在幼兒園末和小學初期，兒童的加減運算能力往往是對他們的數學成績進行評定的重要依據，而這種運算能力與兒童的書面數符號的表征能力有密切的關系。

三

在中班上學期的測查中，盡管大部分個案兒童不會運用書面數符號來表征物體的數量，但他們都能創造性地運用不同的方式來表征物體的數量。這一結果與英國的研究結果是一致的，(Hughes，1998)盡管中國的被試相對于英國的被試年齡要小。兩年的研究表明，兒童在中班上學期開學時數概念發展水平有較大的個別差異，在發展較差的4人中有2人不會運用書面數符號來表征物體的數量，另外2人也只會用圖像式表征的方式來表征3—4個物體。這幾位兒童的基數概念水平相對于同班兒童都較差，分別為2、5和9，而他們的同班兒童好的卻能達到30以上。在2年中，這4人中有3位兒童的書面數符號表征能力發展較快，特別是在大班的一年中有了一個飛躍。在大班末都能表征100或100以上的物體數量。但其中的一位兒童B1的書面數符號表征能力發展非常緩慢，在中班下學期與大班上學期的6個月之間能表征的物體數量幾乎沒有多少變化，只是在表征的方式上從圖符式發展到符號式，至大班末也只能表征18個物體。這種情況在兩個班的兒童中屬于極個別現象。

兒童的書面數符號表征能力的個別差異在兩年中始終存在。經過兩年的幼兒園教育，到大班末時這種差距在大多數人之間逐步縮小，但得分最高者與最低者之間的差距反而更大了。本研究結果表明，在數概念發展較好的4人中有2人在中班初期就能運用正規的書面數符號來表征至少30個物體的數量，另外2人盡管最初運用了圖像和圖符式表征的方式，但他們表征的數量在中班初期都達到了上限水平。這4人在四次書面數符號表征測查中的得分大都達到了上限分數，也就是說，如果測查題目再接著往下做，他們的得分肯定還要高。其中兒童A3表征方式的轉換相對于其他3人，甚至于比其他所有7人的發展都慢，故她在大班末時的書面數符號表征測查的得分也相對低于其他3位優異者，但仍好于低分組。兒童A3表征方式轉換的緩慢有點特殊，她的基數概念掌握得很好，能閱讀數字符號，也能完成從數字符號到物體的轉換或從物體到圖像符號的轉換，惟一缺乏的就是在物體的數量與數字符號之間建立聯系。這一案例是一個典型的教育落后于發展的例子，即成人沒有及時地把有關的數學符號知識教給她。問卷調查結果表明，她的祖母平時會幫助她復習在幼兒園學習的內容，但很少有意識地教她數學方面的知識。而在中班時，幼兒園的數學教育中涉及書面數符號知識的內容并不多，加上她由于身體狀況經常缺課可能也是一個原因。這可能也是她在大班末時書面數符號表征測查得分不及其他高得分組兒童的主要原因。在兒童掌握了基數概念以后，及時地給他們提供書面數符號的學習經驗能更好地促進他們的數學能力的發展。

兒童的書面數符號表征測查得分與其他3項數學測查有正相關從理論上講是合情合理的，同時也說明了這幾種測查方法的有效性和可靠性。兒童對基數概念的掌握是書面數符號表征的前提，在中班上學期基數概念發展較好的兒童，不僅在以后各次的書面數符號表征測查中得分較高，在大班末的書面加減運算中得分也偏高。結果也表明，中班上學期兒童的書面數符號表征測查得分高的兒童，其基數概念測查的得分肯定高，但反過來，基數概念測查得分高的兒童，他們在書面數符號表征測查中得分不一定高，但也不會太差。對這些兒童而言，他們缺乏的也是書面數符號的學習經驗。該研究總體樣本中，在中班上學期基數概念測查得分達到上限分數的兒童大多數在大班末的書面加減運算中得分也偏高。但也有少數兒童在后來的加減運算測查中得分平平，甚至有個別的還得了低分。這說明這些兒童雖然在早期基數概念的掌握上發展較早，但后來由于各種原因，他們在數學能力的發展上進步不如同伴。另外，基數概念的掌握與書面加減運算所需的認知技能不一樣，后者涉及到更多的子技能，抽象程度也更高。在8個個案兒童之外的兩個兒童在中班上學期基數概念測查中雖然得分平平，但在大班末的書面加減運算中得分甚至超過了個案中的高得分組成員。這兩個兒童的研究資料表明，他們都有著優異的個人智商條件和良好的家庭教育條件。這兩者少一不可。

