破解數學思維“死角”探析

數學思維“死角”是指學生在學習數學過程中的認知盲區，這個認知盲區是由于沒有形成辯證思維造成的，它不同于數學學習過程中的一般性錯誤。因此，我們有必要對小學生進行辯證思維的啟蒙教育。

一、數學思維“死角”有多種表征，既有對思維品質潛在的不良影響，又有對小學生進行辯證思維啟蒙教育的利用

價值

1.隱蔽性。

數學思維“死角”與學生的思維活動密切相關，常隱蔽在一般思維活動之后，不易察覺，只有在解決具體問題時出現的阻礙和困難中，才得以顯現。隱蔽性在特例、特解、錯題、錯解，以及抽象的概念、結論的運用、變式的練習中表現較為顯著。

2.延續性。

在環境不變的情況下，積極的定勢思維能使人運用已掌握的方法迅速解決問題，而數學思維“死角”的形成，會對學生的學習產生負面影響，從而形成消極的思維定勢，使學生對事物的認識總是擺脫不了已有框架的“束縛”。思維“死角”的延續性，常常表現在新舊知識的遷移處和相近知識的連接處。

3.差異性。

對于同一年齡層次的學生來說，思維及數學思維的發展有共性之處，又有其自身的特點。數學思維“死角”亦然，表現在不同的學生對相同的問題或同一個學生對不同特點的數學知識，認知盲區的表現方式和程度各不相同。

4.資源性。

當思維“死角”出現時，如果能正視并根據思維“死角”的特點引導學生及時調整思維的角度、起點，思維“死角”就能成為重要的教學資源，對提升學生的思維品質大有益處。

二、數學思維“死角”的形成，源于教材呈現方式的局限、教師辯證思維的缺失、學生辯證思維的空白等方面，需

要教師綜合分析，對癥下藥

教材的原因：教材呈現的是作為結果的與經過邏輯加工的數學理論體系，沒有揭示概念的發展、定律的發現、思路的猜測、方法的選擇，以及數學的發現、創造、應用的探索過程。學生在把靜態的結果轉化為動態的知識結構的過程中，思維“死角”就會不可避免地產生。雖然數學家和編者的思維方式或隱或現地存在于教材中，卻代替不了學生的思維方式，兩者之間的脫榫，形成了學生的思維“死角”。

案例1：“數的整除”教學片斷

“為了方便，我們在研究約數和倍數時，所說的數一般指不是零的自然數。”

這句話中的“一般”，使該單元的教學年年在爭論和分歧中進行。“一般指不是零的自然數”，那么何時考慮零？何時忽視零?最小的合數是4，零呢?任何非零整數都是零的約數，而合數的概念正是依據一個數約數個數的多少來界定的。再者，零是偶數，因為零能被2整除，那么零為什么不是奇數?零也能被奇數整除。像上述這些問題都沒有把零排除在外，所以爭論也就不可避免。

有些數學思維“死角”的形成，則是數學學科本身的特點所致。數學的對象是抽象思維的產物，學科本身的高度抽象與學生思維發展特點之間的矛盾，決定了形成數學思維“死角”的必然性。因此，在課程實施中，教師要在充分把握學生現實經驗和認知水平的基礎上，尋找更為合理的教學落腳點，使凝結于教材的數學家的成熟思維方式通過教師的教學加工而轉化為學生積極主動、科學合理的思維方式，很好地彌補了教材呈現的不足。

教師的原因：教學行為是教師思維方式的外顯，教師自身的思維方式很大程度上影響學生的思維過程。由于教師自身辯證思維的欠缺，加之教師的主觀意識、教學經驗、教育機智等因素，教學實際中總會出現一些教師預設時不曾料想的細節，有的被疏忽，成為教學的遺憾；有的在教學中被捕捉與挖掘，成為課堂生成的亮點，彌補了預設的不足。

案例2：“分數與除法”教學片斷

把3塊餅平均分給4個小朋友，每個小朋友分得多少塊?

想：求每個小朋友分得多少塊，要算3÷4得多少。

從圖中可以看出，每個小朋友分得3個1/4，就是3/4塊，所以3÷4=3/4(塊)。

答：每個小朋友分得3/4塊餅。

每個小朋友分得3/4塊餅，相當于3塊餅的1/4，從另一個角度看，則相當于1塊餅的3/4。一個分數從不同的角度看，有其不同的含義。如此重要的知識內涵，由于教師預設的欠缺，造成學生對分數意義理解的膚淺與不全面。要克服思維盲區，教師就要結合自身的思維方式，運用唯物辯證法的觀點，從不同的角度改進自身對現象和問題的看法。教師要對教學內容有本質的理解和深刻的把握，不斷積累教學經驗，教學預設時要從學生的角度預想教學的可能性，使數學家與編者的思維方式、學生的思維方式通過教師的思維活動架設橋梁，實現三者之間的平衡。

