ＩＭＰＲＶＯＥ：解題教學的一種方略

與解常規數學問題上“令人贊譽”的表現相比，學生在解決數學應用題上的表現一直欠佳，其原因是多方面的，但歸根結底，應用問題的課堂教學存在著一些的薄弱環節，通常的情況是，教師的主導風格是告訴學生解決應用題應該遵循的規則與程序，然后學生一遍遍地進行練習，教師只關心學生是否能夠正確運算，而不關心學生是否理解量的意義，學生也只關心問題是什么，答案是什么，“教學中的問題必須通過教學來解決。”為了擺脫應用問題教學的這種“尷尬”狀況，國外的研究人員開展了大量旨在改進應用題教學的試驗，給這幅凄涼的應用題學習的圖畫增加了一些希望，其中，IMPROVE教學方案對于數學應用問題的教學提供一個新的思路。

1、什么是IMPROVE?

IMPROVE是指應用題教學的一種結構，即“引入新內容(I)、小組元認知提問(M)、做練習(P)、回顧(R)、熟練(0)、合理解釋(V)、豐富(E)”這些詞組(或單詞)的英文首字母的縮寫形式。

具體地說，在教師引入新的數學知識內容以后，學生在小組中學習，他們輪流提出并回答三類問題，即理解性問題、方法性問題和關聯性問題，理解性問題主要是引導學生清楚題目的重要條件(如“用自己的語言敘述問題”)，或者對問題進行適當的分類(如“這是一個比例問題”，“這是一個負數的化簡問題”)，或者解釋一些新的概念(如“它的定義是____”、“這個的意思是____”、“已知的是____”、“未知的是____”)，方法性問題是指與解決問題要使用的某種方法相聯系的問題如果要解決的問題屬于證明題，方法性提問就應該提醒學生會選擇相關的定理或公理，來說明解答過程的正確性；如果要解決的問題屬于代數應用題，方法性提問就應該提醒學生會利用圖形或圖表，換句話說，方法性提問就是要引導學生明確要解決給定的問題，應該用什么方法，用哪種方法更合適以及該方法怎樣用，關聯性問題是指要解決的問題與已經解決過的問題之間的相似性與差異性，采取關聯性提問，學生應該學會區分在內容背景和數學結構都一樣的等價問題、內容背景一樣但數學結構不一樣的相似問題、內容背景不同但數學結構一樣的同構問題、以及內容背景和數學結構都不同的無關問題。

下面結合一個行程問題來簡要說明IMPROVE的教學過程。

火車甲的速度是60公里每小時，火車乙的速度是90公里每小時，乙車比甲車晚離開A站1小時，早到達B站1小時，求A站與B站之間的距離。

在學習了解一元一次方程的相關數學知識以后，教師通常先作出一些解題的示范(大約15分鐘)，圍繞上述的三類元認知問題向學生展示其思考的過程，著重突出教師是如何理解問題的，如何形成解題方法的，以及又如何來驗證所求出的答案，在例題的選擇方面，教師注意各種難度水平的題目搭配，以適應于學生學習水平的差異性，然后，教師給出類似于該行程問題的一些題目，并給每個學生發了一張卡片，卡片上印制有學習討論的提綱，這些討論的提綱主要地涉及到上面所謂的三類元認知的問題，比如，(1)題目是什么?知道哪些條件，要求的是什么?(2)該問題與你會解決的哪個問題有聯系?(3)解決該問題要利用哪個方法?

接下來，學生在小組中合作解決這個問題，在學生解題的過程中，要求學生圍繞卡片上的問題在做題中進行討論每個學生都要對卡片的問題作出回答，并向同組的同學解釋他或她的思考過程，如果小組成員不能解決某問題，或者解題的過程以及結果不一致的時候，小組成員再圍繞卡片問題展開討論，下面的一個片段展示了學生的思考過程。

A(學生)：先看看卡片，要我們大聲讀出題目，并用自己的話把題目說一遍，(學生大聲讀題)，好了，這是一個速度、時間與距離的問題，它告訴我們兩列火車以不同的速度從A站同方向駛往B站，后面的那輛車晚離開1小時，而早到達1小時，要我們求距離。

B(學生)：這和以前的問題是一樣的，兩個都是速度、時間與距離問題，并且列車都是從同一個地方出發的。

C(學生)：對!但是有點不同，因為火車不同同時離開的。

D(學生)：這就困難了，因為我們不知道時間，也不能計算出時間。

A：那就把時間設為x。

B：好辦法!(他邊寫邊說)，甲與乙的時間為x。

A：x與x?

