試論分析和解決數(shù)學(xué)問題能力的內(nèi)涵及教學(xué)策略

張廣飛 徐海波

從某種意義上講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是能夠運(yùn)用所學(xué)知識、原理比較熟練地分析和解決各種數(shù)學(xué)問題。雖然中學(xué)數(shù)學(xué)中研究的問題，都是在一定的科學(xué)背景下已經(jīng)解決的問題，從科學(xué)探索的意義上，它們已不成其為問題。但是由于學(xué)校教學(xué)過程中學(xué)生認(rèn)識活動的特殊性，對于學(xué)生而言，這些仍作為一個個未知的問題提出。數(shù)學(xué)教學(xué)就是通過引導(dǎo)學(xué)生去探索、解決這一個個問題，從而達(dá)到掌握知識、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的教學(xué)目標(biāo)。本文試就從學(xué)習(xí)遷移和多元認(rèn)知角度，對分析和解決數(shù)學(xué)問題的全過程加以審視，從理論和操作兩個層面上進(jìn)行了闡述。

一、分析解決數(shù)學(xué)問題的基本程序模式

問題解決是一種企圖達(dá)到目標(biāo)的嘗試。問題解決者的任務(wù)就在于要找到某種能達(dá)到目標(biāo)的操作程序。通常一個數(shù)學(xué)問題包含著已知、條件、未知及它們之間的聯(lián)系這幾個要素，數(shù)學(xué)問題解決的任務(wù)就是尋找已知、條件和未知之間的聯(lián)系，并利用這種聯(lián)系去達(dá)到解決問題的目的。

面對一個數(shù)學(xué)問題，解答者總是在他們已有和能夠達(dá)到的認(rèn)知狀態(tài)中，猜測或搜索出一些概念、規(guī)律和方法。嘗試在問題的目標(biāo)和條件之間尋找聯(lián)系。一旦確定某一或某些概念、定理和性質(zhì)可能建立起這種聯(lián)系時。便將其探索應(yīng)用于求解這個給定的問題，從而得到一個結(jié)果。然后將這一結(jié)果反饋檢驗(yàn)，若結(jié)果是肯定的，則問題解決；若結(jié)果是否定的則進(jìn)行矯正。即修改或重新猜測，這種循環(huán)往復(fù)，利用“猜測——探索——結(jié)論”最終使問題解決的思維程序，是數(shù)學(xué)問題解決(實(shí)際上也使用于其他問題解決)的基本模式。

二、分析和解決數(shù)學(xué)問題能力的內(nèi)涵

從上面的問題解決模式可知，分析和解決數(shù)學(xué)問題過程中包含著各種不同的活動，因此分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力也是一種包羅廣泛的能力。根據(jù)分析和解決數(shù)學(xué)問題中的程序模式，分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力主要包括如下內(nèi)涵。

1、識別和分析問題的能力

識別和分析問題的能力是指正確理解題意，善于發(fā)現(xiàn)問題中的隱含條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇已知、條件，正確分析問題中可能用到的定理、性質(zhì)、規(guī)律的能力。學(xué)不好數(shù)學(xué)的學(xué)生常常由于這一能力不強(qiáng)，找不出問題中的隱蔽條件、臨界條件，或是不善于甚至不習(xí)慣于去分析數(shù)學(xué)過程，在具體問題面前不進(jìn)行具體分析，而是亂套亂用性質(zhì)，憑空想當(dāng)然解題，在解決問題的起始階段就走向了歧途。

2、“原型”的衍生和再造能力

“原型”就是形成數(shù)學(xué)概念和方法時的原始材料，實(shí)驗(yàn)探究或驗(yàn)證的過程，以及為了掌握數(shù)學(xué)技能、方法時，學(xué)習(xí)過的典型例題。從本質(zhì)上講，解決實(shí)際問題時，我們首先都是在“問題原型”的啟發(fā)下，進(jìn)行思考和展開思路的：很多看似新的題型都是由我們所熟知的“問題原型”衍生、再造或重組而成的。因此我們學(xué)習(xí)時，除了記熟公式、原理和方法以外，還應(yīng)該熟練的掌握各種類型的“問題原型”。分析和解決數(shù)學(xué)問題能力強(qiáng)的學(xué)生，“問題原型”掌握一定比較豐富，且穩(wěn)定性和可辨別性較強(qiáng)，同時“問題原型”的衍生、再造和重組能力也一定較強(qiáng)。

3、選擇解決問題的策略和對解題過程評價反饋的能力

選擇解決問題策略的能力包括兩個方面。—個方面是對問題的方向進(jìn)行大致推測，并把將要采取的手段與問題的未知聯(lián)系起來，對解決問題的可行性進(jìn)行判斷的能力。這方面的能力強(qiáng)，從一開始就能從客觀上把握問題的整體，高瞻遠(yuǎn)矚地看待以后的解題過程。從而可以避免走彎路或不必要的失誤。另一方面是選擇合適的解題方法的能力。方法選的合適，不但使問題可以解決，而且能使問題的解決過程變得十分簡捷，方法的選擇也是極具靈活性的。

對解題過程的評價反饋能力是指：①根據(jù)已經(jīng)解得的部分結(jié)論，及時作出評估和預(yù)見，判斷前面選擇的解題策略是否正確，判斷已經(jīng)做的分析解答是否正確，做出下一步怎么辦的決定：②在得出最終結(jié)論后，對結(jié)論作出評估，是否大致可信，是否和實(shí)際情況大致相符，如果不可信、不相符，則還須重新檢查或?qū)徱暻懊娴慕獯疬^程；③解答完后，對整個解題過程作出總結(jié)，形成“問題原型”，以便以后解決數(shù)學(xué)問題加以借鑒。

