也談“一類盈虧問題的解法”

《小學教學參考》(數學版)2006年第4期刊登了《一類盈虧問題的解法》一文，文章內容由淺及深，層層遞進，讓人讀后受益匪淺。但筆者在欣賞的同時，發現文中三道例題還可以利用圖形進行解答。這種解答方法與過程不僅直觀可感，且利于學生理解和掌握。

例2 把一些蘋果和梨平均分成幾堆。如果5個蘋果和3個梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩4個；如果7個蘋果和3個梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下12個。問有多少個蘋果多少個梨?

解析：根據題中的兩組條件先畫出圖1(粗線表示第一種分法，細線表示第二種分法)， 把圖1中的兩個圖拼成圖2，并標明序號。

則①+②+③=①+⑥，顯然，②+③=⑥。由⑤=12可知，⑤的長是12÷3=4，②=5×4=20；由③=4可知，②+③=20+4=24=⑥，而⑥的寬是7-5=2，所以⑥的長是24÷2=12，即①+⑥=12×7=84，④=12×3=36，④+⑤=36+12=48。故，蘋果有84個，梨有48個。

例3 把一些蘋果和梨平均分成幾堆。如果3個蘋果和6個梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩5個；如果5個蘋果和4個梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下140個。問有多少個蘋果多少個梨?

解析：根據題中的兩組條件先畫出圖3(粗線表示第一種分法，細線表示第二種分法)，再把圖3中兩個圖形拼成圖4，并標明序號。

則④+⑤+⑥=④+⑦，顯然，⑤+⑥=⑦。由①的寬為6-4=2，⑦的寬為5-3=2，可知①=⑦=⑤+⑥；由①+③=140，可知⑤+⑥+③=140，而⑥=⑤，所以⑤+③=140-5=135。由于⑤+③的寬是3+6=9，所以⑤+③的長是135÷9=15。顯而易見，③=15×6=90，①=140-90=50，則①的長是50÷2=25。所以，①+②+③=(25+15)×6=240，④+⑦=25×5=125。故，蘋果有125個，梨有240個。

但是，筆者對例1卻持有不同的見解。

例1 把一些蘋果平均分成幾堆。如果每堆分5個蘋果，則還余4個蘋果；如果每堆分7個蘋果，則還缺28個蘋果。這些蘋果有多少個?

因為例1、例2、例3的結構很類似，且第一句話里都有“幾堆”，可作者把例1中的“幾堆”當作定值16，把例2和例3中的“幾堆”當作變量，筆者認為作者用兩種“眼神看人”，欠妥。其實，大家在思考例1時，很自然地聯想到：一個數被5除余4，被7除少28，求這個數。由于28是7的倍數，所以本例題還可轉化為“一個數被5除余4，被7整除，求這個數”。很明顯，這個數最小值是14，其次是14+5×7=49，再其次是49+5×7=84，接著是84+5×7=119……

當然，例1也可借用圖形進行分析，這種方法在此雖不足取，但至少能證明例1的答案不是唯一的。

根據題意，例1可以作兩種分析，即圖5和圖6(粗線表示第一種分法，細線表示第二種分法)。

從圖5中可以看出5x+4=(7-5)y-28，5x+32=2y。顯然，x是偶數。

當x=0時，y=16，則這些蘋果有7×16-28=84(個)。

當x=2時，y=21，則這些蘋果有7×21-28=119(個)。

……

從圖6中可以看出(7-5)b+5a=28+4，即2b+5a=32。顯然，a是偶數。

當a=0時，b=16，則這些蘋果有7×16-28=84(個)。

當a=2時，b=11，則這些蘋果有7×11-28=49(個)。

當a=4時，b=6，則這些蘋果有7×6-28=14(個)。

當a=6時，b=1，不合題意，舍去。

由此可見，例1的答案不一定是84，有可能是14、49，也有可能是……總之，這些蘋果至少有14個。