極限法在物理解題中的應用例析

季龍祥　張維昌

極限思維法是一種科學的思維方法。假若某物理量在某一區間內是單調連續變化的，我們可以將該物理量或它的變化過程和現象外推到該區域內的極限情況(或極端值)，使物理問題的本質迅速暴露出來，再根據己知的經驗事實很快得出規律性的認識或正確的判斷。這種思維方法稱為極限思維法。

極限法在物理學研究中有廣泛的應用。開爾文把查理定律外推到零壓強這一極限情況，而引入了熱力學溫標，使氣體實驗定律的表述大大簡化。伽利略在研究自由落體運動規律時，先證明從斜面上滾下的小球做勻變速運動，后又把結論外推到斜面傾角增大到90°的極限情況——小球自由下落，從而用極限思維法間接證明了自己對自由落體運動規律的論斷是正確的。

極限法(又稱極端法)在物理解題中有比較廣泛的應用。若將貌似復雜的問題推到極端狀態或極限值條件下進行分析，問題往往變得十分簡單。利用極限法可以將傾角變化的斜面轉化成平面或豎直面。可將復雜電路變成簡單電路，可將運動物體視為靜止物體，可將變量轉化成特殊的恒定值，可將非理想物理模型轉化成理想物理模型，從而避免了不必要的詳盡的物理過程分析和繁瑣的數學推導運算，使問題的隱含條件暴露，陌生結果變得熟悉，難以判斷的結論變得一目了然。

極限法常見的方法有三種：極限假設法、特殊值分析法和臨界狀態分析法。下面舉例說明。

例1 物體A可在傾角為θ的斜面上運動，如圖1所示，若A的初速度為v0，它與斜面間的

動摩擦因數為μ。在相同情況下，A上滑與下滑的加速度大小之比為

A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

C.μ+tanθ。

D.μcosθsinθ-μcos。

析與解 本題的常規解法，是先對A進行受力分析，再應用牛頓第二定律，分別求A上滑和下滑時的加速度表達式，最后求二者之比。這樣做，費時費力，容易出錯。今用極限假設法求解；則能迅速、準確得出正確結論。

假設斜面傾角為90°，即斜面變成豎直面，A物體的上滑和下滑，就等同于豎直上拋和自由落體。上滑、下滑加速度都是g，比值為1。對照四個供選答案，將θ=90°代入檢查，只有B答案能符合假設的要求。應選B。

點評 將斜面改成豎直面(即θ=90°)并未改變上滑減速、下滑加速這一運動性質。這樣的極端假設是合理的。若將斜面改成水平面(即θ=0°)，無論上滑還是下滑都變成減速運動，就改變了題目中約定的運動性質。這種假設就是不合理的，當然也得不出正確結果。

對本題我們還可以做這樣的極端假設：

認為斜面是光滑的(即μ=0)，同樣可得到正確結果B。

例2 如圖2所示，兩點電荷所帶電量均為+Q，A處有一電子沿兩點電荷連線的中垂線運動，方向指向O點。設電子原來靜止，A點離O點足夠遠，電子只受電場力作用。那么在從A到O過程中電子的運動狀態是下面所述的哪一個

A.先勻加速，后勻減速。

B.加速度越來越小，速度越來越大。

C.加速度越來越大，速度越來越小。

D.加速度先變大后變小，最后變為零。

析與解 采用特殊值分析法，先考察兩個特殊位置：A點離O點無限遠，則電子在A點所受電場力便為零；而O點的場強為零，電子在O點的電場力也為零，所以電子在A點、O點的加速度均為零。再在AO之間任選一點，該點的場強不為零，電場力不為零，加速度也不為零。電子從A到O，其加速度是從零變大后又變為零，正確答案應為D。

點評 用極限法考慮問題時，在選定的區域內所研究的物理量必須是連續單調變化的。在本題中，A到O變化區域內，加速度a并不是單調變化的，為什么也可以應用極限法呢?實際上我們選用了兩個特殊點A和O點，只研究了這兩個點附近區域a的變化。在A點和O點附近區域內a仍是單調變化的。在A和O之間還存一個a為極大值的位置B。從A到B，a是單調增大的，從B到O，a是單調減小的。將A到O分成兩個單調區域，極限法可以使用了。

例3 如圖3所示，A物體和B物體由輕質細線連接跨過定滑輪，A置于斜面上。A、B均靜止。且mA∶mB=3∶2，斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止，則這時A受到斜面給它的摩擦力可能是

A.變大，方向沿斜面向下。

B.變小，方向沿斜面向下。

C.變為零。

D.變小，方向沿斜面向上。

析與解 若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。

即mAmB=21。

今mAmB=32，說明A有沿斜面向上滑動的趨勢，A受到的靜摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能：

①mA+mCmB=2,fs=0。

②mA+mCmB仍小于2，fs變小，仍沿斜面向下。

③mA+mCmB已大于2，fs變為沿斜面向上，有可能比原fs大，也有可能比原fs小。因此選B、C、D。

點評 當A受到靜摩擦力fs=0就是一種臨界狀態。將fs推至臨界狀態進行分析，就能很快得出正確結論。

(欄目編輯陳 潔)

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