基于艾特肯加速拋物線算法分形圖形的研究

姜卓睿　段　汕

摘要：拋物線法和艾特肯法都是數值分析中在實數范圍內方程求根的快速迭代算法。針對Julla集的繪圖原理。給出了 一種用拋物線法在復數范圍內的迭代運算。然后用艾特肯法對其加速，最后將運算結果繪成分形圖形的改進算法。

關鍵詞：分形拋物線法艾特肯法復數迭代逸逸時間算法

中圖分類號TP311.11文獻標識碼B文章編號：1002-2422(2007)03-0052-02

1拋物線法

設已知方程f(x)=0的三個近似根x_k，x_k-₁，x_k-₂2，我們以這三點為節點構造二次插值多項式p(x)，并適當選取p(x)的一個零點X_k+₁作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法，亦稱密勒(Muller)法。在幾何圖形上，這種方法的基本思想是用拋物線y=p(x)與x軸的交點x_k+₁作為所求根的近似位置。

拋物線法是超線形收斂的算法，其收斂階p=1．840，收斂速度比割線法更接近牛頓法。

2艾特肯加速方法

如果迭代序列收斂很慢，要達到要求的精度將使計算量很大，為此，需采用加速迭代收斂性的方法，艾特肯加速方法就是其中的一種，其迭代公式如下：

3復平面上的艾特肯加速拋物線算法

上述拋物線和艾特肯算法都是在實平面上實現的，計算一次，其結果只和初值有關，也不可能得到二維圖形，本算法選擇在復平面上實現，算法步驟如下：

(1)獲取圖片大小信息：picx；Picture1.SealeWidth：picy=Picture1.ScaleHeight(picx和picy分別為圖片橫向和縱向的最大像素值)，設定初始近似值的變化范圍ss=1.5:ww.x=-ss:ww.y=ss:hh.x=-ss:hh.y=ss，同時設定初值row=0；

(2)如果row

(3)col=0；

(4)如果col

(5)預設拋物線迭代時的初值0為復數)：

上述算法中最大的問題是要先計算出f(z)=O的根值形算法最關鍵的技術之一就是迭代，但對任意一函數迭代的結果只有兩種可能：收斂或逃逸(發散)．如圖2所示，假設有一個充分大的整數N，當未述逸區域M中的初始點a經過小于N次迭代就達到未逃逸區域M的邊界，甚至超出了邊界，就認為a點逃逸出去了：而經過N次迭代后a的軌跡仍未達到M的邊界，就認為a是收斂區域A上的點。用這種方法描繪出收斂區域A的邊界圖形，這便是逃逸時間算法的基本思想。運用這種思想，不必計算f(z)=O的根值，只要事先確定整數N和逃逸區域M的邊界范圍即可。則算法基本框架不變，只是將步驟(9)做如下變更：

(9)如果M為事先設定的逃逸邊界值，若滿足條件，則根據此結果設計顏色在屏幕上打點，并終止迭代

轉步驟(11)；否則執行步驟(10)：

采用此種方式繪制的分形圖形無窮無盡。再也不必因為找不到f(z)=O的根值z*煩惱。

4結束語

上述分形圖像有著非常明顯的幾何意義，為復平面上的函數提供了新的解釋，同時也給我們帶來了美的享受。分形圖像有著非常廣泛的用途，例如可以制作成各種尺寸的裝飾畫(用卡紙裝裱，可獲得很好的裝飾畫效果)；用作包裝材料圖案，效果新穎；還可以制作成各種尺寸的分形掛歷、臺歷、賀卡等等。