兒童早期加法策略發展及其教育啟示

[摘要]計算策略是影響兒童計算能力發展的重要因素，反映了兒童的思維過程及問題解決水平。目前已有研究對兒童早期加法策略的類型、水平及發展特點進行了深入細致的探討。幼兒園在開展計算教學活動時應積極利用這些研究成果，為兒童提供運用、表達與交流策略的機會，并積極促進兒童策略意識與水平的發展。

[關鍵詞]加法策略;兒童;早期;數學教育

收稿日期:2006-10-15

*通訊作者:劉頌，E-mail:songlnliu@yahoo.com.cn

加減運算是兒童早期數學認知能力的重要組成部分，隨著認知心理學的發展，人們不再只限于了解兒童加減運算結果的正確性與年齡差異，更想探察兒童加減運算的心理過程及影響因素。策略作為個體在計算加工過程中的執行和控制環節，策略的選擇與運用作為反映個體問題解決能力的重要指標，從上個世紀80年代以來備受研究者的關注，其中對加法策略的探討尤為熱烈與成熟。兒童早期加法策略研究主要探討了兒童早期計算策略的類型、數量、結構與水平，分析了兒童運算的信息加工過程，為深入理解兒童早期數學認知能力的發展特點與規律提供了新的視角，為制定有效的加減運算教學措施及輔導方法提供了科學的依據。國外不少著名的數學教育方案(如CognitivelyGuidedInstruction、MathTrailblazers等)都是在基于兒童加減運算策略發展的研究上，提出了加減運算教學的一些重要原則，如在數學課堂中重視了解兒童解決加減運算的策略、提供豐富的操作材料與創設適宜的問題情景激發兒童運用多種策略、鼓勵兒童表達與交流等。這種重視兒童問題解決過程以及鼓勵兒童自主建構的教學方法，對美國的學校教育以及人才培養具有深遠的影響。對教師而言，了解兒童的計算策略，洞悉兒童的思維過程，不僅有助于教師科學、客觀地評價兒童的認知水平，而且有利于教師積極利用兒童自發的、非正式的數學經驗進行指導，從而實現“為理解而教”與“有意義的數學學習”。對兒童而言，在生動、活躍的問題解決過程中，知曉并調整問題解決策略，有助于兒童構建并改進數學概念，體驗并形成數學學習的自信心與積極態度。

由此反觀我國幼兒園的加減運算教學，加減運算的精確性與速度似乎是我們追求的惟一目標。在此大背景下，計算策略在幼兒園教學中常常處于缺失的狀態，沒有得到正確的認識與應有的重視。有的教師知道兒童的某些策略，但缺乏系統性;有的教師和家長存在認識誤區，以為簡單加減運算只有快速報出答案才是惟一正確方法，忽視兒童自發產生的豐富多彩的策略世界;有的教師或家長拒絕或禁止兒童選用符合其認知發展特點的計算策略，如數手指。筆者在一項幼兒數學認知能力的研究中，屢屢看到孩子們的如下表現:有的孩子習慣于把手背在身后進行計算，或者有明顯數數行為的孩子否認自己用了手指;有的孩子在無法回憶起答案時，不會采取其他有效策略解決問題;有的孩子堅持用某種習得的技能解決所有問題，缺乏靈活性、多樣的問題解決意識與能力;有的孩子顯示出對計算的厭煩與逃避心理……

看到這些現象，聽到這些聲音，我們不禁會問:加減計算是否完全等同于刺激與反應的聯結，只需多次重復背誦而不需要孩子充分理解其間的數量關系?要求孩子快速記住成人告知的正確答案，是否遠勝過讓孩子多花費一些時間與精力，用自己的方式解決問題并體驗數學的“再發現”過程?如果孩子用手或嘴數數來解決問題，是否比不會用任何策略更加使成人感到尷尬?幼兒園計算教學是讓孩子做大量的計算練習，以追求只有暫時效應的技巧訓練，還是創設豐富的材料、有益的活動，使孩子有效選擇與運用計算策略，積極參與問題解決過程以及對自己的計算能力充滿自信?為了較好地回答上述問題，我們有必要重新認識兒童早期計算策略的表現，并思考如何采取有效措施在概念理解與技能練習之間取得平衡，以讓兒童達到熟練運算的水平。

一、兒童早期加法策略的發展

(一)兒童早期加法策略的類型

根據Siegler等人的研究，兒童在進入小學接受正式數學教育之前已經具備了相當豐富的數與計算概念及經驗，并且在解決簡單加法問題時表現出多種策略類型，一般分為如下5種:

1.數手指策略，指兒童用手指代表兩個加數，并通過數手指求和，常常伴有口頭數數行為，可進一步分為3種類型(以3+5為例):