學生的原因：學生是課程實施過程中重要的教育資源。學生思維的基本特點是以具體形象思維為主要形式，并逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然與學生直接的、感性的經驗相聯系。學生在學習數學的過程中，由于知識經驗、社會閱歷、思維水平等因素，對數學知識的掌握停留在表象的概括上，不能脫離具體形象形成抽象的概念，缺乏辯證的思維方式，決定了學生思維方式的單一，容易出現認知盲區，形成數學思維“死角”。

案例3：一輛汽車從相距120千米的甲地到乙地，去時用了2小時，回來時用了2.5小時，求這輛汽車往返的平均速度。

錯誤解答：(120÷2+120÷3)÷2=(60+40)÷2=50(千米)

很顯然，學生求的不是往返的平均速度。面對學生的錯誤理解，教師該怎么辦?是簡單否定還是直接告知?教師不妨利用數形結合，辨析算法的真偽，幫助學生理解平均數應用題的數量關系，加深對“平均數”這一概念的深刻認識。

面對教學過程中學生出現的“意外”，教師應及時調整教學預設，引導學生全面、辯證地思考數學問題，只有這樣，學生對數學內容的理解才不至于浮于表面，而是有機地深入到數學內容的內核中去。在學生的學習過程中，思維“死角”隨處可遇，關鍵是教師要練就一雙慧眼，把“思維死角”作為調整教學策略的著眼點，有效地克服學生的思維“死角”。

三、辯證思維是數學學習中思維方式的最高境界，思維“死角”是對學生進行辯證思維啟蒙教育重要的課程資源

教師要運用多種途徑和方法，打開進入思維“死角”的入口，幫助學生消滅思維“死角”，掌握初步辯證思維的方法，提升學生的思維品質。

1.從少數學生的聲音中發現思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供平臺。

課堂教學是動態生成的，常常會出現少數學生的聲音。遺憾的是，有的教師面對少數學生的聲音，不是以“這個問題我們課后再討論”來搪塞，避而不談，就是用“你真是個愛動腦筋的孩子”來敷衍，既不肯定也不否定，許多優質教育資源就這樣與我們失之交臂。其實，這種聲音正是學生思維的真實暴露。如果是正確的，不正好完善與豐富我們的預設，提高了學生認知的平臺，增添教學的亮點嗎?如果是片面的、膚淺的，甚至是錯誤的，從中我們更能獲得一些重要的教育信息：教學預設有哪些不足?教學思路該如何調整?教學問題如何設計?怎樣促進學生辯證數學觀念的形成?……如一位教師教學“軸對稱圖形”一課時，學生對平行四邊形是否是軸對稱圖形產生分歧。面對學生的思維誤區，教師不是直接告知，也不是簡單地否定，而是利用少數學生的聲音組織學生辯論，使學生準確地把握軸對稱圖形的內涵。正是少數人的認知“死角”，使得學生的認知在爭辯中由模糊、膚淺走向清晰與深刻。

教師要智慧地對待少數學生的聲音。(1)要認真傾聽，善于甄別、篩選，及時捕捉，使少數學生的聲音成為有效的教學資源，回避、敷衍或強制學生接受教師觀點的教學策略，都不是有智慧的教育。(2)建立和諧、民主的師生關系，營造輕松、愉悅的教學氛圍，讓學生在課堂中敢說、敢想、敢做，若過分強調教師的中心觀念，學生的認知就會出現盲區。(3)鼓勵學生質疑問難。質疑問難是探求知識、發現問題的開始，學生也容易暴露思維盲區，成為教學中可以利用的資源。

2.在錯題、錯解中發現思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供“反例”。

學生的錯題、錯解中最容易暴露學生的思維歷程是全面的還是片面的，是膚淺還是深刻。因此，教師要善于從學生的錯題和錯解中捕捉學生的思維“死角”，進行理性反思，有利于加深思維層次，彌補認知盲區，消滅思維“死角”，建立完整的知識體系。如用分數表示下圖中的涂色部分：

相當多的學生認為，涂色部分應該用分數3/4表示。由整數過渡到分數是學生數的概念的一次飛躍，特別是許多物體組成的整體平均分成若干份，其中的一份或幾份既可用整數又可用分數來表示，學生感到不適應。在用分數表示涂色部分時，“物體的總數”、“每份的個數”、“平均分的份數”、“表示的份數”等幾個概念相互干擾，容易混淆，實際上是學生對分數意義理解的模糊。鑒于以上理解偏差，教師在教學中不妨讓學生真實的思維表現出來，引導學生獨立思考、討論爭辯，不斷深化對概念內涵的理解，以錯引思、以錯促思，使學生的思維由混沌走向清晰，逐漸形成良好的思維品質。