B：老師說過的，x與x!

A：不對，你錯了，甲的時間是x，乙晚離開1小時，乙的時間應該是x+1。

B：為什么是x+1?

A：它晚1個小時離開嘛。

D：晚1個小時就應該是x-1呢。

A：不對，你看，如果甲是7點鐘離開的，乙就是8點鐘離開的，因此是x+1。

D：嗯，但是x不是離開的時間，而是它們行使的時間呀，所以，一列火車晚一些離開，它行使的時間就少一些，假如甲達到B站是12點鐘，用了5個小時，那乙就只要4個小時。

如果小組成員都不能解決問題，他們可以請教老師獲得幫助，通常，在學生合作解決的過程中，教師充當了巡查檢視的角色，及時了解各小組的進展情況，并對需要幫助的小組提供指導，指導的關鍵仍然圍繞三個元認知問題來閱讀題目，提出問題并解釋解題的各種步驟，當學生基本上完成課堂練習以后，教師就對學習的重點進行一些小結，同時也對班級學生解題中的共同錯誤進行講評。

然后，通過布置形式多樣的數學應用題，包括等價問題、同構問題、相似問題以及無關的問題，來逐步加深學生所學習的內容，并能夠達到熟練解決某一類問題的程度，同時，也要求學生結合所學的數學知識對于自己的解答過程合理地給予解釋。

最后，在某單元的學習結束以后，組織單元測試，及時發現學生在解決問題上的不足指出，通過講評試卷來不斷豐富學生解決應用問題的能力。

2、IMPROVE的教學特點

IMPROVE的教學結構，充分體現了我國數學教學的特色，即注重精講多練，強調變式訓練，以及通過作業或測試來鞏固強化所學的數學知識，但更重要的是，它在教學中所特別突出的一個特點就是把元認知的指導滲透到教學的常規環節之中，事實上，就元認知的指導而言，其根本目的在于給學生解決應用問題提供一個思考的支架，激發出與元認知密切相關的各種行為，以發揮元認知的積極作用，正如許多的實證研究所表明的，這樣的一些元認知行為對于正確理解應用問題并解決應用題在相當程度上是必須的，如“用自己的語言重新敘述問題”；“自我解釋從問題中獲得的信息”；“澄清問題的信息”；“畫一個圖”等等，從IMPROVE教學中的這些指導性的提問方式來看，三類元認知問題中，理解性的問題所強調的就是促使學生在解題之前對應用題進行思考，讀懂題目的意思，即“審題”；關聯性問題所強調的就是促使學生在區分現有任務與已解決過的任務之間的相似程度及不同之處，能夠把所學的知識與新的任務有機聯系起來；方法性問題即要求學生考慮哪種方法適合于解決給出的問題或任務，說明應用這種方法的理由。

此外，IMPROVE教學采取了小組合作學習的形式，這是它的另一個特點，學習小組通常由4個異質成員組成，即學生在數學學業成績上有差異的學生構成合作學習的小組，其中一個優等生、2個中等生和一個學困生，采取這種學習形式，也充分借鑒并吸收了當代教育教學理論發展的最新成果——以同伴互助與系統及時反饋為特征的小組合作學習有助于增強學生的數學思考能力，一方面，同伴互助給小組成員交流想法、解釋數學推理過程提供了大量的機會，并使得小組成員能夠共享各自已有的數學知識與經驗；另一方面，有指導的合作學習能夠及時地反饋小組成員的認知加工策略，從而有助于學生熟練掌握解決應用問題的方式與方法，并深化學生的數學思考能力。

3、結語

數學應用問題“難教難學”的現實境況需要我們不斷努力，改進數學的課堂教學，切實提高課堂教學的效益，這里所介紹的IMPROVE教學方略，可以為我們的數學教學實踐提供一些參考，但更為重要的是我們必須始終堅持的一個教學法則就是，有效的數學教學總是結合特定的教學對象與特定的教學內容采取相應的教學方法。