“入乎其內”與“出乎其外”

解讀教材必須入乎其內。教學設計方可出乎其外。課程改革后，傳統的應用題教學已經結合數和運算的意義被分散編排在各單元教材中，又單獨增加了“解決問題的策略”單元。下面筆者結合實踐經驗，談談對這部分教材的解讀與設計。

一、解讀教材要“入乎其內”

1 瞻前顧后讀懂教材。一些重要的數學概念與數學思想方法的內容是根據學生的心理特征、知識背景和所學知識的特點采用螺旋上升的方式編排的。蘇教版教材中的“解決問題的策略”就在第二學段中分層遞進、系統編排?；诖耍x懂教材可以理解為教師要能系統地分析教材內容，把握數學知識之間的縱橫聯系。也就是說，教師對教學內容的理解不能孤立地看，而是需要把相應的教學內容放到知識的結構鏈中去理解，把握每一個知識點在知識鏈中所處的位置，在充分理解后作出準確定位。因此，教師在讀這部分教材時至少要知道兩點：一是知道策略的分類。我們一般把解題策略分為兩大類：綜合策略與一般策略。所謂綜合策略就是問題解決的整個過程中所使用的思考策略。波利亞“怎樣解題的四個步驟”是綜合策略中具有代表性的一種，即(1)問題的理解；(2)制訂計劃；(3)計劃的實施；(4)結果的反饋。所謂一般策略，是指對發現和解決問題具有幫助作用的具體策略，它主要體現在波利亞怎樣解題的第(2)個步驟。蘇教版教材上出現的策略就是一般策略。如：分析法、綜合法為常用策略；列表法、畫圖法、找規律、枚舉法(從簡單情況人手)、還原法、替換法、轉化法(數形結合、從相反方向思考)為基本策略等。二是明白題目的特點。分析法和綜合法作為常用策略，具有普遍意義。枚舉法、還原法、替換法、轉化法作為基本策略，都有其相適用的題目，因此我們要明白這些題目的本質特點，這樣才能有的放矢地用好這些策略。如：用還原法解決的題目特征是已知某種數量或事物按明確的方法和步驟發展、變化后的結果，追溯其起始狀態。用替換法解決的題目特征是在理解“和”或“差”基本數量關系的前提下，將一種數量替換成另一種數量。用轉化法解決的題目特征是將復雜問題轉化成簡單問題，或是將未知問題轉化成已知問題。三要處理好綜合策略與一般策略的關系，要在按綜合策略思考問題的基礎上掌握一般策略，特別要培養學生用分析法、綜合法解決一般問題的能力。

2 斟字酌句讀透教材。教材是執行課程標準與體現課改精神的載體，也是眾多教育專家和一線教師智慧的結晶，粗線條的閱讀肯定是不行的。教材上每個章節的每一道例題都有一定的教學目標，不僅如此，例題中的每一個要求、問題，其背后都蘊含著特定的意圖。同樣，每道練習題也有不同層次的目標要求。讀透教材就是要讀教材的一詞一句。每幅插圖，例題的前后順序，習題的特點要求，要斟字酌句，細細品味。深刻領悟。例如：教學六下教材“解決問題的策略——轉化”，我們首先要從3方面來理解轉化策略：(1)轉化的方向：化復雜為簡單，化未知為已知；(2)轉化的前提：等值轉化；(3)轉化的具體方法：變形、數形結合、正難則反等。其次是認真鉆研每個例題的編寫意圖和教學目的：(1)發現策略，例1的教學意圖是在解決問題的過程中體會化復雜為簡單，感受轉化的特點與作用；(2)回顧策略，可以按形的轉化和數的轉化兩方面回顧小學數學教學中的轉化策略，在回顧過程中不僅要系統整理，還要從策略的高度進行引導和提升，體會化未知為已知；(3)應用策略，在練習中要給學生獨立思考的時間和相互交流的機會，根據學生實際指導轉化的具體方法，讓學生在練習中學會用轉化策略解決問題。

二、設計教學要“出乎其外”

1 惟有深入才能淺出。深入鉆研教材，深刻理解教材是設計之“本”，惟有準確領會教材的編寫意圖，才能更深入地開掘教學資源，創造性地用活、用好教材。那么如何將自己的理解和感悟準確并且巧妙地融人教學設計中，從而讓學生理解知識結構，建構知識框架，學會學習，真正做到“淺出”呢?其中非常重要的一點是對學情的準確把握與分析，以“解決問題的策略——還原”為例，這個知識對學生有很高的思維要求，因此在設計前，教師要客觀分析學生的思維水平和解題基礎，在教學中要還原自己的解題過程，引導學生克服思維上的障礙，突破解題中的難點。基于此，本課教學設計如下：

(一)故事引入，滲透還原策略

1 故事：有位王子要營救迷宮里的公主。但迷宮錯綜復雜，一旦有人誤人其中，便很難生還。聰明的王子將紅線團的一端拴在迷宮的人口，成功地救出公主，闖出迷宮。同學們，王子是怎樣走出迷宮的?

