追尋數學的文化價值

[摘要]“數學的文化價值主要是指數學對于人們觀念、精神以及思維方式的養成所起的重要影響。”(鄭毓信先生語)如何在我們的小學數學課堂上體現“數學的文化價值”?筆者以為，除了從歷史層面考察數學的進步能給予學生“文化的滋養”外，還應該有微觀的深刻的一面，即以具體的數學知識、數學技能的學習過程本身為載體，從數學方法、數學思想的感悟過程中去揭示數學的文化底蘊，傳播數學的精神，這才是“數學文化性功能”的真正體現。

[關鍵詞]數學 文化價值

“數學是人類文化的重要組成部分”。這不僅是說靜態的、文本化的數學知識技能的符號體系是人類文化系統的一部分，更是指擁有一定數學意識的人群所特有的，并被共同接受或認可的道德觀念、價值理念、思維模式、行為規范等精神領域的觀念意識同樣也是人類文化的重要組成部分。而數學的文化價值更是指在第二種層面上的理解和關注。借用鄭毓信先生的話：“數學的文化價值主要是指數學對于人們觀念、精神以及思維方式的養成所起的重要影響。”

以該視角去關注當前小學數學課堂教學現狀：各種版本的課標教材中都開辟了類似“你知道嗎”的課外小知識介紹。教師在教學時也引入了相關數學家的故事，或是數學歷史發展的背景資料等等，這些確實是對“數學文化價值”的有意義追求。但筆者以為。除了采用上述辦法(從歷史層面考察數學的進步)給予學生“文化的滋養”外。還應該有微觀的深刻的一面。即以具體的數學知識、數學技能的學習過程本身為載體，從數學方法、數學思想的感悟過程中去揭示數學的文化底蘊，傳播數學的精神。我們希望通過日常數學學習，使學生都能養成一種理性的精神，擁有一種客觀的認識方式，形成一種新的追求，體驗一種不同的美感，感受一種深層次的快樂，積淀一種新的性格。這才是“數學文化性功能”的真正體現。

一、數學給予學生追求精確、步步為據的認知方式

“三角形的內角和”是義務教育數學課程標準實驗教材四年級下冊的教學內容。教材是這樣編排的：第一步，通過計算發現“每塊三角尺3個內角的和都是180度。”由此產生探究的話題——“其他三角形的內角和也是180度嗎?”第二步，給出不同類型的三角形，采用沿中位線對折的方法把三個內角合并成一個平角，從而證明三角形的內角和是180度”。

下面是一位有豐富教學經驗的優秀教師的課堂實錄：

在學生充分活動的基礎上，教師組織大家進行交流。

生1：我是用測量的方法來證明的，我量了一個鈍角三角形，∠1=100度，∠2=30度，∠3=50度。

師：喲，正好是180度，量得真準。

生2(演示)：我的方法是把三個角都剪下來。然后把它們拼在一起。就成了一個平角。

生3(生在前排)：不對，中間有空隙的。

師(連忙打住)：拼的時候可要仔細點。

生4：我的方法跟他差不多。我先畫了一個平角。然后再把這三個角分別畫下來。頂點重合，我發現這個拼成的大角正好等于原來的平角，所以我認為三角形的內角和是180度。(該生展示的作品中兩個角的邊是疊在一起的。)

生5：我是采用折的方法來證明的。(和書上一樣。)但是我發現有點難。(這位學生的演示也是不精確的。)

如果僅從知識的傳授、技能的掌握、學生主體性地位的體現、創造性思維的開發等角度看，應該說本節課已經很好地達成了既定的教學目標。學生探索三角形內角和的方法多種多樣，活動的體驗也是豐富有效的，最終指向同一個結論“三角形的內角和是180度”。但筆者以為。除了上述這些各門學科都通用的“教學關注點”外，還應該讓我們的數學教學體現出它本身的特性。即引領學生去感受蘊含在學習活動過程中的一種數學的精神，一種數學的態度，一種數學的認知方式。

我們都知道，數學的研究對象是一些抽象的客觀實在，不為人類的情感所轉移或更改，因此我們可以通過公理化的方法和抽象的邏輯證明的形式來獲得對事物的精確認識。有了這樣一種對“數學”的認識，再來重新品味這則案例：課堂上學生呈現的這些方法，其實均屬科學研究領域的實驗論證法，其證明結果的可靠性也正如學生普遍感知的“差不多”、“有誤差”。這樣的認知并不是數學的本性。所以當學生提出他們各種證明方法時，教師要做的不是故意替學生“打圓場”。而是通過巧妙的語言引導。有意識地激化學生的懷疑之心。誘發他們進一步尋求科學的數學理性證明方法的欲望：“有沒有一種能精確證明這一結論的方法呢?”那么究竟有沒有?有，很簡單，運用平行線定理“內錯角相等”即可輕松獲證(見圖1)。

