一個換方問題的解法

義務教育課程基礎訓練冊(小學數學·二年級下冊)第42頁上，有這樣一道換方思考題：把3、6、9、12、15、18、21、24、27這九個數填在右圖1中的方格內，使每橫行、豎行、斜行的三個數之和相等。

這類問題是小學數學中較難解決的問題，本文給出它的一種解法，供大家參考。

解：由每橫行的三個數之和相等，可知這個相等的和數為(3+6+……+27)÷3=45。

先確定中心格內應填上什么數，暫記為“?”。由覆蓋原理可知，中間橫行、中間豎行及兩個斜行，這些數的和應為(3+6+……+27)+?×3=45×4(中心格內的數重復了3次)，由此可得?=15。此數正好是這九個數的平均數，也是這九個數中的一個。如果此平均數不在所給出的數中，則換方無解。

接下來，是給周邊格內填數。因為中心格內已填上15，且每橫行、豎行、斜行的三個數之和均為45。所以，以15為中心的另兩個數之和應為30。故余下的八個數只能分成以下四組：3與27，6與24，9與21，12與18。

下面，以15為中心兩端填數。如果3與27填在斜行的兩端上，如圖2，由圖易知，27所在的橫行上的三個數之和與它所在的豎行上的三個數之和中，必有一個大于45，另一個則小于45。所以，3與27不能填在四角的方格內，只能填在中間橫行或中間豎行兩端的方格內。

現將3與27填在中間豎行的兩端方格內，如圖3。27所在橫行的另兩個數之和只能是18，而余下的數中只有6+12=18。

當6填寫在左上角的方格內，12填在右上角的方格內時，余下的填法隨之而定。如圖4，即為所求的一種填法。

將圖4中的第一列與第三列的數對調，如圖5，又是另一種不同的填法。

將圖3中的3與27對調，運用上面的填法，又可得出兩種不同的填法，如圖6和圖7。

由上可知，當3與27填在中間豎行的兩端方格內時，共有四種不同的填法。

同理，當3與27填在中間橫行兩端的方格內時，也有四種不同的填法，如圖8～圖11。

綜上可知，符合條件的不同填法共有八種。