全部數策略，指兒童從1開始連續點數代表兩個加數的所有手指，如邊伸手指邊念“1、2、3、(停頓)4、5、6、7、8”;

最大策略，指兒童從較小的加數開始點數手指，如邊伸手指邊念“4、5、6、7、8”;

最小策略，指兒童從較大的加數開始點數手指，邊伸手指邊念“6、7、8”。

在實際計算中，兒童從第一個數往上數，即為全部數策略;當面對小數在前的加法題時(如3+5)，從第一個數往上數即最大策略，而兒童意識到兩個加數的大小并從大數往上數時即最小策略。

2.口頭數數策略，指兒童出聲唱數以求和，有時表現為只有細微嘴部動作的默念。該策略同樣可細分為上述3種類型:全部數策略、最大策略、最小策略，與數手指策略的差別在于無手指動作。

3.擺手指策略，指兒童用手指代表兩個或某個加數，不經點數立即得出答案。

4.分解策略，指兒童把某個加數拆解成更小的兩個數字，與另一加數相加得出兒童熟悉的答案，然后再加上剩余的分解數字。如對3+4，兒童如果已經記住了兩個3得6，則可能把4拆成3和1，先得出6，再加1等于7;對于兩數之和大于10的加法題，如6+5，兒童先把6分解成5和1，兩個5相加為10，10加1等于11，這就是分解策略的一種特殊類型——湊十。

5.提取策略，指兒童從記憶中直接搜索出已記住的答案。

需要指出的是，數手指策略與擺手指策略雖然都用到了手指，但兒童的外部行為與內在認知過程都存在區別。例如，在計算3+5時，如果兒童數出3個指頭，再數出5個指頭，然后逐一點數伸出的手指，則是數手指策略;如果兒童左手伸出3個指頭，右手同時伸出5個指頭，看著手指但不點數并較快得出結果，就是擺手指策略。從外部行為中我們也不難看出，兒童在使用擺手指策略時，腦海中已經形成了與某個加數對應的手指圖式，如5對應一只手的五指，7對應一只手的五指和另一只手的2個指頭，而不需要借助逐一點數來得出與加數對應的手指個數，因此計算速度與精確性都優于數手指策略。

此外，我們比較熟悉的使用直觀物體(如操作積木、小棍，在紙上畫豎線或圓圈)的策略，與數手指策略具有相同的認知功能，即兒童用物體(無論是作為天然計數工具的手指還是外部工具)表征抽象的數字意義，并在點數中監控數數過程以免出錯。由于不少研究者在考察兒童計算策略時不提供額外的操作物，所以直觀物體策略沒有列入計算策略類型。但鑒于兒童認知發展特點及對兒童學習興趣的考慮，我們提倡使用這些直觀物體，以幫助兒童更好地理解數概念以及監控計算過程。

(二)兒童早期加法策略的水平

5種策略在執行過程中對認知資源與時間的需求存在顯著差異，并在兒童學習運算的初期按一定的順序出現，反映了它們在成熟水平上遞進演變的過程(見圖1)。

首先，提取策略與其他4種“支持性策略”相比，主要是從記憶中搜索答案，較少需要工作記憶資源監控問題解決過程，因此反應速度最快。提取策略答案的正確性在很大程度上取決于兒童先前支持性策略的使用經驗，換言之，使用支持性策略可以幫助兒童在兩個加數與答案之間建立正確、穩定的聯系，從而有助于將正確答案保存在長時記憶中。其次，數手指與口頭數數策略較多依賴兒童數數的概念性知識與程序性知識，兒童在策略執行中需要調動更多認知資源參與、監控與調整數數行為，需要外部動作或外部語言進行加工，因此思維過程相對外化;而擺手指、分解與提取策略借助兒童已有的表象或內部語言進行運算，長時記憶系統在運算過程中發揮越來越多的作用，體現出思維逐漸內化的特點。第三，數手指與口頭數數策略內部也存在水平上的差異，即全部數策略、最大策略與最小策略在發展水平上逐級遞進。兒童最初的計算都從1開始數數，隨著其概念發展，兒童開始發現數數可以從數列的中間開始，再經過多次嘗試，進而發現調換兩個加數位置不影響計算結果，至此，最小策略因執行的快速、精確與簡單而成為數手指與口頭數數方式中的優勢策略。

(三)兒童早期加法策略的發展特點

兒童早期加法策略發展有兩個顯著特點:其一，5種基本策略在兒童學習加法運算的初期呈一定的順序出現，高水平策略在低水平策略熟練運用的基礎上發展而來;其二，兒童所使用的策略呈波浪式發展，即兒童在一定時期同時使用低水平策略與高水平策略，不同成熟水平的策略隨著時間與兒童認知能力的發展而在使用頻率上出現高低起伏的變化。