也許學生暫時還不能理解這種方法所蘊含的道理，但不能因此剝奪他們思考的權利、探究的欲望。更不能喪失這樣一種感受數學嚴謹科學思維方式的機會。這對學生素質的形成具有更為重要的意義。

二、數學要給予學生超越現象、探求本質的理性探索精神

組織學生進行數之間關系的探究以獲得一些具有普遍意義的數學規律或結論。是小學數學“數與代數”領域常見的教學內容。通過這些問題的研究。一方面可以讓學生初步感知探究性學習的方法步驟，積累數學活動的經驗；另一方面也可以培養學生的數感，激發對數學學習的興趣，感受數學的思想方法，提升對知識理解應用的能力。

比如，蘇教版小學數學第八冊教材第81頁上有這樣一個問題：“三個連續自然數的和都是3的倍數嗎?三個連續奇數或偶數的和呢?自己找一找，算一算，并在小組里交流。”

“要交流哪些內容?”不同的人會因為各自理解的差異而導致不同的教學行為。筆者以為交流自己的研究過程、研究方法以及研究的結論固然重要，但結論獲得以后是否意味著教學的結束呢?筆者試著做過以下的教學嘗試：

師：通過剛才的研究我們獲得了一致的結論：三個連續自然數的和一定是3的倍數。非常棒!但在我們的數學學習中，不能僅問幾個“是什么”。更要問幾個“為什么”。你們有沒有想過，為什么三個連續自然數的和“一定是3的倍數”呢?

此言一出，教室里立刻安靜了下來，學生顯然不適應這種思考問題的方式。而這才真正涉及數學的本性。經過一番小組討論，終于有結果了。

生1：我們是這樣思考的：用幾個連續自然數除以3后，余數的排列是有規律的。任意截取其中一段的三個數，其中必含有0、1、2。只要我們把余數1和余數2合起來，那么奈數就變成了3。正好可以再分一分。所以我們認為三個連續自然數的和一定是3的倍數。

生2：我們組想到了“移多補少”的方法。三個連續自然數的平均數就是中間數。那么用中間數乘3就求到這三個數的和，所以這個和也就一定是3的倍數。

現象是本質的外在表現，是事物發展、變化過程中的外在形式。本質是存在于現象內部，貫穿在各方面現象之中的內部的穩定的東西。人們只有深刻地把握了事物的本質，才能把不同事物區別開來，獲得對事物的正確的認識。也才能發揮真正的功效。同樣道理，數學上任何一個規律的出現都不是一種偶然，其背后必有支撐它存在的依據和理由。因此數學家們總是不滿足于某些具體結果或結論的獲得，總是希望能獲得更為深入的本質的理解，以達到更高層次的抽象，這也直接促進數學的進一步發展。我們并不期望每一個孩子都成為數學家，但希望通過日常的數學學習，我們的孩子都能感悟數學家的思維方式，能形成“追根究底”的科學探索精神。進而內化為自己的素質積淀，成為他們分析處理事情的有效工具，為孩子可持續發展積蓄前行的動力。我想也許第一次、第二次甚至更多次，需要我們老師去點撥思考的方向，但長此以往，總有一天你會欣喜地聽到孩子們激動的聲音“老師，我知道這是為什么了?而且我還想到了……。”

三、數學要給予學生不斷超越、求精求簡的意識

簡潔是數學的重要特性之一。這不僅是指外在的符號表達形式，還指數學化的抽象化的思維方式和工作方式。在理論科學的研究中，科學家們常常以不斷追求簡潔作為自己的工作目標，他們總是試圖找出比現行策略方法更簡單、更有效、更一般、更抽象的方法。以達成對自然界的真正認知，促進數學的發展。因此在日常教學中我們也要引導學生去體會這種數學的思維意識和思維方式，養成自覺求精求簡的意識。

請看下面案例：

學完三位數除以一位數后，我出示了這樣一道常規習題：從840里連續減去( )個5，結果是O。

在學生獨立思考后我組織這樣的交流：

師：(故意為難狀)840-5-5-5-……，減到什么時候結果才是O呢?

生1：(急著舉手)不用那么麻煩，只要用840÷5就可以得到是168個5。

師：不對，明明要求用減法，你們卻用除法來解決這個問題，這樣行嗎?