幾方面的資料表明，書面數符號表征測查的高得分組與低得分組兒童有很大的個性差異，本組內的兒童在個性特征上有相當高的共性。高得分組兒童普遍對數學學習的興趣較高，參與態度積極認真，注意力很集中，自控力、堅持性好，接受能力強，個人的自理能力較強。低得分組兒童對數學學習沒有興趣或興趣一般，參與態度不積極，注意力很容易分散，自控力、堅持性較差，與同伴的關系有欠缺，對數學課堂學習內容掌握不充分，其中的兩個男孩子生性好動，調皮。高得分組兒童的個性與他們的數學學習之間顯然是一種正向循環，而低得分組兒童的個性與他們的數學學習則是一種負向的循環。兩個組的8個兒童中有7個兒童個性上的一個共同特征是與同伴的交流與合作不多或在同伴相處方面有問題?？梢?，培養兒童的社會交往能力和合群的個性是當前教育的—個重要課題。

從兒童的家庭背景與家庭教育的情況來看也有共性，但并不是很多。共性比較明顯的是低得分組的兒童除一人以外都不是主要由父母照料，而這一人也是父親老來得女的特殊家庭。相對來說，低得分組兒童家庭有的對孩子的教育不夠重視，如B1和B2的家庭，有的是雖然注重教育，但由于祖父母為主要教養人，容易寵愛孩子，并在對孩子的要求或教育方法上容易出現問題，如A1和A2的家庭。這類家庭在祖父母與父母對孩子的要求與教育方法上可能存在著不一致性。得分高的兒童基本上都與父母一起生活。他們的家庭背景有2種，一種是父母受過良好教育，家庭收入與家庭教育的物質環境都不錯，如A3和A4的家庭；另一種是雖然父母的受教育水平不高，家庭收入與家庭教育的物質環境不算太好，但家長非常注重對孩子的教育，如B3和B4的家庭。高得分組的兩種家庭的一個共同點是比較重視對孩子的教育。

從影響兒童書面數符號表征能力發展的因素來看，因素是多方面的綜合。首先是年齡因素，低得分組有2位兒童的年齡在8人中最小，且與年齡最大的兒童相差近一歲。8人中3個年齡最大的兒童均在高得分組。兒童的年齡越小，年齡因素對他們數概念的發展的影響越大。但年齡是一個復合性因素，它是生理成熟與學習經驗的綜合，因為年齡大既意味著生理上更加成熟，同時也意味著可能有更加豐富的學習經驗。其次是智商因素。從智商的得分來看，高得分組的兒童除一人外都好于低得分組，而高得分組的兒童除B4以外均屬正常智力范圍，所以他們的高得分不能僅僅歸功于智商因素。低得分組中有三個人的智商略低于90，但也都屬于智力正常范圍。從與幼兒園教師的交流來看，教師認為B1數概念發展水平差是由于她的智商有問題，其實測查結果表明，她的智商在低得分組中還是最高的，但低得分組中其他3人的進步都比她大多了。第三個因素是兒童的個性特征，高得分組與低得分組兒童個性之間的一個很大的反差是非智力因素。如學習興趣、參與數學學習的態度、注意力的集中、堅持性、自控能力等。第四個因素是家庭教育影響。本研究資料表明，從這幾個兒童來看，父母的教育水平與家庭的經濟收入對兒童的書面數符號表征能力的發展好壞不是一個決定性因素。如兒童B3和B4父母的教育水平與家庭的經濟收入都不算好，但他們的發展水平很好。重要的是父母對他們的教育影響。特別是這2個兒童在中班上學期就會用1—15的書面數符號來表征物體的數量，在幼兒園教育中還沒有涉及書面數符號的學習時，他們就已經具備了這種能力，這種能力除了家庭教育的影響沒有其他的解釋。英美的研究也證實了家庭的經濟收入情況不是決定兒童數概念發展的重要因素。家庭教育的方法也很重要。本研究發現，在家庭的數學教育中不少家長存在著困惑與誤區。機械的訓練對兒童的發展來說往往弊大于利。家長把家庭中的數學教育與小學中的正式數學知識的教育等同起來，忽略了學前期很重要的非正式數學知識的學習。學前兒童的數學教育更多的應該是滲透在日常生活中、結合實物或結合兒童所喜歡的活動來進行因勢利導，舉一反三。當然，兒童的發展并不是單個外界教育因素影響的結果，也不是諸因素的簡單相加或并存，他們的發展是兒童的個體因素與環境因素相互作用、相互影響的結果。

總的來說，個案兒童的書面數符號表征能力在兩年中都有了不同程度的進步，但進步的幅度有很大的個別差異。兒童的書面數符號表征能力在兩年中表現出相對的穩定性，中班上學期的書面數符號表征能力得分高的兒童在大班末時得分仍然偏高。兒童的基數概念、書面數符號表征能力以及書面加減運算之間有著密切的聯系。高得分組與低得分組的兒童表現出明顯的個性方面的差異，特別是在學習的興趣、注意力、自控力與堅持性方面高得分組有明顯的優勢。高得分組與低得分組的兒童的家庭教育也表現出不同的特點。幼兒園教師對不同發展水平的兒童的影響作用有待進一步的研究。