我們從幼兒學習加法運算的典型行為中不難看出策略出現的先后順序:同樣是回答“三加二等于幾”，兒童最初從1開始分別數出代表3和2的手指個數，然后再從1開始點數全部手指;后來，兒童伸出3個手指，接著邊伸一個手指邊念一個數字“4”、“5”;再后來，兒童口頭從3往上念“4、5”;若干時間后，兒童直接回答“5”……上述情景反映了加法策略呈固定順序出現的規律:策略逐漸從外化、依賴實物轉化為內隱、依賴符號表征。策略逐漸向較高水平延伸的原因是，先前策略隨著使用經驗更趨熟練與精確后，大大降低了兒童執行該策略所需的認知資源，因此剩余的認知資源就被用來在現存策略中去尋找過剩的加工成分，激發對新策略的發現與探索，驅使策略朝著快速、精確與省力的方向發展。同時，兒童通過正確執行數數、擺手指等支持性策略，不僅促進了兒童對加數與答案之間數量關系的理解，而且形成了兩者之間的聯結，這種聯結又促使兒童更快更準地運用策略;最后支持性策略以自己的消失促進這一過渡過程，提取策略得以出現或頻繁使用。加法策略的演變過程給我們兩點啟示:第一，使用手指、口頭數數等支持性策略能有效幫助兒童形成加數與正確答案的聯系，促進提取策略的出現與使用;第二，機械背誦加法題的方法，不僅可能因記憶不準確導致答案容易出錯，而且可能因缺乏數量理解與支持性策略使用經驗，使兒童無法采取有效策略來解決較新異或無法提取答案的任務，從而會局限兒童思維能力的發揮與運用。

作為問題解決者，兒童會使用多種加法策略，而不是單一的某種策略。即使是年齡較小的兒童，他們也并非用數手指解決所有問題。對于較為簡單的題目，如加數為小數或成雙，兒童也努力從記憶中提取答案;如果題目較難或者答案無法順利搜索，兒童轉而使用數手指等其他支持性策略來尋求正確答案。年齡較大的兒童也同時使用這些策略，只不過他們對提取、分解等策略的使用頻率更高，數手指、口頭數數策略的使用頻率相對下降。因此，兒童策略發展不是高水平策略完全取代低水平策略的階梯狀發展，而是波浪式前進，表現為每種策略在不同的時間達到各自的高峰與低谷。這樣，兒童可以靈活根據問題的難度以及自己運用各種策略的效果選擇合適的策略，以順利解決問題與獲取正確答案。

二、對幼兒園開展計算策略教學的建議

幼兒園歷來重視培養兒童熟練、流暢的計算技能，這樣兒童進入小學學習多位數計算、文字題等包含簡單計算的數學知識時，可以快速、準確得出簡單計算的答案，將更多的認知資源投入到問題解決的其他環節，從而有助于兒童解決這些更高水平的數學問題。然而，更高水平的數學問題解決不是單單取決于兒童簡單計算的能力，更與兒童的數量理解程度、問題解決意識、元認知水平緊密相連。當前的研究也發現，熟練計算必須在概念性理解和技能練習之間取得平衡，厚此薄彼的做法會負面影響兒童問題解決的靈活性、速度和精確性;當兒童被鼓勵運用、解釋與互相討論計算策略時，他們對數和運算的理解更加牢固，數學解決問題的靈活性與水平優于同齡兒童，同時可以獲得熟練計算的能力。學前時期作為兒童數學學習的準備階段，此時的數學教育(包含計算教學)應當有助于兒童有效構建數學知識、靈活解決問題以及積極體驗數學學習的成功感。因此，我們有必要在幼兒園計算教學活動中引入并開展策略方面的內容。

(一)積極關注與了解兒童計算策略的表現與特點

教師學習與了解有關兒童計算策略表現與特點的知識，一方面可以促使教師深入理解兒童的認知特點以及思維過程，有助于教師根據兒童計算能力發展規律來有效制定、實施與調整相關教學活動;另一方面，由于策略能敏銳反映兒童在相同回答之下的不同認知加工過程，教師可以更為準確地判斷兒童的思維水平，為采取適宜的、個別化的教學指導提供科學依據。

