極限法在物理解題中的應用例析

季龍祥　張維昌

極限思維法是一種科學的思維方法。假若某物理量在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)變化的，我們可以將該物理量或它的變化過程和現(xiàn)象外推到該區(qū)域內(nèi)的極限情況(或極端值)，使物理問題的本質(zhì)迅速暴露出來，再根據(jù)己知的經(jīng)驗事實很快得出規(guī)律性的認識或正確的判斷。這種思維方法稱為極限思維法。

極限法在物理學研究中有廣泛的應用。開爾文把查理定律外推到零壓強這一極限情況，而引入了熱力學溫標，使氣體實驗定律的表述大大簡化。伽利略在研究自由落體運動規(guī)律時，先證明從斜面上滾下的小球做勻變速運動，后又把結(jié)論外推到斜面傾角增大到90°的極限情況——小球自由下落，從而用極限思維法間接證明了自己對自由落體運動規(guī)律的論斷是正確的。

極限法(又稱極端法)在物理解題中有比較廣泛的應用。若將貌似復雜的問題推到極端狀態(tài)或極限值條件下進行分析，問題往往變得十分簡單。利用極限法可以將傾角變化的斜面轉(zhuǎn)化成平面或豎直面。可將復雜電路變成簡單電路，可將運動物體視為靜止物體，可將變量轉(zhuǎn)化成特殊的恒定值，可將非理想物理模型轉(zhuǎn)化成理想物理模型，從而避免了不必要的詳盡的物理過程分析和繁瑣的數(shù)學推導運算，使問題的隱含條件暴露，陌生結(jié)果變得熟悉，難以判斷的結(jié)論變得一目了然。

極限法常見的方法有三種：極限假設法、特殊值分析法和臨界狀態(tài)分析法。下面舉例說明。

例1 物體A可在傾角為θ的斜面上運動，如圖1所示，若A的初速度為v0，它與斜面間的

動摩擦因數(shù)為μ。在相同情況下，A上滑與下滑的加速度大小之比為

A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

C.μ+tanθ。

D.μcosθsinθ-μcos。

析與解 本題的常規(guī)解法，是先對A進行受力分析，再應用牛頓第二定律，分別求A上滑和下滑時的加速度表達式，最后求二者之比。這樣做，費時費力，容易出錯。今用極限假設法求解；則能迅速、準確得出正確結(jié)論。

假設斜面傾角為90°，即斜面變成豎直面，A物體的上滑和下滑，就等同于豎直上拋和自由落體。上滑、下滑加速度都是g，比值為1。對照四個供選答案，將θ=90°代入檢查，只有B答案能符合假設的要求。應選B。

點評 將斜面改成豎直面(即θ=90°)并未改變上滑減速、下滑加速這一運動性質(zhì)。這樣的極端假設是合理的。若將斜面改成水平面(即θ=0°)，無論上滑還是下滑都變成減速運動，就改變了題目中約定的運動性質(zhì)。這種假設就是不合理的，當然也得不出正確結(jié)果。

對本題我們還可以做這樣的極端假設：

認為斜面是光滑的(即μ=0)，同樣可得到正確結(jié)果B。

例2 如圖2所示，兩點電荷所帶電量均為+Q，A處有一電子沿兩點電荷連線的中垂線運動，方向指向O點。設電子原來靜止，A點離O點足夠遠，電子只受電場力作用。那么在從A到O過程中電子的運動狀態(tài)是下面所述的哪一個

A.先勻加速，后勻減速。

B.加速度越來越小，速度越來越大。

C.加速度越來越大，速度越來越小。

D.加速度先變大后變小，最后變?yōu)榱恪?/p>

析與解 采用特殊值分析法，先考察兩個特殊位置：A點離O點無限遠，則電子在A點所受電場力便為零；而O點的場強為零，電子在O點的電場力也為零，所以電子在A點、O點的加速度均為零。再在AO之間任選一點，該點的場強不為零，電場力不為零，加速度也不為零。電子從A到O，其加速度是從零變大后又變?yōu)榱悖_答案應為D。

點評 用極限法考慮問題時，在選定的區(qū)域內(nèi)所研究的物理量必須是連續(xù)單調(diào)變化的。在本題中，A到O變化區(qū)域內(nèi)，加速度a并不是單調(diào)變化的，為什么也可以應用極限法呢?實際上我們選用了兩個特殊點A和O點，只研究了這兩個點附近區(qū)域a的變化。在A點和O點附近區(qū)域內(nèi)a仍是單調(diào)變化的。在A和O之間還存一個a為極大值的位置B。從A到B，a是單調(diào)增大的，從B到O，a是單調(diào)減小的。將A到O分成兩個單調(diào)區(qū)域，極限法可以使用了。

例3 如圖3所示，A物體和B物體由輕質(zhì)細線連接跨過定滑輪，A置于斜面上。A、B均靜止。且mA∶mB=3∶2，斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止，則這時A受到斜面給它的摩擦力可能是

A.變大，方向沿斜面向下。

B.變小，方向沿斜面向下。

C.變?yōu)榱恪?/p>

D.變小，方向沿斜面向上。

析與解 若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。

即mAmB=21。

今mAmB=32，說明A有沿斜面向上滑動的趨勢，A受到的靜摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能：

①mA+mCmB=2,fs=0。

②mA+mCmB仍小于2，fs變小，仍沿斜面向下。

③mA+mCmB已大于2，fs變?yōu)檠匦泵嫦蛏希锌赡鼙仍璮s大，也有可能比原fs小。因此選B、C、D。

點評 當A受到靜摩擦力fs=0就是一種臨界狀態(tài)。將fs推至臨界狀態(tài)進行分析，就能很快得出正確結(jié)論。

(欄目編輯陳 潔)

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