一道例題的發散思維訓練

發散思維又稱輻射思維、求異思維。這是一種不受常規束縛，尋求變異，尋找多種途徑解決問題的思維方式。其特點就是對一個問題從不同的角度、不同的結構形式、不同的相互關系去啟發誘導學生，通過不同的思路去解答同一個問題，引導學生講述各自解題思路從而得出某一問題的多種解法。在數學教學中，運用一題多解，啟發學生尋求多種解題的方法，并從多種方法中發現最新穎、最獨特的解法，是幫助學生從多角度、多方面、多層次認識事物，培養學生的發散思維的有效途徑，是提高學生的變通能力和綜合運用數學知識能力的行之有效的方法。它對幫助學生從“題海”中解脫出來，提高解題的效率，增強知識理解的深度和廣度，是大有益處的。

人教版數學七年級下冊第七章《7.2.1三角形的內角》一節中有一道例題，如下：如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

在教材的例題講解中應用了三角形的內角和與平行線的知識，而我發現這道題也可以用三角形的外角知識來做，但在此處還沒有學習三角形的外角，所以我把這道例題放在了下一節《7.2.2三角形的外角》中來講。此題可以引導學生從一個問題出發，根據所給條件，突破固有的解題思路和思維定勢，去尋找不同的解題方法，這當中，可以通過縱橫發散、知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。

在教學中，教師先給出例題， 再出示預習提示：①題中是否有隱含的條件，都分別是什么？②能否有多種方法解決本題？然后由小組討論，解決問題。

在經過了小組研究討論后，知道了此題當中隱含的條件有三個：

1.三角形的內角和為180°；

2.三角形的外角和為360°；

3.同為北的方向上直線是平行的，如AD∥BE。

共討論出以下幾種解法：

解法一：∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°，由AD∥BE同旁內角互補，得∠ABE=100°，因∠CBE=40°有∠ABC=60°，再由三角形內角和知所求∠ACB是90°。

解法二：過點C做CF∥BE，則有AD∥CF∥BE，∠CAD=∠ACF =50°，∠CBE=∠BCF=40°，所以∠ACB=90°。

解法三：過點C做CF∥BE交AB于點F，則有AD∥CF∥BE，∠CFA=100°、∠EBC=∠BCF=40°，再由∠CAB=30°得出，在△ACF中∠ACF=50°，得∠ACB=90°。

解法四：過點C做CF∥BE，由兩直線平行同旁內角互補可知：∠ACF=130°，∠FCB=140°，由周角定義可得∠ACB=90°。

解法五：做射線ABF，∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，由AD∥BE同旁內角互補，∠ABE=100°，∠CBA=60°，由鄰補角定義得∠CBF=120°，在△ACB中，外角∠CBF=∠CAB+∠ACB，所以∠ACB=90°。

解法六：做射線BA F，∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，由鄰補角定義知∠CAF=150°由AD∥BE同旁內角互補，∠ABE=100°，∠CBA=60°，在△ACB中，外角∠CAF=∠CBA+∠ACB，所以∠ACB=90°。

解法七：做射線EBF，由AD∥BF，有∠ABF=∠DAB=80°，∠CBE=40°，由平角定義知∠ABC=60°，三角形內角和為180°，所以∠ACB=90°。

解法八：做射線DA F，方法同解法七。

解法九：延長AC交BE于點F，由AD∥BE內錯角相等，∠DAC=∠AFB =50°，∠EBC=40°，所以在△FCB中，外角∠ACB=∠AFB+∠EBC=90°。

解法十：過點C做FG∥AB，得∠FCA=∠CAB =30°，∠CBA=∠GCB=60°，所以∠ACB=90°。

解法十一：過點C做FG⊥AD，由AD∥BE，所以FG⊥BE，則有∠FCA=40°，∠GCB=50°，所以∠ACB=90°。

盡管一節課只解決了一道題，但同學們卻不厭其煩，討論得熱火朝天，得出的解題方法共有十余種之多。

通過多角度、多方面的變化問題，可提高學生靈活運用已有知識分析問題，全面觀察問題的能力。以上的解法，可使學生認識到：解題最關鍵的是找出己知條件和隱含條件，理清解題思路。能把各步算式表示的意義準確地寫出來，并結合學過的知識進行多種思考，就會找到不同的解法。經常進行這樣的訓練，可以大大提高學生解題的速度和能力。

（責任編輯武之華）