教師要善于利用學生的錯題、錯解。(1)善于總結。當一個數學問題解決后，教師要引導學生從解題的方法、規律、思維策略等方面進行總結與反思，力圖從解決問題中發現新的普遍使用的東西。(2)善于引申。當一個數學問題解決后，教師還要善于引導學生引申，探求一題多解、多題一解、一題多思，擴大學生的視野，深化認識。(3)善于變化。許多試題來源于課本卻高于課本，以至于常出常新，但其基本知識并未變化。所以習題講解時，原題講解后，教師要善于把原題進行變化，對某一知識從多角度、多側面和不同的起點進行思考。(4)善于建構。習題講解時，重點講錯例、錯解，不僅講錯誤原因所在，而且要與學生一起探索防錯的策略，讓學生不僅會做一道題或者一類題，更重要的是學會如何去建構自己的知識體系。

3.在學生參與試題編制中發現思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供機會。

鼓勵學生編制數學試題，其實是換一種更能激發學習積極性的方式檢測學生的學習情況，考查學生綜合運用知識的能力，了解教學目標的達成度，反饋教學效果，發現學生的知識缺口，以便教師針對實際情況及時查漏補缺。讓學生參與試題編制是教學中創造生成機會的重要手段，是確立學生為主體的最突出表現，為辯證思維的初步形成提供機會。如：一根繩子，第一次用去它的1/2，第二次用去1/3米，還剩多少米?這是學習分數的意義后學生編制的試題，從中不難看出，學生對分率與數量兩個抽象概念含糊不清。針對這種情況，教師可利用“一根長3米的繩子，平均分成4段，每段占全長的幾分之幾”等類似的題目，不斷變換繩子的總米數，數形結合，幫助學生理解分率與數量的概念。最后再啟發學生思考“如果不告訴繩子的總長，哪一問就無法解答”，以此區別分率與數量的不同，為學生的后繼學習提前掃清思維障礙。通過在教學中有意識地培養學生的辯證思維，促使他們形成全面地、發展地看待問題的觀點。

教師要有效地指導學生參與試題的編制。(1)鼓勵學生模仿編題，改變試題，翻新編題。(2)及時評價學生編制的試題。對于學生編制的試題，教師應在肯定的同時指出不足和需要改進之處，也可組織學生互評，在對所編制試題的不斷完善與修改過程中逐步形成正確的認知。(3)鼓勵學生根據自己所考慮的問題，或是模糊不清、感覺困惑、疑問的知識編制試題，讓學生在辨誤中“悟誤”。(4)抓住編題的時機。課前編以舊引新的復習題，課中編貼近教材的即時練習題，課后編綜合且開放的提高題。

4.在教師的提問(追問)中發現思維“死角”，為辯證思維的啟蒙提供動力。

設計有價值的數學問題，可以促進教學預設的順利進行，是師生互動交流與實現教學反饋的重要手段，有助于拓寬學生思維的廣度和深度。在教師的提問(追問)中，學生逐漸認識到思維的局限與偏差，及時調整思路，將思維活動直接指向問題解決，優化課堂教學過程。

案例4：“平均數”教學片斷

出示男女生套圈成績統計圖(略)。

提問：要比較哪一隊套得多，你打算怎樣去比較?(女生中吳燕套得最多，所以女生隊套得多)

追問：一個人的成績能代表全隊的成績嗎?(先求出每一隊中一共套多少個，再進行比較)

追問：兩個隊的人數不一樣多，這樣的比較公平嗎?(不公平)

追問：怎樣比較才公平?(先求出每個隊中平均每人套多少個，再比較哪個隊套得準)

再追問：生活中還有哪些地方用求平均數的方法解決問題?

學生的回答，暴露了學生解決問題方法單一和受思維定勢的負面影響。而教師富有啟發性的提問，起到了四兩撥千斤的作用，將學生的思維引向深入，引向問題解決。“生活中還有哪些地方用求平均數的方法解決問題”的追問，加深了學生對平均數問題的深刻理解。

教師要掌握提問技巧。(1)教師要把握提問的時機，在新知識的生長點、新舊知識的連接點、學生思維受阻時巧妙設問，把凝結于教材中的思維活動充分展開。(2)加強課堂提問的有效示范。教師的問題意識、問題產生過程、提問的表達方式、提出不同問題的思維方式，都會對學生起到潛移默化的作用。(3)針對思維盲區，設置問題“陷阱”。學生在學習過程中出現的認知盲區，教師如能設計一些似是而非、模棱兩可的問題，引誘學生作出錯誤判斷，讓學生驗證，自主糾錯，從而消除模糊認識，充分發揮了“反面教育”的作用。

隨著課程改革的深入發展，越來越要求打破教材作為唯一課程資源的禁錮，而課程資源意義的日益突顯，對教師開發和利用課程資源的意識與能力也越來越高。敏銳地捕捉和充分利用數學思維“死角”，對于學生辯證思維的啟蒙教育與提升他們的思維品質，具有積極的現實意義。