生2：行。因為用減法做太麻煩了。

生3：8400，就是從840里先拿出一個5。再拿出一個5，……，也就是840里有多少個5，就要減多少次。

生4：每次都要減去5，也就是把840平均分，每5個分一份，所以可以用除法計算。

教師一開始的故意為難，實際上是把學生的認知退還到更原始的、朦朧的自發狀態，為后面學生能真正體驗到數學的簡潔之美，感受到數學這門學科的發展軌跡，領悟努力求精的科學探索精神提供了可能。

師：進行減法運算時，有時我們發現連續減去同一個數太麻煩，于是人們便創造出了除法。由此你聯想到——?

生1：乘法也是這樣。很多相同的加數相加，我們就可以用乘法計算。

生2：乘法是對加法的簡便運算，除法也是對減法的簡便運算。

師：那同學們有沒有想過，是否有這么一無我們也會覺得乘法計算也不夠簡便呢?

生3：我覺得會的。乘法就是比加法先進，那為什么沒有比乘法更先進的呢?

生4：那我想肯定也會有比除法更簡便的運算。

生5：老師，我好像聽過什么“乘方”。

數學本身就是在不斷追求簡潔的過程中逐步發展前行的。我們知道加法是把兩個集合的元素合并在一起的運算，而乘法是對加法的一種超越。是在實際運用的過程中發現加法中的某種特殊類型：若干個相同加數相加比較麻煩，我們就創造出了乘法這種新的運算，數學也就進入了一個新的發展階段。同樣的道理，我們也會碰到這樣的問題。如果有若干個相同的因數連續相乘時，數學的家族便會再次擴充，一位新成員“乘方”進入了大家的視野。隨著數學的發展，我們相信這種變化還將一直持續，但不管如何發展，凝結于其間的不斷努力，求精超越的意識和精神正是人類文化的精髓，也是數學文化價值的重要體現。

四、數學要給予學生敢于質疑、勇于堅持的性格特征

數學歷來被認為是真理的典范。“是唯一可以確信的東西”，但另一方面數學本身蘊藏的理性探索，求真超越的精神又不斷促使人們對數學的真理體系產生懷疑。“吾愛吾師，吾更愛真理。”亞里士多德的這句名言集中體現了數學的批判精神。縱觀整個數學發展進程，每一次重大的數學變革都是源于對既有數學觀念的一種反叛性思考。對權威是一次挑戰。

我們要結合數學史中翔實的事例，引導孩子們形成尊重事實，崇尚真理的精神品質。比如六年級總復習“數的認識”時，引入這樣的數學史料：

“公元前580年。在古希臘，人們普遍贊同畢達哥拉斯的觀點：萬物皆數。當時他們認定的數，一般是指整數，即使是分數也不能算伴正常意義上的一種數。然而該學派的成員希伯索斯在一次偶然的機會中，卻根據勾股定理用邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不能用整數的比來表示。這種發現被認為是荒謬和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死。雖然無理數因此暫時被重新埋沒。但希伯索斯的理性批判精神。對真理的執著追求激勵一批又一批的數學家為之奮斗，最終在幾何學中被成功解決。”

當然我們更要尋找日常教育教學的契機，有效點撥，引導學生在獲得知識掌握技能的同時感受數學的這種特性，使他們從小做不迷信權威，敢于堅持，具有獨立人格和自立自強的人。

聽過這么一個教學片斷：

“軸對稱圖形”一課，教師先引導學生觀察判斷三角形、平行四邊形、梯形、五邊形和圓這五種圖形中哪些是軸對稱圖形。哪些不是。大家的意見不一。“究竟聽誰的?”教師有意識地問。“聽我的。”“聽我的，我媽媽告訴我的。”“我看書的。”“讓老師說吧。”……教室里一片吵嚷聲。可角落里還有一個聲音與眾不同“還是動手折一折吧。”大家這才恍然大悟。最后結論出來了，教師并未就此告結，而是進一步追問：“當結論不一致時，咱們究竟應該聽誰的?”“應該相信實驗的結果。”“對。教學學習中沒有誰是權威，真正的權威是數學本身。”教師的最后一席話可謂是點睛之筆，對學生精神的滋養是無限的。

“數學的文化價值”并不是數學與文化的簡單相加，也不是數學史料的簡單收集堆砌，它就存在于數學知識系統這一“母體”之內，需要我們教師用一副數學的頭腦去感悟，用一雙數學的眼睛去發現。用一種數學的思維去引領，讓我們的孩子在收獲知識的同時更收獲一種“數學的精神”。