芝諾難題與極限理論

　　荷馬史詩中有一位善跑的英雄，名叫阿基里斯。史詩中描寫這位阿基里斯是世界上跑得最快的人，誰也沒法跟他比。不過，古希臘的大詭辯家芝諾卻覺得，阿基里斯跑是跑得快，但未必能追得上一只走起路來慢慢吞吞的小烏龜。
　　誰都知道，既然阿基里斯跑得快，要追上烏龜，那不是輕而易舉的事嗎?芝諾的學生聽說阿基里斯跑不過一只烏龜，也個個感到驚奇，自己的老師知識那樣淵博，怎么連這樣簡單的問題也會出錯呢？
　　一天，雅典正是百花盛開映著艷陽，人們的精神格外抖擻。勤學好思的學生圍著芝諾，聽他滔滔不絕的論述。這時有位學生突然想到，何不趁此機會，問問老師阿基里斯與烏龜賽跑究竟是怎么一回事。于是，他貿然提問：“尊敬的老師，您給我們講解了好多難題，可我們還想知道阿基里斯為什么追不上一只烏龜?！?br/>　　“這個問題我也一直沒有解決?！敝ブZ一下子陷入了沉思。
　　“您知道得那么多，還有不懂的問題嗎?”學生們恭敬地問道。
　　“要知道，懂得愈多的人就會覺得自己愈是無知?！敝ブZ回答。
　　學生們都若有所思，不過還是期待老師講講阿基里斯為什么不能追上烏龜。
　　“好吧，我就來講阿基里斯與烏龜賽跑的故事?！敝ブZ終于同意給學生們講了。
　　大家都知道荷馬史詩中的阿基里斯跑得非?？?，為了便于計算，我們假定他的速度是烏龜速度的10倍。阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1千米。道路很平坦，天氣又好，比賽在公平的條件下進行。不過，說好是阿基里斯追趕烏龜，所以必須讓烏龜先跑十分之一千米，然后阿基里斯去追。這樣的話，問題就來了。當阿基里斯追到十分之一千米的地方，烏龜又向前跑了百分之一千米；阿基里斯再追百分之一千米，烏龜又向前跑了千分之一千米；阿基里斯又追千分之一千米，烏龜又向前跑了萬分之一千米……這樣一直追下去，阿基里斯會追上烏龜嗎？
　　學生們聽老師說到這里，個個都愣住了。他們心里認為芝諾是錯的，但卻無法指出他錯在哪里。其實，這是古希臘著名的芝諾難題，現在也稱這類難題為悖論。悖論現在已經發展到較高級的階段，它的存在能為人們鍛煉邏輯思維能力提供幫助，在數學發展的歷程中起過作用。
　　其實，芝諾問題用如今的極限理論很容易解決。
　　假設烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，那么，當阿基里斯到達烏龜的起點時，烏龜已向前爬了一段距離；當阿基里斯跑完這段距離時，烏龜又向前爬了一段。阿基里斯再跑完這一段，烏龜又向前爬了一段。如此下去直至無窮，所以阿基里斯永遠也追不上烏龜。
　　這是一個很有趣的悖論。如果芝諾的結論是正確的，則追趕者無論跑得多么快也追不上在前面跑的人，這顯然與我們在生活中經常見到的現象相違背。
　　當然芝諾的說法中有合理的成分：阿基里斯追趕烏龜的過程確實是一個無窮的過程——一個無窮的位置變化過程。假定，從阿基里斯開始追趕算起，阿基里斯與烏龜各自都有作勻速運動。不妨設阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，并設阿基里斯開始追趕時，烏龜在阿基里斯前面1千米處，再設烏龜的速度是每小時0.1千米，則確如芝諾所說：當阿基里斯跑完1千米時，烏龜已從1千米處向前爬了0.1千米；當阿基里斯跑完這0.1千米時，烏龜又向前爬了0.01千米；當阿基里斯又跑完這0.01千米時，烏龜又向前爬了0.001千米。
　　從阿基里斯開始追趕烏龜時阿基里斯與烏龜二者的位置算起，在阿基里斯追趕烏龜的整個過程中，阿基里斯每到達烏龜的一個位置，烏龜都到達了一個新的位置；阿基里斯到達了烏龜的新的位置時，烏龜會到達一個更新的位置。于是，在阿基里斯追趕烏龜的過程中，阿基里斯與烏龜都會到達無窮個位置。把每兩個相鄰位置之間的距離統統加起來，所得到的就是在阿基里斯追趕烏龜的過程中他們二者分別跑過的總路程。
　　阿基里斯跑過的總路程是：
　　1+0.1+0.001+…+18(1-0.1)＝10/9
　　烏龜跑過的總路程是：
　　0.1+0.01+0.001+…+(0.1)/(1-0.1)=1/9
　　芝諾說法中的錯誤在于：他把阿基里斯追趕烏龜的無窮的位置變化過程與無窮的時間變化過程混為一談了。
　　阿基里斯追趕烏龜時所經過的1千米+0.1千米+0.01千米+0.001千米+…，這個無窮的位置變化過程需要的時間為：10/9千米÷1千米/小時=10/9小時，并不需要無限長的時間！
　　也就是說，阿基里斯追趕烏龜的無窮的位置變化過程只需要10/9小時就完成了。
　　從阿基里斯開始追趕算起，他用10/9小時就追上了烏龜。在10/9小時內，芝諾的說法成立，即：阿基里斯每達到烏龜的一個位置時，烏龜又爬到了一個新位置。但是在10/9小時之后，就再也沒有這種情況發生了。如果在10/9小時以后阿基里斯繼續向前跑，他很快就會把烏龜遠遠地甩在后面。
　　芝諾的結論“阿基里斯永遠也追不上烏龜”中的“永遠”一詞，指的當然是“時間”。條件中談的是“位置”的變化，結論卻談“時間”，這是芝諾悖論偷梁換柱之所在。
　　編輯/李 章