設計意圖：滲透按原路倒回去走的方法。

2 操作：通過倒出和倒人兩個環節，學會比較兩杯飲料原來的多少。

倒回去

板書：原來←倒回去←現在

設計意圖：體會用倒回去的方法可以比較兩杯飲料原來的多少。

(二)建立框架，提煉還原策略

1 教學例1。

(1)理解題意：從圖中你能知道哪些數學信息?

(2)再讀信息：比較兩杯飲料的變化，什么變了，什么沒變?

(3)確定策略：你準備用什么方法解決這個問題?

(4)獨立練習：學生自主完成表格，集體校對。

(5)回顧小結：突出倒過來推想的策略。

設計意圖：體驗用倒過來推想的策略解決數學問題。

2 教學例2。

(1)出示探索建議，學生嘗試練習。

(2)共同整理條件，呈現學生摘錄條件的多樣性。

(3)探索解題的策略，學生列式解答并檢驗。

(4)回顧小結：解題步驟及相應的解題策略。

設計意圖：突出波利亞的解題步驟(整理條件、確定策略、列式解答、檢驗答案)，強調用倒過來推想的策略解決數學問題，突出思路分析。

(三)綜合應用，鞏固還原策略

1 練習：練習十六第5題，填方框。

2 出示練一練，重點理解一半多1張。

3 出示練一練的變式練習，重點理解一半少1張。

4 比較辨析兩道題的解題思路。

設計意圖：重在求同，要先求一半，進一步理解倒過來推想的策略。

(四)全課總結。理解還原策略

今天我們解決的數學問題都應用了什么策略?這類題目有什么共同點?

設計意圖：理解還原問題的特點——已知現在的結果，要求原來的結果，要用倒過來推想的策略。

(五)拓展延伸，應用還原策略

1 練習：練習十六第10題。翻牌游戲。

2 拓展：《李白喝酒》的故事。

設計意圖：在游戲和故事中，深化對倒過來推想策略的理解，體會數學文化的源遠流長。

在理解教材，把握學情的基礎上，先設計用倒回去的方法解決生活問題，再通過教學例1(一次還原)、例2(二次還原)和“試一試”，引導學生從數學的角度理解倒過來推想的策略解決數學問題，最后理解還原問題的特點。這樣的設計能真正使學生體驗還原策略，形成還原策略，教學設計做到了深入淺出。

2 惟有悟道方能超越。這里悟道指的是要繼承傳統經驗，吸收先進理念，領會教材意圖，把握學生基礎。選擇合適教法。只有多方面結合才能實現自我超越，做到便教利學。在“解決問題的策略”教學中，從悟道到超越，關鍵要處理好繼承與發展的關系。傳統的應用題教學中，注重分析數量關系(從基本數量關系——常用數量關系)，注重訓練解題思路(用分析法或綜合法說思路)，注重結構訓練(從一般應用題——復合應用題)，注重練習設計(從模仿練習——變式練習——拓展練習——開放練習)，這些好經驗和好做法在解決問題的過程中要繼承。解決問題策略的教學，要注重聯系生活，注重創設情境，注重培養學生從數學的角度觀察情境，思考、提出數學問題的能力，注重體驗解題策略，注重培養應用意識，注重評價與反思。因此解決問題策略的教學要做好傳統經驗與先進理念的整合，要讓學生發現策略，體驗策略，應用策略，最終形成策略。實際教學可從以下幾點人手：(1)進入情境，收集和整理信息；(2)利用經驗，嘗試用策略解決問題；(3)策略具體化，突出數量關系的分析；(4)執行計劃，強化解題思路的訓練；(5)重在比較，發現問題的本質屬性；(6)反思過程，形成解決問題的一般步驟；(7)科學練習，掌握解決一類問題的策略。在悟道基礎上的新理念與舊經驗的有效整合，才能使學生在解決問題的過程中，發現問題，發展思維，形成策略，最終學會解決問題。培養學生的應用意識，學以致用，方能達到“超越”的境界。

(作者單位 無錫市北塘區教育局教研室)