鑒于目前教師對兒童計算策略的認識比較零散甚至貧乏，我們建議從理論學習與教學觀察兩方面著手加以改善。首先，教師可以通過查閱有關兒童數學認知發展的專業書刊，了解兒童計算策略發展的一般規律與特點，形成對兒童策略發展的正確認識;其次，教師更應從教學活動與日常生活中考察兒童的計算策略表現，這樣既可以增進對理論知識的理解，又可以促進教師思考如何在教學實踐中有效運用兒童策略發展的知識。教師可以根據自己的精力與需要靈活采取以下具體的策略考察辦法，如根據本學期的數學教學目標選擇若干難度不一的計算題，對兒童進行個別測試，詳細記錄兒童的回答以及期間的語言、動作等表現，并追問兒童“你是怎樣得出答案的?”最后判斷并分析每個兒童策略使用的類型與次數。再如，在兒童日常生活與教學活動中，可隨機追問兒童的計算辦法，快捷了解兒童的思考過程;可通過與同事的交談，交換有關兒童策略發展的表現與看法;還可以對兒童的策略運用進行連續觀察與記錄，細致、真實地反映兒童數學能力的進步，并以此幫助家長了解子女的計算能力、消除他們的某些認識誤區。

(二)適宜指導兒童的計算策略運用

教師在觀察與了解兒童計算策略發展的基礎上，應積極采取有效的教學措施，指導兒童的策略運用，激發與引導兒童思考問題解決的辦法，提高兒童策略運用的效能，在概念理解的基礎上切實促進兒童計算能力的發展。可參考如下做法:

其一，教師在計算教學活動中，應留下足夠的時間讓兒童思考，而不是只滿足于快速得到答案，還可要求兒童報告具體的解決方法。這樣既可以幫助兒童認識到采取辦法解決問題的必要，又可以使部分兒童有機會采用自己的方法得出答案，避免只是重復他人結果的現象。

其二，教師應鼓勵兒童采取多種策略，解決計算問題，如提問“還有其他辦法嗎”，幫助兒童認識與了解多種計算策略。

其三，教師應為兒童的策略運用提供必要、合適的材料，如積木、小棍等實物與紙、筆等工具，以便于兒童選擇適當的材料來表征數量關系以及監控計算過程，這在計算學習的初期以及解決較難問題的時候尤為必要。

其四，教師應根據兒童計算策略發展的規律以及兒童現有的策略水平提供適宜的指導，引導兒童嘗試與使用更高水平的策略。比如，我們知道最小策略在解決計算問題時具有快速、準確、簡單的特點，那是不是告訴兒童“把大數放在心里，接著往上數”就行了呢?策略指導的效果取決于以下3種因素:1.該策略是否處于兒童的最近發展區內;2.兒童是否理解該策略的優點以及操作方法;3.兒童是否得到適宜的策略練習機會。如果兒童已經使用從第一個數往上數的策略，這時介紹最小策略比較合適，因為兒童已經理解“順序無關”的數數原則，關鍵在于提醒兒童注意比較兩數大小。如果兒童的優勢策略是從1開始數，他尚未理解起始位置不影響數數結果，此時應先幫助其理解數數原則。因此，我們應根據兒童策略發展的水平來選擇適宜的策略類型進行指導。另外，策略指導的方式對于兒童選擇與正確使用策略非常重要。以最小策略為例，向兒童呈現第一個加數比第二個加數小很多的問題，如2+9，啟發兒童發現最小策略，使兒童明了這種策略的操作方式，然后讓他們練習更有挑戰的題目，如3+22、4+33等，并結合例子講解該策略的優點，最后要求兒童自己解釋策略，這樣可以強化他們對策略的理解與記憶，提高他們使用該策略的頻率。

(三)創設兒童表達與交流計算策略的機會

創設機會讓兒童表達與交流策略，不僅有助于兒童知曉與反思自己所用的策略，使兒童更有效地監控策略執行過程與提高策略使用效率，而且兒童通過討論、觀察他人使用的策略，可以了解問題解決策略的多樣性，培養其尊重他人意見的態度。

首先，我們可以創設適當的問題情景，比如日常數學問題，激發兒童采取多種計算策略，并要求兒童解釋或演示所用策略，這樣有助于兒童逐漸認識并反思自己的思考過程。學前兒童因語言表達與元認知水平的局限，往往使這種策略報告活動在初期比較困難。此時教師應采取靈活、漸進的措施培養兒童有意識地思考所用策略，如示范大聲思考、允許兒童用動作演示等等。其次，教師通過組織兒童報告與交流策略，既可以引導兒童認識到計算策略的豐富多樣性，又可以促進兒童通過觀察、模仿等方式去學習、嘗試其他策略。在分享交流活動中，兒童可以了解與比較多種策略，激發其發散性思維的意識，并且有可能通過觀察、模仿等方式學習同伴的問題解決策略。與此同時，兒童還可以從中學習如何傾聽與尊重他人意見。

本文以加法策略為例，呈現了筆者對幼兒園計算教學的思考與建議，目的在于拋磚引玉，希望觸發人們積極思考幼兒園數學教學如何有效結合兒童數學認知發展的特點以及如何重視兒童的思維過程與問題解決能力，以更好地改善幼兒園數學教育的質量，真正發揮其作為準備性教育的功能，促進兒童數學能力的長遠發展。

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