一類ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ橢圓方程的多重解

（武漢軟件工程職業學院，湖北武漢430000）

摘 要：主要研究一類非線性橢圓方程，其特點為方程對應的變分泛函都不滿足Palms-Smale條件?？紤]一類RN上的p-Laplacian橢圓方程的多重解的問題。當△p算子中p≠2時，尋找到方程的無窮多徑向對稱和非徑向對稱解的存在性。

關鍵詞：p-Laplacian橢圓方程；多重解；非線性

1 一類p-Laplacian橢圓方程

本文考慮如下的p-Laplacian橢圓方程：

這個方程源于物理和數學物理中的不同問題，如在化學動力學中，當p=2時方程（1）可以解釋為一種固定反應擴散方程。又如在尋找適當的孤立波時，方程（1）又可以稱為Klein-Gordom方程或Schrodinger方程等等。

起初數學研究者們試圖尋找方程（1）球對稱的解。最具代表性的例子是自動方程（autonomous equation）：

徑向對稱的解。

最近幾年，越來越多的數學研究者對p-Laplacian方程感興趣。Bartsch和Li在有光滑邊界的有界區域Ω∈RN上研究方程

在假設非線性項了f（x，u）是超線性且次臨界的條件下，證明了方程（3）有一對次解（subsolution）和超解（supersolution）。Bartsch和Liu把臨界點理論推廣到Banach空間，尋找空間中給定的凸子集內部和外部的臨界點，得到方程（3）零邊值問題的變號解。Perera和SZulkin 運用環繞性質和上同調指標得到方程（3）非平凡解的存在性。Aloes 考慮方程：

雖然p-Laplacian方程解的存在性和結構已經引起越來越多數學研究者的興趣，同時也找到了不同的研究方法，但是許多結果是在Hilbert空間中得到的，或是限制在RN的一個有界區域內。

2 預備知識

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