三、對應(yīng)的教學(xué)策略

在分析和解決數(shù)學(xué)問題教學(xué)過程中，只有樹立培養(yǎng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力的觀念。才能抓住教學(xué)的本質(zhì)，給以學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的能力；只有明確分析和解決數(shù)學(xué)問題能力所包含的內(nèi)涵，才能將培養(yǎng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力落到實(shí)處，減少教學(xué)的盲目性；只有掌握了具體的培養(yǎng)分析和解決數(shù)學(xué)問題能力的途徑和方法，才能增強(qiáng)教學(xué)的針對性，使學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力在課堂教學(xué)過程中，被潛移默化地培養(yǎng)起來。1、讀審數(shù)學(xué)問題拿到題目后，先粗后細(xì)，先整體后局部地閱讀，對整個題目的概貌做到心中有數(shù)：弄清題目中給出的已知條件是什么，追索題目中隱含的己知條件是什么，明確題目應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)是什么。讀審實(shí)質(zhì)上是尋找解題信息，形成問題解決出發(fā)點(diǎn)的過程。

2、建構(gòu)、豐富學(xué)生“問題原型”，并促進(jìn)“問題原型”的遷移分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程無外乎兩種情形、第一種情形，在原有原型的啟發(fā)下，結(jié)合具體數(shù)學(xué)情景，在原有模式下分析和解決所面臨的數(shù)學(xué)問題；第二種情形，沒有現(xiàn)成的“問題原型”可以作為借鑒，需要自己重新構(gòu)建解題模式，需要有更多的創(chuàng)新思維參與解題活動。

在具體的教學(xué)過程中，一方面，在對新的概念、原理的講授時，不能簡單地將概念、原理直接交給學(xué)生，然后做大量的習(xí)題，用以理解、內(nèi)化剛剛接觸的概念、原理。而應(yīng)該花更多的時間在概念、原理的產(chǎn)生過程上，盡可能地講清楚形成的背景，是因?yàn)橛龅绞裁蠢щy或解決什么問題，而提出某個概念或原理，還要讓學(xué)生了解概念、原理是怎樣由假說通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證加以修正，再實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證再加以修正。最后才形成教材中呈現(xiàn)出的概念、原理。另一方面，在進(jìn)行習(xí)題教學(xué)時，應(yīng)選擇衍生和再造性較強(qiáng)的例題，也就是通常所指的典型例題，保證為學(xué)生建構(gòu)比較完備充分的“問題原型”庫，具體要兼顧到以下幾點(diǎn)：①既要有順推法又要有逆推法解題思路：②解題常用的科學(xué)思維方法都應(yīng)經(jīng)常涉及到，例如，比較和鑒別、分析和綜合、歸納和演繹、類比和聯(lián)想、直覺等方法；③讓學(xué)生經(jīng)常接觸到數(shù)學(xué)問題解決的一些特殊方法，例如，隔離法、整體法、守恒法、反證法、極端假說法、虛設(shè)法、等效法、圖解法、極值法等。分析講解時，更多是怎樣引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)掌握的原型來解決目前所面臨的新的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生分析新的問題與已經(jīng)掌握的原型之間的異同點(diǎn)，以原有的原型為基礎(chǔ)結(jié)合新的問題情景衍生或再造出新的“問題原型”，隨之?dāng)?shù)學(xué)問題便解決了。

3、讓學(xué)生形成直覺判別的習(xí)慣、養(yǎng)成經(jīng)常總結(jié)反饋的習(xí)慣在教學(xué)過程中。鼓勵學(xué)生憑直覺大膽地進(jìn)行猜測，先理出大致的總體的思路，再具體著手推理、運(yùn)算；不斷地糾正學(xué)生這樣壞習(xí)慣：一拿到題目。匆匆讀完后就進(jìn)行具體的運(yùn)算，只要方程能算出具體的數(shù)值就算出來再說。有了這種壞習(xí)慣的學(xué)生往往只見局部不見整體，解題時手忙腳亂，經(jīng)常忙了很長時間后，才發(fā)覺是錯的，由于考試時間有限，每道題目都蜻蜓點(diǎn)水般算幾個簡單的得數(shù)，感覺每道題目都會點(diǎn)，就是不能得分。使學(xué)生養(yǎng)成這樣的習(xí)慣：在理清思路后，運(yùn)用所學(xué)知識、原理、方法列出數(shù)學(xué)方程，然后作出評價決斷，判斷所列方程是否正確，判斷問題所包含的數(shù)學(xué)情景是否都已經(jīng)表達(dá)出來了，判斷所列方程是否可解，判斷是否還有補(bǔ)充方程，最后，才是具體運(yùn)算，得出答案。

4、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合意識、熟練使用常用的數(shù)學(xué)工具、迅速估算的能力分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程實(shí)質(zhì)上。是運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和原理，將問題給出的數(shù)學(xué)情景，抽象或簡化成各種要領(lǐng)模型和過程模型，用數(shù)學(xué)化的公式或方程表達(dá)出來，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解得結(jié)果，在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的這種意識非常重要，很多學(xué)生只知道背公式、方程，解題時簡單地套用公式，有時候問題解決了，也不知所以然，這次能得出答案，過一段時間再遇到又不會做了。有了數(shù)理結(jié)合的意識。分析、思考問題會比較透徹，容易抓住問題的實(shí)質(zhì)，能夠?qū)⒔膺^的問題進(jìn)行歸類總結(jié)，形成“問題原型”能夠做到舉一反三、觸類旁通。

此外，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力也很重要，對于估算能力強(qiáng)的學(xué)生，評價自己的解題思路是否正確的速度會很快，這樣有助于提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的敏捷性、準(zhǔn)確性。