商品抽樣檢驗的風險分析

[摘要] 利用抽樣檢驗特征曲線，分析了在商品抽樣檢驗中批量、樣本容量、不合格判定數，三個參數的改變對生產者風險和消費者風險的影響。

[關鍵詞] 抽樣檢驗抽樣特征曲線生產者風險消費者風險

一、前言

商品質量的好壞是商場賴以生存的基礎，因此商場對商品必須定期進行質量檢驗，在檢驗商品的質量是否合格時由于人力、物力的限制，一般都是實施抽樣檢驗，其規則如下圖所示：

抽樣檢驗是通過樣本來判別總體，難免要犯兩類錯誤。第Ⅰ類錯誤為：將合格的商品批錯判為不合格，導致整批拒收，使生產者蒙受損失，稱為生產者風險，其風險率用表示；第Ⅱ類錯誤為：將不合格商品批錯判為合格，使用戶蒙受損失，稱為用戶風險，其風險率用表示。本文利用抽樣檢驗特征曲線，分析抽樣檢驗的兩種風險。

二、模型

抽樣檢驗涉及三個參數，即商品的批量N，樣本大小n，不合格判定數。就構成了一個抽樣方案。

對一個批質量已知的商品批（即批不合格品率p為已知），按給定的抽樣方案，判該商品為合格批的概率，稱為批合格概率，用L(p)表示。由于樣本中出現的不合格品數時，均為合格，所以批合格概率為：

由于生產過程中，采用的是不放回抽樣，因此抽取n件樣品，各次試驗之間不相互獨立，所以樣本不合格品數服從超幾何分布，即樣本中不合格品數為k的概率為：

因此

用超幾何分布計算L(p)雖精確，但由于抽樣檢驗中，批量N較大，計算組合數相當麻煩。

當批量時，不放回抽樣可看作是放回抽樣，超幾何分布將趨于二項分布。一般來說，當時，超幾何分布就與二項分布很接近了。

在用抽樣方案來驗收時，即要保證生產者的利益，又要維護消費者的權益，所以在批質量差，即不合格品率p較大時，應以較小的概率接收該批商品，即L(p)應較小；當批質量較好時，即p較小時，L(p)應較大。因此，我們可以用批不合格品率p為橫軸，以批質量合格概率L(p)為縱軸，畫出相應的抽樣特征曲線，即OC曲線。OC曲線與抽樣方案一一對應，它形象地顯示了該抽樣方案的把關能力。

三、兩種風險的分析與討論

1.當n，Ac一定，改變時兩種風險的分析

為了討論批量N的大小的改變對生產者風險率和消費者風險的影響，用超幾何分布來準確計算(50，20，0)、(100，20，0)、(200，20，0)、(1000，20，0)四種抽樣方案的接收概率L(p)值，并畫出相應的OC曲線如圖1。

當不合格品率p比較小時（比如小于5%），出于對生產者利益的保護，應接收該批商品。由圖1可以看出，當n，Ac一定時，隨著N的增加，接收概率L(p)增加，即生產者風險減小。當不合格品率p比較大時（比如大于8%），出于對消費者利益的保護，應拒絕接收該批商品。由圖1可以看出，當n，Ac一定時，隨著N的增加，接收概率L(p)增加，即拒絕概率減小，消費者風險變大。

綜上所述，在抽樣檢驗中，當n，Ac一定時，批量N越大，生產者風險越小，消費者風險越大；批量N越小，生產者風險越大，消費者風險越小。

考察一下(1000，20，0)和(，20，0)這兩個抽樣方案，當一批商品的不合格品率時，用超幾何分布計算，用二項分布計算計算兩個抽樣方案的接收概率，分別為0.355和0.358，當時，其接收概率分別為0.119和0.122，二者相差很小。如果把抽樣方案（∞，20；0）的OC曲線在圖1中畫出來，它與抽樣方案（1000，20；0）的OC曲線幾乎重和在一起。

當N>10n時，無論N值怎么變化，N對OC曲線的影響不大，其OC曲線與N=+的曲線十分接近，可以用二項分布來計算其接受概率。

2.當N，Ac一定，改變時兩種風險的分析

按公式（2），計算(1000，5，1)、(1000，10，1)、(1000，20，1)、(1000，30，1)、(1000，50，1)五種抽樣方案的接收概率，并畫出相應的OC曲線如圖2。

由圖2可見，當N和Ac一定時，隨著n的增加，OC曲線往左移動，且曲線變陡，靈敏度增加。即在同一p值下，隨著樣本容量n的增加，接收概率L(p)減小，方案變嚴，生產者風險增加，消費者風險減小。

3.當N，n一定，改變Ac時兩種風險的分析

按公式(2)，計算(1000，20，3)、(1000，20，2)、(1000，20，1)、(1000，20，0)四種抽樣方案的接收概率，并畫出相應的OC曲線如圖3。

圖3可見，隨著Ac的增大，OC曲線往右移，且曲線變陡，靈敏度增加。說明在同樣的p值下，L(p)隨著合格判定數Ac的增加而增加。表明抽樣方案變寬，生產者風險減小，消費者風險增加。

四、結束語

任何一種抽樣檢驗方案，對生產者和消費者都具有風險，這是不可避免的，但事先雙方可以通過協商來確定雙方都可以接受的風險率α和β，再通過α和β來確定抽樣檢驗的方案，以確保生產者和消費者的利益。首先由供需雙方共同商定P₀，P₁，α，β給定這些量后，要求建立的一個抽樣方案應滿足條件:

顯然，接收概率L(P)關于廢品率P單調下降的，即廢品率越大，接收概率越小。所以上述條件可表示為：

根據抽樣類型及抽樣比例，選擇適當的L（P）的計算公式，例如：對于批量足夠大的計算抽樣，計劃樣本大小n≤0.1N，選擇二項分布來計算抽樣方案的接收概率。則需解以下方程組。

這組方程組中僅有兩個未知數n和Ac。并且這兩個方程是各自獨立的。在解上述方程組中，會比較麻煩，還要注意到n和Ac都是自然數。所以我們可以通過迭代的方法得到近似解。再通過驗算，看是否滿足供需比方的要求。

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